Interpolación por recurrencia : una formula general

Pub . Ma . UAB N° 22 No . 1980 Ac es VII JMHL INTERPOLACION POR RECURRENCIA : UNA FORMULA GENERAL M . Gasca, A .LÓpez Ca mona Dp o . d e EcuacionesFuncionales Uni e sidad de G anada ABSTRACT . We gi e a o mula o cons uc he solu ion o he in e po- la ion p oblem wi h n m linea o msas da a om he solu ions o s simple in e pola ion p oblems, ex ending he esul s o G . Mühlbach [2],  [31 . As pa icula caseso his o mula we ob ain a New on, Lag ange and Ai ken-Ne ille o mulas o one o se e al a iables . We gi e an example o in e pola ion in any six poin so R 2 by using polynomials o deg ee wo . 1 . De iniciones y no aciones . Sea W un espacio ec o ial de unciones de una o a ias a iables, con alo es en un cue poK conmu a i o y de ca ac e- ís ica ce o .  Sean m, n EN y  n+m ={L i , i=1,2, . .,n+m} un conjun o de n+m o mas lineales sob e W . Sea { 1, 2,  n m} un conjun- o de elemen os de W linealmen e independien es, ales que 1 ' 2, . . ; n+m (1)  de l  £n m  1 = de (L i ( j )) ~ 0, i,j = 1,2  ,n m y sea V el espacio ec o ial que engend an V = < 1, .. . n m > . No emos po ~ l' 2' . . . . n+m (2)  p £n+m a la unción de V que es solución única del p oblema l' . ' n+m n+m pa a una cie a unción en el espacio W, la llama emos unción in e polado a de espec o al conjun o de da os de in e polaci- ón £n+m' No a emospo l, . . ., n+m p I £n+m  I (x) al alo de dicha unción en un pun o x cualquie a del conjun o de de inición de las unciones de W . é a polación 256 Sean £ n,i , i= 1,2, . . .,s,  1< s< m+1, s subconjun os de n elemen os- cada uno de £n+m' Supond emos que 11 . . ., n (4)  de  £  )~ 0  i= 1,2, . . . .s . Po o apa e, £  deno a á la unción pe enecie - n,i < l, . . . . n> que esuel e el siguien ep oblema de in e - Po úl imo, no a emos po l' - ' n l'  .  ' n £n, i =L j ( ), L i E£ n,i I l' ... . n+m ak  £ n+m  k  k- 1 2, .... n+m al coe icien e de k en la unción (2) que llama emos k-ésima di e encia di idida de espec o del p oblema (3) . Teo ema 1 . Pa a odo x del conjun o de de inición de las unciones de W alque (6) D(x)= se e i ica, s n+m  l' . . ., n +  E  E  Ai (x) .ak . ( k (x) -p k  £  (x) ) i=1 k=n+s  n,i siendo a i (x), i=1,2, . . .,s la única solución del sis ema s p n+1  i . . .,£n  (x)'- .P n+l  l , . . ., n  (x £ n,l  £ n,s , . . .,  , . ., p n+s-lI l £n,l n 1(X),,p n+s-11 l£I1,S n (x) . . , n+m  S  l . . . ., n £  (x) = E ai (x)p  £  (x) + n+m  i=1  n,i E a i (X)p  £  (x) = j (x), j=n+l, . . .,n+s-1 j i=1  I  n, i  I Consecuencias . 0 i) Pa a s=m+l, se ob iene la ó mula de Ai ken-Ne ille gene ali- zada de 21, l` ., n+m  m+1  l, . . ., n (9)  p £  (x) = E ai(x)p £  (x) n+m  i=1  n,i ii) Pa a s= 1, se ob iene la ó mula de New ongene alizada da- da en [31, 1 , . . ., n+m (10)  p i  £ n+m I (x) = p 1' . 0 n1 (x) + £ n,i n+m  l, ... . n +E ak .( k (x) - p k £  (x)) k=n+1  n,i iii) Si s=m+1, n=1, se ob iene una ú mula de Lag ange . 2 . In e polaciónen seis pun os de R 2 median e polinomios de a ado dos . Se conside a el p oblema de in e polación (11)  (P i ) =p(P i ),  i=1,2, . . .,6,  peP2 donde los Pi son pun oscualesquie a de R 2 . Es e iden e que i 10X, ...y y P 1 , . . .,P 6 es nulo si -y sólo si los pun os P i es án en una cónica . Po an- o . el p oblema no ienesolución o no la iene única sal oen los casos siguien es : 1) Si es pun os es án en una ec a 0 , dos en o a l y el úl imo no es á ni en 0 ni en l , (11) se esuel e po el mé- odode [11 . 2) Si no hay espun os alineados en e los P i , sino que se encuen an dos . a dos en ec as 0 , 1 y 2 en onces po el p ocedimien o de [1] es imposible ene como espacio de in e polación a P2 . No obs an e, si se puede aplica dicho mé- odopa ahalla la soluciún de los p oblemas (13)  (P i ) = P(P i),  i=1,,2,3,4,5 (14)  (p i )  =  p' (Pi ) ,  i =1,2,3,4,6 258 en un subespacio PP 2 , de dimensión cincocuya base se ob iene po el p ocedimien o dado en (1' . . Con las solucionesde (13) y (14) y omando como c ; 6 bien y 2 , dependiendo cómo se hayan . elegidog 1 , . . .,g 5 , es amos en las condiciones del eo ema 1 con n=5, m=1, s=2, po an o end emos g 1 , . . .,g 6 p  £  (x) = a l (x) p 6 con a l (x) y a 2 (x)  solución del sis ema (8) . BIBLIOGRAFIA 2 . 3 . g 1 , . . . ,g5 £ 5,1 .." g5' 2 x o 9 11 . . .,g 5 (x) + ~2 (x) p  £  (x) 5,2 GASCA,M . & MAEZTU,J .I . : "On Lag ange and He mi e in e pola- ion in Rk " . Remi idoa Num .Ma h .(1980) MUHLBACH,G . : "The gene al Ne ille-Ai ken-algo i hm and some applica ions" . Num .Ma h .31, (1978) MUHLBACH,G . : "The gene al ecu ence ela ion o di ided di e ences and he gene al New on-in e pola ion algo i hm wi h applica ions o igonome ic in e pola ion" . Num .Ma h . (1979)