Pub
.
Ma
.
UAB
N°22
No
.
1980
Ac es
VII
JMHL
EL
PROBLEMA
DEL
LIMIT
CENTRAL
:
TRESASPECTES
MENYS
TIPICS
E a is
Giné
Seccióde
Ma emá iques
Uni e si a
Au ónoma
de
Ba celona
El
p oblema
del
lími
cen al,
que
és
el
de
l'es udi
de
la
compaci a
ela i a
i
de
la
con e gencia
eble
de
sumes
de
pe i es
a iablesmés
o
menys
independen s,
a
se o almen
en es
i
esol
(en
el
cas
d'independencia,
almenys)
en e'1920
i
1945
i
és
una
pa
cen al
de
la
eo ia
clássica
de
P obabili a s
.
Va
se
p ác icamen
esol
en
espais
de
Hilbe
el
1962
.
L'es udi
en espais de Banach a
comenga
amb
un
eball
de Fo e
i
Mau ie
el
1955
i
de 1969
encá, sob e
o des
de 1974 ins
el
1979,
s'ha
cons ul
un
cos
de
eo ia
ben
comple
i
esol
una quan i a
conside able
de
p o-
blemes
.
En
aques a
no a
examina em
es
ques ions
in e essan s
que
són
menys
ípiques
en
el
sen i
que
no
es
e e eixen
es ic amen
a
con e gencia e-
ble
.
La
p ime a
a
e e encia
a la
con e gencia
de
momen s
en
cas
que
es
ingui
d'en ada
con e gencia
eble
de
les
sumes
del
sis ema
iangula ,
la
segona
ac a de
la
elació
en e
compaci a
eble
de
sumes
i
compaci a
eble
de
les
lleis
de
Poisson
associades,
i
la
e ce a,
sob e
dominis
d'a-
acció
pa cial
.
Po se
el
segon
ema
és
el
més
classic
pe ó
el
p ime
és
el
que
é
més
aplicacions
.
1
.
Con e gencia
de
momen s
.

En
o
el
que
e {Xni

1--k
n}n=1
és
una
amilia
de
a iables
alea ó ies
a
alo s
en
un
Banach
sepa able
B
al

que
pe
a
cada
n

les
a iables
Xni
són
independen s
.

S
n
és
la
suma de
la

" ila
n",

Sn =
E
i
X
ni
.

La

p egun a
que ens
em
és
la

seguen
:

si
L(S
n
)-
_
d
,

so a
quines
condicions
es
ind á

EJIS
nJI
P
,
lIxil
p
d (x)
o
enca a,
E
O(S
n
)
i
¢(x)d (x)
pe
a
ce a
classe
de uncions
0
no
necessa-
iamen
i ades,
que
inclogui
com
a
minim
les
po encies
de
la
no ma,
i
po -
se les
uncions
exponencials
de
la
no ma?
Respos es
de ini i es
a
aques-
a
p egun a
han
es a
donades
a
[21
(amb
el
bon
p eceden
de
[141)
el
1979
.
133
de
la
demos ació
.

Reco dem
que
{Xni
}
és
in ini esimal

si

pe
a
o
e
>O,
maxi
P{IIXni11
>
e}->0
.
Teo ema
_([21)
.

Sigui

{Xni
}
un
sis ema
in ini esimal

al

que L(S
n
)-
d
.
Supo-
sem
EIIX
n
jII P
<
.
(0<
p<
)
.

Alesho es
són
equi alen s
:
(1)
{maxilix
nill p
}
és
uni o mamen
in eg able
(2)
lim ->_limn

Ej
ElIX
ni llpI {IIXn
i
11'> }
-0
(3) llXllpd (x)<
-

i

EIISnJIP
->
lIXI1Pd (x)
.
Demos ació
(Esbog)
.
Conside em
només
el
cas
sime ic
:
L'equi alencia
de
(1)
i
(2)
és
ácil
d'es abli
i
1'ome en
.
Si (3) es
e i ica,alesho es
{lis
n
il
p
}
és
uni o mamen
in eg able,
i
en
el
cas
sime ic
aixo
implica
(1)
pe
la
desigual a
de P
.Lé y
.
La
pa
impo an
de
la
demos ació
és
(1)
=~>
(3),
o
el
que
és
el
ma eix,
que
si
{maxiIIX
njIl p
}és
uni o mamen
in-
eg able,

ambé
{JIS
ni¡
p} ho és
.

