Pub
.
Ma
.
UAB
N°
22
No
.
1980
Ac es
VII
JMHL
FORMULAS
DE
CUADRATURA
CON
GRADO
DE
PRECISION
2n-1
CORRESPONDIEN-
TES
A
UN
NUMERO
ARBITRARIO
m
DE
NODOS
Y
A
UNA
LOCALIZACION
TAM-
BIEN
ARBITRARIA
DE
LOS
MISMOS
.
And ésA oyo
Pé ez
.
Dp o
.
de
Ecuaciones
Funcionales
Uni e sidad
de
Se illa
Dadouñ
en e oposi i o
n,
exis e
una
ó mula
de
cuad a u-
a
con
p ecisión
2n-1
pa a
la
in eg al
en
[a,b]
de la
unción
(x)C
:Cn[a,b],
ó mula
de inida
pa aun
núme o
a iable,
_m,
de
nodos
y
pa a
cualquie localización
de
los
mismos
en
el
in e a-
lo de
in eg ación
conside ado
.
Se
exponecomo
ob ene
los
dis in-
os
elemen os
que
de inen
la
ó mula,
así
como
co as
de
e o
pa a
la
misma
.
Si en la
exp esióngene al
de
una
ó mula
de
cuad a u a,
(pa a
(x)
EC
n
[a,b]
,

p(x)
.
C-L[a,b],

siendo
p(x)
7
¿
0
en un
conjun-
o de
medidaposi i a
:
con
n-1
m
p
(x)
(x)
dx

=

E

E

A
hi
h) (x
i
)

+

R
(F)

(1)
h=0
i=1
Ahi
-

[
Ln-h-1
(0i (x) -
,0
i-1
(x)
)l
x=x
.
1
0<h<n-1
;

1
<i<m
y
20
8
X
.
E
R( )
=

i+1
~
1
(x)L( (x))dx

(3)
i=0
IX
.
i
ob enida
pa a
una
localizacióna bi a ia
de
los
nodos
:
xo
= a
<
x
l
<
x2

...
.
...
.

<
x
m<
b=x
m+1

(4)
y
a
pa i
del
ope ado
di e encial
lineal
de
o den
n,
L,
las
unciones
0
i
(x),
soluciones
de
la
ecuación
di e encial
lineal
L
*
0(x)

= p
(x)

(5)
se
eligen
de
o ma
que
cada
0i (x)

sea
en
[
x
i,x
i+l
] ,

0<i
<
m,
o ogonal
a
L( (x)),
se
end á
que
la
ó mula
(1)
se áexac a
pa a
oda
unción
(x)
alque
:
x
i+l
JI
o¡(x)L( (x))dx=0

(6)
En
el
abajoconside amos
el
caso
en
que,
pa acualquie
l
ocalización
de
los
nodosdados
en
(4),
suponiendo
siemp e
que
x
l
=
a
y
x
m
=b
con
lo
que
no
se
han
de
conside a
ni
0
0 (x)

ni
Om(x)

en

(2)

y

(3),

el
ope ado
ienedado
po
L=dn
/dx
n=
Dn,
p(x)
=
1
y
bajo
es ashipó esis
se
ob ienen
ó mulas
del
ipo
(1)
exac as
pa a odo
polinomio
de
g adomeno
o
igual
que
2n-1
y
es o
pa acualquie
localización
del
núme o
m
de
nodos
y
de
su
localización
.
En
es e
caso,
al
se
L
*
=
(-1)
nD
n
,
p(x)
=l,
las
unciones
o
¡
(x)
e i ican
que
0
i
(x)
E
Pn y
91
¡ (x)
iene
el
coe icien e
de
la
po encia
de
mayo g adoigual
a (-1)
n
/n!
.
Imponiendo
a
es as
unciones,
pa a
1<i<
m-1,
que
e i iquen
(6)
pa a
(x)
=
xk-1,
k
=1,2,
.
.
.m,
quedan
de inidos
de
mane a
única
losm-1
polinomios
0i (x),

1<
i<
m-1,
y
en
consecuencia,median e
(2)
y
(3)
una
ó mula
de
cuad a u a
que
es
exac a
pa a odo
polinomio
de
g a-
do
meno
o
igual
que
2n-1
.
OBTENCION
DE
LAS
FUNCIONES
O
j
(x)
Despues
de
impone
las
condiciones
an e io es
se
ob iene
la
exp esión
analí ica
de
laso
;,
que
esul a
se
:
=[n/2]

