Fórmulas de cuadratura con grado de precision 2n-1 correspondientes a un número arbitrario m de nodos y a una localización también arbitraria de los mismos

Pub . Ma . UAB N° 22 No . 1980 Ac es VII JMHL FORMULAS DE CUADRATURA CON GRADO DE PRECISION 2n-1 CORRESPONDIEN- TES A UN NUMERO ARBITRARIO m DE NODOS Y A UNA LOCALIZACION TAM- BIEN ARBITRARIA DE LOS MISMOS . And ésA oyo Pé ez . Dp o . de Ecuaciones Funcionales Uni e sidad de Se illa Dadouñ en e oposi i o n, exis e una ó mula de cuad a u- a con p ecisión 2n-1 pa a la in eg al en [a,b] de la unción (x)C :Cn[a,b], ó mula de inida pa aun núme o a iable, _m, de nodos y pa a cualquie localización de los mismos en el in e a- lo de in eg ación conside ado . Se exponecomo ob ene los dis in- os elemen os que de inen la ó mula, así como co as de e o pa a la misma . Si en la exp esióngene al de una ó mula de cuad a u a, (pa a (x) EC n [a,b] ,  p(x) . C-L[a,b],  siendo p(x) 7 ¿ 0 en un conjun- o de medidaposi i a : con n-1 m p (x) (x) dx  =  E  E  A hi h) (x i )  +  R (F)  (1) h=0 i=1 Ahi -  [ Ln-h-1 (0i (x) - ,0 i-1 (x) )l x=x . 1 0<h<n-1 ;  1 <i<m y 20 8 X . E R( ) =  i+1 ~ 1 (x)L( (x))dx  (3) i=0 IX . i ob enida pa a una localizacióna bi a ia de los nodos : xo = a < x l < x2  ... . ... .  < x m< b=x m+1  (4) y a pa i del ope ado di e encial lineal de o den n, L, las unciones 0 i (x), soluciones de la ecuación di e encial lineal L * 0(x)  = p (x)  (5) se eligen de o ma que cada 0i (x)  sea en [ x i,x i+l ] ,  0<i < m, o ogonal a L( (x)), se end á que la ó mula (1) se áexac a pa a oda unción (x) alque : x i+l JI o¡(x)L( (x))dx=0  (6) En el abajoconside amos el caso en que, pa acualquie l ocalización de los nodosdados en (4), suponiendo siemp e que x l = a y x m =b con lo que no se han de conside a ni 0 0 (x)  ni Om(x)  en  (2)  y  (3),  el ope ado ienedado po L=dn /dx n= Dn, p(x) = 1 y bajo es ashipó esis se ob ienen ó mulas del ipo (1) exac as pa a odo polinomio de g adomeno o igual que 2n-1 y es o pa acualquie localización del núme o m de nodos y de su localización . En es e caso, al se L * = (-1) nD n , p(x) =l, las unciones o ¡ (x) e i ican que 0 i (x) E Pn y 91 ¡ (x) iene el coe icien e de la po encia de mayo g adoigual a (-1) n /n! . Imponiendo a es as unciones, pa a 1<i< m-1, que e i iquen (6) pa a (x) = xk-1, k =1,2, . . .m, quedan de inidos de mane a única losm-1 polinomios 0i (x),  1< i< m-1, y en consecuencia,median e (2) y (3) una ó mula de cuad a u a que es exac a pa a odo polinomio de g a- do meno o igual que 2n-1 . OBTENCION DE LAS FUNCIONES O j (x) Despues de impone las condiciones an e io es se ob iene la exp esión analí ica de laso ;, que esul a se : =[n/2]  (-1) n+k ( 4 i ) 2k Ck (x- x i+ l) n-2k oi (x)  2  (7) k=0  2 donde  x i+ 2 = (x,1 x,+1)/2 '  dx i = x i+l -xi '  [n/21 se á igual a (n-1)/2 si .n es impa a n/2 en el caso de se n pa y PESO DE LAS FORMULAS (2n -2k) ! n! (n-2k)!k!(n-k)!(2n)! = Ck Según la exp esión . (2) y u ilizando los ope ado es educi- dos, así como la exp esión de las ~i (x) dadas en (7), encon a- mos : [(h+l)/2]  h+l+k -(h+l)  h+l  h+l  h+l A hi =  E  (-1)  2  C hk [( - 1)  (dx i )  -(dx i-l )  ] k=0 2 < i < m-1  ;  0 . < h < n-1  (8) [(h+1)/2] A hi =  E  (-1) kC hk (dx i ) h+1 2 -(h+l)  (9) k=0 0<h<n-1 [(h+1)/2]  h+k  h+l -(h+l) A hm = E (-1) C hk (dx M-1 ) 2  (10) k=0 0<h<n-1 iniendo en es ecaso la cons an eC hk dada po : __  (2n-2k) ! n! C hk (h+1-2k)!k!(n-k)!(2n)! Caso de nodosequidis an es . En es ecaso las unciones0 i (x), 1 <i <m-1, se ob ienen una a pa i de la an e io po una simple aslación . Si llama- mos M =4 x i , .a pa i de las exp esiones an e io es de los pesos encon amos : A hi =0  2<i<m-1  ;  h=1,3, . . . . N * (11) [(h+1)/2] A hi =A hm  2Ahi  E  (-1)k_  __  __  +h (M/2)h+1Chk  (12) k=0 h =0,2,4, . .,n* ;  2<i<m-1 [(h+l)/2] A hi  hm  E  (-1)h=-A  __  +k+1 (M/2)h+lChk  (13) k=0 h =1,3,  ,N* con n* = n-2 si n pa ó n-1 si n impa N * = n-1 si n pa ó n-2 si n impa . Según los an e io es alo es de los pesos, en es ecaso la exp esión gene al de la _ c6 mill_a dada pn_ ((1) gá nn ;e e en (M* =(n-2)/2 si n pa ó (n-1)/2 si n impa ) : * ( b (x)dx=  E  A (2h) [ 2h) (a) + 2  m E 1  2h) (x i ) + 2h) (b)]  + Ja h=0  i=2 (n-2)/2 E  A(2h+1) [ 2h+1) (a)  -  2h+1) (b)]+ R  (14) h=0 y en el caso de oma se m=2, la ó mula se con ie e en : ó mulasexac as pa a polinomios de g ados 2n-1 . ERROR . 21 0 b,  - 1  (x)dx= n E1  A h [ h) (a)  +  (-1) h h) (b)]  +  R( )  (15) a h=0 El e o se a on a a la is a de la exp esión (3), enien- do en cuen a que pa a cualquie pa ición nos es conocida la ex- p esión de ~ i (x) . Po o apa e 0 ¡ poseesus'nce os ealesen en (xi,x i}1 ) y es án elacionados conlos de los polinomios de Legend e . Todo lo an e io acili a la- ob ención de co as de e o , pudiendose da la exp esión analí icade las mismas en unción de los ce osde los polinomios de Legend e, exp esión que no se incluye po azón de espacio .