Hi

ha
dues
mane es
equi alen s
de ela
ciona
N
n =
max
j
IiX
nj
l1

amb'IIS
n
Il,
que
són
la
desigual a
de
Kolmogo o
([11)
i
una
desigual a
de
Ho mann-Jo gensen
([101)
P{IISn
II>
2 +s}
<
P{N
n
>s}
+
4P2{IISnII
>
}
.
Alesho es,
aplican
aques a
desigual a
i
in eg ació
pe
pa s
com
a
[101,
es

é

que

pe

a

o

A

al

que

P{
I I
Sn
i¡>
A/3)
<1/16
.
p
,

1/2

E
l
IS
n
i¡ P
I{IisII
>
A}
n
<

2
.3PEIIN
n
i¡PI
{IIN
n
1I>
A}'
1
/2
EJISnilP
<
2
.3
P
EIIN
n
P
P
+
8
.3P .AP
.
Aques es
dues
desigual a s
donen
la
in eg abili a
uni o me
de
{JIS
n
i¡
p
}
si
{maxjIlX
n
jll
p
}
és
uni o mamen
in eg able
.
Co ol
.la i
_2
([21)
.

(1) Si X
.
són
i
.i
.d
.,
EIIX
II
P
<
-
pe
a
algun
p > 0
i
si
L(En
=
1
X
i
/n
1/2
)-}
d
y
Gaussiana,
es
é
EIIEn=1Xi/n1/2IIP
_>
lixilpdy(x)
(2) Si X
i
són
i
.i .d
. i
exis eixen
an
+°°,
b
ne
B
als
que
L(En=1Xi/an-bn)
i
P
es able
d'o d e
«
e
(0,21,
alesho es
El
IEn=
1
X
i
/an
-b
n
ll
s
-
liXII
s
dp(x)

pe
a
o
B
<a
.
Pe
aplicacions
d'aques s
eo emes
egi's
[21
i[81
.
2
.
Lleis
acompanyan s
.
Si u és
una
mesu a ini a
sob e
B,
es
de inex
Pois
u
com
Pois
u
=e- (B)
E-
n
=O
n/n!
on u
n
és
1'enéssimapo encia
de
con olució
de
u
.
Sigui
{Xnj
}
un
sis ema
134
k
in ini esimal

i

S
p=
E
.
n
1
X~~
.

S'anomenen
lleis
acompanyan s
de
les
{L(S
n
)}
les
p obabili a s

{Pois(E
j
n
1
L(X
ni
))}
on
L(X)

deno a
la
]le¡ de
la
a iable
alea o ia
X
.
El
me ode
clássic
d'a ac
del
p oblema
gene al
del
lími
cen al
en
1R
a
se
el
de
edui
la
con e géncia
de
{L(S
n)} a
la de
les
lleis
acom-
panyan s
i
desp és
demos a esul a s
de
con e gencia
de
lleis
de
Poisson
i,
en gene al,de
lleis
in ini amen
di isibles
.
De
e
un
examen
de alla
de la
ques ió
mos a
que pe
a
demos a
el
.l
.c
.
gene al,
an
en
1R
com
en B
gene al,
1'únic
esul a
essencial
sob e'lleis
acompanyan s
és el
se-
güen
:
IIL(S
n
)-Pois
Ei
L
(
X
nj)il
<
C
.E
i
P
2
{Xni
0}
on
11
Il
és
la
no ma
de
la
a iació
o al,
esul a
que
al
en
gene al
i
que
és
elemen al
:
és
simplemen
la
aducció
a
mesu es
de
la
sesigual a
Ix
1
. .
.x
n
-e
E
(x
i
-
1
)I
<
C
.E(x
i-
1)
2
pe
a
Ixi-
l
i<
2
.
Segueix
essen

pe o
in e-
essan
de
sabe
si
en
B,
com
en
R
,
{L(S
n)}
és
ela i amen
compac e
si
i

només
si

{Pois
E
i
L(X
ni
)}
ho és

(cal

eni
en
comp e
cen amen s
si

les
a iables
no
son
sime iques)
.
Pe
a
sis emes
in ini esimals
la
p egun a
é
una
espos a
de ini i a
Teo ema
3 ([131
;[4])
.

Suposem
que
les
X
ni
s6n
simé iques
.
Alesho es
:
(1)
Si

{Pois(E
i
L(X
ni ))}
és
ela i amen compac e,
ambé
{L(S
n
)}
ho
és,
qual-
se ol

que
sigui
B
el

Banachsepa able
on
X
ni
p en alo s
.
(2)
co no és
ini amen ep esen able
en
B
si
i
només
si,
pe
a
o
sis ema
in ini esimal
de
a iables
a
alo s
en B
simé iques
amb
{L(S
n)}
ela i a-
men
compac e,
esul a
que
ambé
{Pois
Ei
L(X
ni )} és
ela i amen
compac e
.
La
demos ació
de
(1) es
po
oba
a
[131
, i
la
de (2)
so i á
a
[41
.
La
de
[41 es
basa
sob e
o
en
una
desigual a
onamen alde
Mau ey
i
Pisie
álida
només
en
els
espais on
co
no
és
ini amen
ep esen able,
que
és
:
c
o no és
ini amen ep esen able
en
B
si
i
només
si
pe
a
o a
successió
{nk}(pe
a
alguna)
de
a iables
eals
cen ades
i
.i
.d
.
amb
P{In
l
l>
}
>
0
i
P
EIn
1
I

