Pub
.
Ma
.
UAB
N° 22
No
.
1980
Ac es
VII
JMHL
PROCESSOSESTACIONARIS
INDEXATS
PER
UN
GRUP
LOCALMENT
COMPACTE
I
ABELIÁ
LupeGómez
Dep
.
d'Es adis ica
Ma emá ica
Uni e si a
de
Ba celona
Abs ac
;
In
hispape we s udy
he
s a iona y
s ochas ic
p ocesses
on
disc e e
locally
compac
abelian
g oups
.
41e
ob iain
necessa y
and
su icien
condi ions
o
he
egula i y
and
singula i y
o
a
p ocesswi h
espec
o
he
complemen
o ini esubse s
o
he
g uup,
by
using
he
in eg abili y
o
he
spec al
densi y
.To
ind
hese
esul s
,
s onge
han
hose
ob ained
by
L
.B uck-
ne

j
:41
,
we
use
a gene aliza ion
o
he
me hod
se
up
by Yu
.A
.
Rozano
i3
.1
o
he-case
Zn
.
PRELIMINARS
:
Sigui
G
un g up
L
.C
.A
.(localmen compac e
i
abeliá)
i
el
g updualde
G
.
és
ambáun
g up
L
.C
.A
.
amb
la
o-
pología
de
la
con e géncia
uni o me
sob e
els
cómpac es
.
Rep esen em
els
ca ac e s
de
G
pe
<
g,x
>,
gEG,
xE
,
i
anomenem

la
a
-álgeb a
dels
bo elians
de
.
Sigui
(
2,(i,P)
un espai
de
p obabili a s
.
Conside em
el
p océs
(X
g
)
gEG
a
alo s eals
o
complexos.Suposa em
que
el
p océs
ás
cen a E(X9)
=
0
VgcG,
i
que
ás
de
quad a
in eg able
X
g
EL
2
(2
,Ü,,P)
.
De inició
I
:
(Xg
)
gEG
és
un
p océs
es aciona ¡
en sen i ampli
si,
i
nomás
si,
la
unció
de
co a ianga
del
p océsK
és
in-
a ian
pe
aslacions
;
es a
di ,
si,
i
nomás
si,
K(g,g')=
K(g+h,g'+h)

bg,g',h
EG
.
Anomenem
p
a
la
mesu aespec al
del
p océs,
que
exis eix
pel
eo ema
de
Bochne
i
és
al
que
K(g)

=

J

<

g,x

>u(dx)

Vg

E
:
G
.
143
L'aplicació
T
:
L
2
(
,,u)

-H(X)
= L
2 {
Xg
;
geG}
al
que
T
(
<g,
.>
)=
X
g és
una
isome ía
lineal
que
dóna
la
ep esen ació
espec al
del
p océs
X
g
pe
a
una
mesu a
o -
ogonal
Z
en
la
0-álgeb a -
d'in ensi a
u
;
és
a
di
x9
=
j
<g,x>d
Zx
.
Sigui
I
una
amilia
de
bo elians
no
bui s
de
G,
in-
a ian
pe
aslació
;
is
a
di
,
si
A
El
alesho esA+gEI
dg
EG
.
De inició
II
:
Un p océs
(X9) EG és
I-singula
o
de e minis a
espec e
I
si,i
només
si,
0
H(X
;A)
=
H(X)
.
_

AEI
On
H(X
;A) =
L
I {X9
;gcA}
,
VA
EI
.
De inició
III
:
Un
p océs
(X
g
)
gcG
és
I- egula
o
pu amen
no
de e minis a
espec e
I si
i
nomás
si,
n
H(X
;A)
=
{0}
A
El
REGULARITAT
I
SINGULARITATRESPECTE
I
ce
, .
Suposem
que
G és
disc e
i
nume able
.
Conside em
la
amilia
I,,={
A/G-A~={go,
.
.
.,gn}}deis
complemen a ia
deis
subconjun s
ini s
de
G
.
.
Anomenem

T
=1
.
n

9
0
5
. .
.
5
gn
'

"T

al
cOmpiéüieil a i
O -
ogonal
de
H(
{g05
.
.
.,gn}c)
en
H(X)n
és
a
di
,
H(X)=
H(
{go,
.
.
.)gn}c)e
A
T
.
n
Teo ema
:
Xg
is
I

,
- egula
si,
i
només
si,
la
mesu a
es-
pec al
u
de
Xg
és
absolu amen con inua espec e
la
mesu-
a
de
Hya
h
amb
densi a
(x)
iexis eix
un
polinomi
i-
gonome ic
d(x)
di e en
de
ze o
sob e
I'
de
la o ma
n
d(x)
=
E
ck
<g
k
,x>
k=0
alque

