Processos estacionaris indexats per un grup localment compacte i abeliá

Pub . Ma . UAB N° 22 No . 1980 Ac es VII JMHL PROCESSOSESTACIONARIS INDEXATS PER UN GRUP LOCALMENT COMPACTE I ABELIÁ LupeGómez Dep . d'Es adis ica Ma emá ica Uni e si a de Ba celona Abs ac ; In hispape we s udy he s a iona y s ochas ic p ocesses on disc e e locally compac abelian g oups . 41e ob iain necessa y and su icien condi ions o he egula i y and singula i y o a p ocesswi h espec o he complemen o ini esubse s o he g uup, by using he in eg abili y o he spec al densi y .To ind hese esul s , s onge han hose ob ained by L .B uck- ne  j :41 , we use a gene aliza ion o he me hod se up by Yu .A . Rozano i3 .1 o he-case Zn . PRELIMINARS : Sigui G un g up L .C .A .(localmen compac e i abeliá) i el g updualde G . és ambáun g up L .C .A . amb la o- pología de la con e géncia uni o me sob e els cómpac es . Rep esen em els ca ac e s de G pe < g,x >, gEG, xE , i anomenem  la a -álgeb a dels bo elians de . Sigui ( 2,(i,P) un espai de p obabili a s . Conside em el p océs (X g ) gEG a alo s eals o complexos.Suposa em que el p océs ás cen a E(X9) = 0 VgcG, i que ás de quad a in eg able X g EL 2 (2 ,Ü,,P) . De inició I : (Xg ) gEG és un p océs es aciona ¡ en sen i ampli si, i nomás si, la unció de co a ianga del p océsK és in- a ian pe aslacions ; es a di , si, i nomás si, K(g,g')= K(g+h,g'+h)  bg,g',h EG . Anomenem p a la mesu aespec al del p océs, que exis eix pel eo ema de Bochne i és al que K(g)  =  J  <  g,x  >u(dx)  Vg  E : G . 143 L'aplicació T : L 2 ( ,,u)  -H(X) = L 2 { Xg ; geG} al que T ( <g, .> )= X g és una isome ía lineal que dóna la ep esen ació espec al del p océs X g pe a una mesu a o - ogonal Z en la 0-álgeb a - d'in ensi a u ; és a di x9 = j <g,x>d Zx . Sigui I una amilia de bo elians no bui s de G, in- a ian pe aslació ; is a di , si A El alesho esA+gEI dg EG . De inició II : Un p océs (X9) EG és I-singula o de e minis a espec e I si,i només si, 0 H(X ;A) = H(X) . _  AEI On H(X ;A) = L I {X9 ;gcA} , VA EI . De inició III : Un p océs (X g ) gcG és I- egula o pu amen no de e minis a espec e I si i nomás si, n H(X ;A) = {0} A El REGULARITAT I SINGULARITATRESPECTE I ce , . Suposem que G és disc e i nume able . Conside em la amilia I,,={ A/G-A~={go, . . .,gn}}deis complemen a ia deis subconjun s ini s de G . . Anomenem  T =1 . n  9 0 5 . . . 5 gn '  "T  al cOmpiéüieil a i O - ogonal de H( {g05 . . .,gn}c) en H(X)n és a di , H(X)= H( {go, . . .)gn}c)e A T . n Teo ema : Xg is I  , - egula si, i només si, la mesu a es- pec al u de Xg és absolu amen con inua espec e la mesu- a de Hya h amb densi a (x) iexis eix un polinomi i- gonome ic d(x) di e en de ze o sob e I' de la o ma n d(x) = E ck <g k ,x> k=0 alque  F 16(XI 2 dx< o- Demos ació : Sigui  X9 F-H(  {g 0 5-59 n )i Y EA T  ,  En i ud de la isome- ía `~ , les a iables X g i Y enen associades les unciona <g, .