<
-

pe
a
o
p,
exis eix
C
=
C(B,p,n
1
)
al
que
pe
a
o a
successió
{x
i }
de
B
ini a
.
EIIE
i
x
ini
1IP
_
C
EII7x
i c
i
11
p
on
{c
i
}és
una
successió
de
Rademache
.
Es combina
amb
la
desiqual a
elemen-
al
:Si

{C
i
Y
son
independen s
de
les
X
ni

i

Poisson
amb
pa áme e

1,
alesho es
lIXII
pd
Pois
E
j
L(X
nj )(x)
<
C
EIIy
nj Xnj
il
l
.
P oblema
obe
:
se
sap que
(2)
és
e i a
pe
a
sis emes
no
in ini esimals
si
se suposa
que
B é
una
base de
Schaude
;
és
aques
eque imen
necessa i?
3
.
Dominis
d'a acció
pa cial
.
Un dels úl ims
p oblemes
clássics
sob e
con-
e gencia
eble
de
sumes
de
a iables
alea ó ies
independen s
ide
.n icamen
dis ibuides
que
es
an
ac a
és
el
dels
dominis
d'a acció
pa cial
.
E ec-
i amen ,
pe qué
X
sigui
a e a
pe una
]le¡
es able
d'o d e
p
és
necessa i
(i
su icien
si
X
és
simé ica)
que
p
P{IXI
>
}
sigui
una
unció
de
a iació
len a

(p
<2)

o
que
EX
2I
{IXI
< }

sigui

de
a iaciólen a

(p=
2)

i

alesho es
2
P{IXI>
}/EX
2I{IXI
< },
0
.

Di
amb al es
pa aules,

només
si

les
cues
de
la
dis ibució
de
X
simé ica
són
de
dec eixemen
p ou
ápid
i
egula
es
po
espe a

que
exis eixin
{an
}
als
que
L(X
1
+
.
.
.+
Xn)/an)->dy,
on
les
X
i
són

i
.i .d
.

amb
L(X
i
)=
L(X)
.

La
p egun a
na u al

se ia
:

quan
exis eixen
{a
n}
als
que
{L((X
1
+
. .
.+
Xn )/a
n
)}
és
ela i amen
compac a
a
menys
d'un cen-
k k
amen
pe
a
alguna
subseccessió
{n
k
}?
I
ambé,
quins
són
els
posibles
li-
mi s?
Khinxin
[121 a
demos a
que els
possibleslimi s
de
als
subsucces-
sion
són
les
lleis
in ini amen
di isibles
.
Doeblin
[71
a
demos a
que
hi ha
a iablespe
a
les
quals
es
poden
ob eni
com
a
limi s
o es
les
lleis
in ini amen
di isibles
i
d'al es
que
no
pe anyen
al
domini
d'a ac-
ció
de
cap
;
ambé
a
dona
condicions
pe qué
X
sigui
pa cialmen
a e a
pe
alguna
]le¡
.
Jain
i
O ey
[111
es udien
el
conjun
N(X)
de
o es
les
subsuc-
cessions
a n
 als
que
{L((X
1
+
. .
.+
X
n
)/a
n
)}
és
ela i amen
compac e
a
k

k k
menys
d'un
ce amen
.
To
aixó
pe
a
a iables
eals
.
Si
X
é alo s en
un
Hilbe ,
Ba anska
[51,
[61
demos a
el
eo ema
de
Khinxin
i
1'exis éncia
de
lleis
uni e sals
de
Doeblin
.
De
e
aques s
esul a s
elen
en
espais de
Banachsepa ableS(Giné
[91)
.
Di em
que una
p obabili a
sob e
B
pe any
al
domini
d'a acció
pa -
cial

de
p

si

exis eixen

nk+-(a
n

}
e

IR,

an
+-,

b
n
e
B
als
que
si

X
i
son
k

k
-
k
i
.
i
.d
.

amb
L(X
i )
=
,

alesho es
L(X
1
+
...
+
Xn
k
)/a
nk
-b k
->
d
p
.