(-1)
n+k
(
4
i
)
2k Ck
(x-
x
i+
l)
n-2k
oi (x)

2

(7)
k=0

2
donde

x
i+
2
=
(x,1
x,+1)/2
'

dx
i
=
x
i+l
-xi
'

[n/21
se á
igual
a
(n-1)/2
si
.n
es impa
a
n/2
en
el
caso
de
se
n
pa
y
PESO
DE
LAS
FORMULAS
(2n
-2k)
!
n!
(n-2k)!k!(n-k)!(2n)!
=
Ck
Según
la
exp esión
.
(2)
y
u ilizando
los
ope ado es
educi-
dos,
así
como
la
exp esión
de
las
~i
(x)
dadas
en
(7),
encon a-
mos
:
[(h+l)/2]

h+l+k
-(h+l)

h+l

h+l

h+l
A
hi
=

E

(-1)

2

C
hk
[(
-
1)

(dx
i
)

-(dx
i-l
)

]
k=0
2
<
i
<
m-1

;

0
.
<
h
<
n-1

(8)
[(h+1)/2]
A
hi
=

E

(-1)
kC
hk
(dx
i
)
h+1
2
-(h+l)

(9)
k=0
0<h<n-1
[(h+1)/2]

h+k

h+l
-(h+l)
A
hm
=
E
(-1)
C
hk
(dx
M-1
)
2

(10)
k=0
0<h<n-1
iniendo
en
es ecaso
la
cons an eC
hk
dada
po
:
__

(2n-2k)
!
n!
C
hk (h+1-2k)!k!(n-k)!(2n)!
Caso
de
nodosequidis an es
.
En es ecaso
las
unciones0
i (x),
1
<i
<m-1,
se
ob ienen
una
a
pa i
de
la
an e io
po una
simple
aslación
.
Si
llama-
mos
M
=4
x
i
,
.a
pa i
de
las
exp esiones
an e io es
de
los
pesos
encon amos
:
A
hi
=0

2<i<m-1

;

h=1,3,
. . . .
N
*
(11)
[(h+1)/2]
A
hi
=A
hm

2Ahi

E

(-1)k_

__

__

+h
(M/2)h+1Chk

(12)
k=0
h
=0,2,4,
.
.,n*
;

2<i<m-1
[(h+l)/2]
A
hi

hm

E

(-1)h=-A

__

+k+1
(M/2)h+lChk

(13)
k=0
h
=1,3,

,N*
con
n*
=
n-2
si
n
pa
ó
n-1
si
n
impa
N
*
=
n-1
si
n
pa
ó
n-2
si
n
impa
.
Según
los
an e io es
alo es
de
los
pesos,
en es ecaso
la
exp esión
gene al
de
la
_ c6 mill_a
dada
pn_
((1)
gá
nn ;e e
en
(M*
=(n-2)/2
si
n
pa
ó
(n-1)/2
si
n
impa )
:
*
(
b
(x)dx=

E

A
(2h)
[
2h)
(a)
+
2

m
E
1

2h)
(x
i
)
+
2h)
(b)]

+
Ja
h=0

i=2
(n-2)/2
E

A(2h+1)
[
2h+1)
(a)

-

2h+1)
(b)]+
R

(14)
h=0
y
en
el
caso
de
oma se
m=2,
la
ó mula
se
con ie e
en
:
ó mulasexac as
pa a
polinomios
de g ados
2n-1
.
ERROR
.
21
0
b,

-
1

(x)dx=
n
E1

A
h
[
h) (a)

+

(-1)
h
h) (b)]

+

R( )

(15)
a
h=0
El e o
se
a on a
a
la
is a
de
la
exp esión
(3),
enien-
do en
cuen a
que
pa a
cualquie
pa ición
nos
es
conocida
la
ex-
p esión
de
~
i
(x)
.
Po
o apa e
0
¡
poseesus'nce os ealesen
en
(xi,x
i}1
)
y
es án
elacionados
conlos
de
los
polinomios
de
Legend e
.
Todo
lo
an e io
acili a
la-
ob ención
de
co as
de
e o ,
pudiendose
da
la
exp esión
analí icade
las
mismas
en
unción
de
los
ce osde
los
polinomios
de
Legend e,
exp esión
que
no
se
incluye
po
azón
de
espacio
.