F
16(XI
2
dx<
o-
Demos ació
:
Sigui

X9
F-H(

{g
0
5-59
n
)i
Y
EA
T

,

En i ud
de la
isome-
ía
`~
,
les
a iables
X
g
i
Y
enen
associades
les
unciona
<g,
.>
i
de
L
2(P
5~
,u
)
espec i amen
.
De
l'o ogonali a
en e
X
g i
Y,
dedu
.
im
que
j(x)
u(dx)
is
absolu amen
con ínua espec eh
i
i
pe
densi a
Suposem
que
X
g
és
I
.
- egula
;
és
a
di ,

lijn
¿~
T
=H(X)
.
U ili zan
aques acondició
i
l'esmen ada
isome íaWn

po-
dem
ap oxima
o a
unció
I
de
L
2
(
P
,~
.
,u
)
pe
uncions
,
n
de
L
2
(P

u)

als
que
n
(x)
u(dx)

són
absolu amen
con ínues espec eh
i
enen
pe
densi a
un
polinomi
6
n
(x)
en<<
;
k
,x>
D'ací
que
si
pe
un
AcÍ

ix
suposemh(A)=0,
alesho es
enim
u(A)=
1
.u(dx)=1im
J

(x)
u(dx)
=
lim
d
(x)dx
=
0
,
A

A
n


.,
A
n
i
pe
an
pis
absolu amen con inua
espec e
la
mesu a
de
Haa
h
i
i
uaa
densi a
(x)
.
To nem'
a
suposa
a aque
Xg
és
I_-
egula (nomis
ens
cald ia
que
ós
I
-
-no
singula ),
aleSho es
exis eix
gol{go`
-'g
n
y

alque

X
g
1
H( {go,
. .
.,gnY)¡
pe
an
0
podem
esc iu e
X
g
=
Xg+
Y,
on
Yc¿
T
,
Y
~
0 i
Xg
eH(
{g0
. .
.gn~
) .
o

n
Siguin
q'

i
les
uncionsde
L
2
(

,5

u)

associades
espec i amen
a
Xg
i
Y
pe
la
isome ía
Y'
,
i
sigui
n
d(x)
=

E
ck<g
k
,x>)
la
densi a
co esponen
a
(x)u(dx)
.
A
:o
El
polinomi
igonomé ic
d(x)
sob e
P
és
di e en
de
ze o
(ja
que
c
0
=
~~
(x)~~
`3
~2
)
~
0
pe quéY
~
0
) i
sa is á
J
~(x),
2

'x)

dx

=

J
y(x)

2
(x)
dx

=

II1(x)jj

2<
6(x)
Recip ocamen
.
De inim
la
unció

J(x)=
x

.
T i ialmen
~e
L
2
SiguiYcH(x)
la
a iable
associada
a
pe
T
.
Alesho es
Vg

1

{g0,
.
.
.,gn}

,

<Y,X
g
>

<g,
.»

=0,

i

pe
an
Y
sA
T
,
d'ondeduim
que
H(X)
# H(
{g0,
..
.,gn}
c
)
i
consegüen
men
nX9
es
I
.
-no
singula
.
Suposem
que
Xg
adme
una
descomposició
de
Wold
X
g
=Xg
+
Xg
en
una
pa
singula
Xg
1
una
pa
egula
Xg
.
Conside em
la
descomposicióY
=Y
1+
y2
ec aH(X)=H(X
1
)
(D
H(X
2
) .
Alesho es
Y
=Y
1+y2
= ,
~(x)dZ
X
~

+
J j(x)dZXi
Com
que
H(X
;A)=H(X1
;A)@
H(X
2
;A)

'',A
.G,
A
-
ini ,
enim
pe
1'associa i i a
de la
suma
di ec a
queH(X
;A)1=H(X1
;A)L®H(X2
;A)'
.
i
pe
an

AT
=
~T

® ~
T

.
n
n
n
Es
eu,
dones,
pe
úl im
que
Y1 EA
T

i
n
i Y2 E
H(X
2 )
i

~~
0),
i
pe
. an
Y
plica"que
Xg és
]~
.-no singula
.
gueix
que

Xg
is
T~
egula
.
Co ol
.la ¡
mesu a
espec al
ponen
a
la
pa
Alesho es
Xg
és
]¡,-singula
si,
i
igonomé ic6
(x)
di e en
de
ze o
16(x)~
2 /

(x)
q

L'(P)
.
REFERF
:NCT_FS
j1
;
.
Rudin,
Glal e
.
(1962)
.
Fou ie Analysis
on G oups
.
In e science
Publishe s
.
[21
.
Rozano ,
Yu
.A
.
(1967)
.
S a iona y
Random
P ocesses
.
Holden-Day
.
¡3)
.
Rozano ,
Yu
.A
.
(1967)
.
On
Gaussian
Fieldswi h
gi en
condi
ional
dis ibu ions
.
Theo y
o
p obabili y
andi s
applica ions
,
XII,n°3,381-391
.
B uckne ,L
.A
.
(1969)
.
In e pola ion
o
homogeneous
andom
ields
on
disc e e
g oups
.
Ann
.Ma h.S a
.40,
251-258
.
B uckne ,L
.A
.
(1971)
.
Mo ing
a e ages
o
homogeneous
andom
ields
.
Ann
.Ma h
.S a
.42,
2147-2149
.
W
.
y
2
EA
2

i
y
1~
0(ja
que
n
A1
T

9
{0
}
.
Aixb
Con adicció
de
la
qual
Sigui
(X
g
)
g-
G
un p océs
es aciona ¡,
i
sigui
u
la
de
X
g
.
Anomenem
la
densi a espec al
co es
absolu amen
con ínua
deu
si,
pe
o
polinomi
sob e
F
enim
que
nomes
de
Y
EA
T

en
la
suma
di
n
ens
¡m-
es
se-