Es

é
:
Teo ema
4
([91)
.
Una
p obabili a
p
sob e
un
Banachsepa able
B é
domini
d'a acció
pa cial
no bui
si
i
només
si
és
in ini amen
di isible
.
Sob e
o
Banach
sepa able
exis eixendis ibucions
que pe anyen
.
a
l
domini d'a-
acci6
pa cial
de
o es
les
lleis
in ini amen
di isibles
.
Teo ema
5
([91)
.
(1) Si

X
é
alo s
en
IR
n
,
.alesho es
N(X)
=N lIXII)
i
els
conjun s
de
cons an s
de
no mali zació
admissibles
{an
}
són els
ma eixos
.
(2)
Pe
a
o a
X
a
alo s en
R,
N(X)
# 0
implica
N(IIXII)k
0
.
(3) Si
N(IIXII)~
0
implica
N(X)
# ¢
pe
a
o a
a iable
X
alesho es
B és
de
di-
mensió' ini a
.
(4)

B

és de
co ipus
2

si

i

només

si

pe
a
o a

X
a
alo s en
R,

N(X)
C
N(lIXII)
i

pe
a

{n
i
}

e

N(X),

{an
.
}

és
admissible

pe
a X

si

i

només

si

ho és
pe
a
li
X
H
.
La
demos ació
del
Teo ema
4
es
po
e
adap an
la
demos ació
clas-
sica,
que
depén
de
uncions
ca ac e ís iques,
adu"in
les
manipulacions
de
als
uncions
a
manipulacions
de
a iables
alea ó ies,
i
en
se i
la
dis
ancia
d
BL*
enlloc
de
uncions
ca ac e ís iques
.
La
del
Teo ema
5
depén
de
ecniques
i
esul a s
de
[111
i
[11
així
com
de la
cons ucció
de
con ae-
xemples
;les
demos acionsde allades
so i an
a
[91
.
REFERENCIES
1
.
de
Acos a,A
.
;A aujo,A
.
and
Giné,E
.
(1978)
.
On
Poisson
measu es,
Gaussian
measu es
and
he
cen al
limi
heo em
in
Banach
spaces
.
Ad ances
in
P o-
babili y
4,
1-68
.
Dekke ,
New
Yo k
(Ed
.
by
J
.Kuelbs)
.
2
.
de
Acos a,A
.
and
Giné,E
.
(1979)
.
Con e gen e
o
momen s
and
ela ed
unc-
ionals
in
he
gene al
CLT
in
Banachspaces
.
Z
.
Wah scheinlichkei s heo ie
.
Geb
.
48,
213-231
.
3
.
de
Acos a,A
.
and-Samu ,J
.

(1979)
.
In ini ely
di isible
p obabili y
mea-
su es
and
he
con e se
Kolmogo o
inequali y
in
Banachspaces
.
S udia
Ma h
.
LXVI,
143-160
.
4
.
A aujo,A
.
;Giné,E
.
;Mand eka ,V
.
and
Zinn,J
.
(en
p emsa)
.
On
he
alidi y
o
he
accompanying
laws
heo em
in
Banach
spaces
.
Ann
.
P obabili y
.
5
.
Ba anska,J
.
(1973)
.
Domains
o
pa ial
a ac ion
o
in ini ely
di isi-
ble
dis ibu ions
in
Hilbe
space
.
Col]
.
Ma h
.
XXVIII
.
317-322
.
6
.
Ba anska,J
.
(1978)
.Uni e sal
Doeblin
dis ibu ions
in a
Hilbe
space
.
Búll
.
A ad
.
Polonaise
de
Sciences
XXVI,
343-346
.
7
.
Doéblin,
W
.
(1940)
.
Su
1'ensemble
de
puissances
d'une
lo¡
de
p obabili é
.
S udia
Ma h
.
9,
71-96
.

8
.
Philipp,W
.
(en
p emsa)
.
Lp
and
almos su e
in a iancep inciples
o
sums o
B- alued
a iables
.
Ann
.
P obabili y
.
9
.
Giné,E
.
(en
p emsa)
.
Domains
o
pa ial
a ac ion
in
se e al
dimensions
.
Ann
.
Ins
.
H
.
Poinca
é XVI
.
10
.
Ho mann-J¢ gensen,J
.
(1974)
.
Sums o
independen
Banach
space
alued
andom a iables
.
S udia Ma h
.
52,
159-186
.
11
.
Jain,N
.
and O ey,S
.
(en
p emsa)
.
Domains
o
pa ial
a ac ion
and
igh ness
condi ions
.
12
.
Khinchin,A
.(1937)
.
Zu
Theo ie
de
unbesch ank
eilba enVe eilungs-
gese ze
.
Ma
.
Sbo nik
2
(44),
79-120
.
13
.
Le
Cam,L.(1969)
Rema quessu
le
héo eme
limi e
cen al
dans
les
spaces
localemen
con exes
.
Les
P obabili és
su les
s uc u es
algéb iques
(CNRS,
Pa is),
233-249
.
14
.
K uglo ,V
.N
.
(1973)
.
Con e gence
o
nume ical
cha ac e is ics
o sums
o
independen
andom
a iables
wi h
alues
in
Hilbe
space
.
Teo
.
P obabili y
Appl
.
18,
694-712
.
Bella e a,
20
de
maig
1980
.