> i de L 2(P 5~ ,u ) espec i amen . De l'o ogonali a en e X g i Y, dedu . im que j(x) u(dx) is absolu amen con ínua espec eh i i pe densi a Suposem que X g és I . - egula ; és a di ,  lijn ¿~ T =H(X) . U ili zan aques acondició i l'esmen ada isome íaWn  po- dem ap oxima o a unció I de L 2 ( P ,~ . ,u ) pe uncions , n de L 2 (P  u)  als que n (x) u(dx)  són absolu amen con ínues espec eh i enen pe densi a un polinomi 6 n (x) en<< ; k ,x> D'ací que si pe un AcÍ  ix suposemh(A)=0, alesho es enim u(A)= 1 .u(dx)=1im J  (x) u(dx) = lim d (x)dx = 0 , A  A n   ., A n i pe an pis absolu amen con inua espec e la mesu a de Haa h i i uaa densi a (x) . To nem' a suposa a aque Xg és I_- egula (nomis ens cald ia que ós I - -no singula ), aleSho es exis eix gol{go` -'g n y  alque  X g 1 H( {go, . . .,gnY)¡ pe an 0 podem esc iu e X g = Xg+ Y, on Yc¿ T , Y ~ 0 i Xg eH( {g0 . . .gn~ ) . o  n Siguin q'  i les uncionsde L 2 (  ,5  u)  associades espec i amen a Xg i Y pe la isome ía Y' , i sigui n d(x) =  E ck<g k ,x>) la densi a co esponen a (x)u(dx) . A :o El polinomi igonomé ic d(x) sob e P és di e en de ze o (ja que c 0 = ~~ (x)~~ `3 ~2 ) ~ 0 pe quéY ~ 0 ) i sa is á J ~(x), 2  'x)  dx  =  J y(x)  2 (x) dx  =  II1(x)jj  2< 6(x) Recip ocamen . De inim la unció  J(x)= x  . T i ialmen ~e L 2 SiguiYcH(x) la a iable associada a pe T . Alesho es Vg  1  {g0, . . .,gn}  ,  <Y,X g >  <g, .»  =0,  i  pe an Y sA T , d'ondeduim que H(X) # H( {g0, .. .,gn} c ) i consegüen men nX9 es I . -no singula . Suposem que Xg adme una descomposició de Wold X g =Xg + Xg en una pa singula Xg 1 una pa egula Xg . Conside em la descomposicióY =Y 1+ y2 ec aH(X)=H(X 1 ) (D H(X 2 ) . Alesho es Y =Y 1+y2 = , ~(x)dZ X ~  + J j(x)dZXi Com que H(X ;A)=H(X1 ;A)@ H(X 2 ;A)  '',A .G, A - ini , enim pe 1'associa i i a de la suma di ec a queH(X ;A)1=H(X1 ;A)L®H(X2 ;A)' . i pe an  AT = ~T  ® ~ T  . n n n Es eu, dones, pe úl im que Y1 EA T  i n i Y2 E H(X 2 ) i  ~~ 0), i pe . an Y plica"que Xg és ]~ .-no singula . gueix que  Xg is T~ egula . Co ol .la ¡ mesu a espec al ponen a la pa Alesho es Xg és ]¡,-singula si, i igonomé ic6 (x) di e en de ze o 16(x)~ 2 /  (x) q  L'(P) . REFERF :NCT_FS j1 ; . Rudin, Glal e . (1962) . Fou ie Analysis on G oups . In e science Publishe s . [21 . Rozano , Yu .A . (1967) . S a iona y Random P ocesses . Holden-Day . ¡3) . Rozano , Yu .A . (1967) . On Gaussian Fieldswi h gi en condi ional dis ibu ions . Theo y o p obabili y andi s applica ions , XII,n°3,381-391 . B uckne ,L .A . (1969) . In e pola ion o homogeneous andom ields on disc e e g oups . Ann .Ma h.S a .40, 251-258 . B uckne ,L .A . (1971) . Mo ing a e ages o homogeneous andom ields . Ann .Ma h .S a .42, 2147-2149 . W . y 2 EA 2  i y 1~ 0(ja que n A1 T  9 {0 } . Aixb Con adicció de la qual Sigui (X g ) g- G un p océs es aciona ¡, i sigui u la de X g . Anomenem la densi a espec al co es absolu amen con ínua deu si, pe o polinomi sob e F enim que nomes de Y EA T  en la suma di n ens ¡m- es se-