El problema del limit central : tres aspectes menys típics

Pub . Ma . UAB N°22 No . 1980 Ac es VII JMHL EL PROBLEMA DEL LIMIT CENTRAL : TRESASPECTES MENYS TIPICS E a is Giné Seccióde Ma emá iques Uni e si a Au ónoma de Ba celona El p oblema del lími cen al, que és el de l'es udi de la compaci a ela i a i de la con e gencia eble de sumes de pe i es a iablesmés o menys independen s, a se o almen en es i esol (en el cas d'independencia, almenys) en e'1920 i 1945 i és una pa cen al de la eo ia clássica de P obabili a s . Va se p ác icamen esol en espais de Hilbe el 1962 . L'es udi en espais de Banach a comenga amb un eball de Fo e i Mau ie el 1955 i de 1969 encá, sob e o des de 1974 ins el 1979, s'ha cons ul un cos de eo ia ben comple i esol una quan i a conside able de p o- blemes . En aques a no a examina em es ques ions in e essan s que són menys ípiques en el sen i que no es e e eixen es ic amen a con e gencia e- ble . La p ime a a e e encia a la con e gencia de momen s en cas que es ingui d'en ada con e gencia eble de les sumes del sis ema iangula , la segona ac a de la elació en e compaci a eble de sumes i compaci a eble de les lleis de Poisson associades, i la e ce a, sob e dominis d'a- acció pa cial . Po se el segon ema és el més classic pe ó el p ime és el que é més aplicacions . 1 . Con e gencia de momen s .  En o el que e {Xni  1--k n}n=1 és una amilia de a iables alea ó ies a alo s en un Banach sepa able B al  que pe a cada n  les a iables Xni són independen s .  S n és la suma de la  " ila n",  Sn = E i X ni .  La  p egun a que ens em és la  seguen :  si L(S n )- _ d ,  so a quines condicions es ind á  EJIS nJI P , lIxil p d (x) o enca a, E O(S n ) i ¢(x)d (x) pe a ce a classe de uncions 0 no necessa- iamen i ades, que inclogui com a minim les po encies de la no ma, i po - se les uncions exponencials de la no ma? Respos es de ini i es a aques- a p egun a han es a donades a [21 (amb el bon p eceden de [141) el 1979 . 133 de la demos ació .  Reco dem que {Xni } és in ini esimal  si  pe a o e >O, maxi P{IIXni11 > e}->0 . Teo ema _([21) .  Sigui  {Xni } un sis ema in ini esimal  al  que L(S n )- d . Supo- sem EIIX n jII P < . (0< p< ) .  Alesho es són equi alen s : (1) {maxilix nill p } és uni o mamen in eg able (2) lim ->_limn  Ej ElIX ni llpI {IIXn i 11'> } -0 (3) llXllpd (x)< -  i  EIISnJIP -> lIXI1Pd (x) . Demos ació (Esbog) . Conside em només el cas sime ic : L'equi alencia de (1) i (2) és ácil d'es abli i 1'ome en . Si (3) es e i ica,alesho es {lis n il p } és uni o mamen in eg able, i en el cas sime ic aixo implica (1) pe la desigual a de P .Lé y . La pa impo an de la demos ació és (1) =~> (3), o el que és el ma eix, que si {maxiIIX njIl p }és uni o mamen in- eg able,  ambé {JIS ni¡ p} ho és .  Hi  ha dues mane es equi alen s de ela ciona N n = max j IiX nj l1  amb'IIS n Il, que són la desigual a de Kolmogo o ([11) i una desigual a de Ho mann-Jo gensen ([101) P{IISn II> 2 +s} < P{N n >s} + 4P2{IISnII > } . Alesho es, aplican aques a desigual a i in eg ació pe pa s com a [101, es  é  que  pe  a  o  A  al  que  P{ I I Sn i¡> A/3) <1/16 . p ,  1/2  E l IS n i¡ P I{IisII > A} n <  2 .3PEIIN n i¡PI {IIN n 1I> A}' 1 /2 EJISnilP < 2 .3 P EIIN n P P + 8 .3P .AP . Aques es dues desigual a s donen la in eg abili a uni o me de {JIS n i¡ p } si {maxjIlX n jll p } és uni o mamen in eg able . Co ol .la i _2 ([21) .  (1) Si X . són i .i .d ., EIIX II P < - pe a algun p > 0 i si L(En = 1 X i /n 1/2 )-} d y Gaussiana, es é EIIEn=1Xi/n1/2IIP _> lixilpdy(x) (2) Si X i són i .i .d . i exis eixen an +°°, b ne B als que L(En=1Xi/an-bn) i P es able d'o d e « e (0,21, alesho es El IEn= 1 X i /an -b n ll s - liXII s dp(x)  pe a o B <a . Pe aplicacions d'aques s eo emes egi's [21 i[81 . 2 . Lleis acompanyan s . Si u és una mesu a ini a sob e B, es de inex Pois u com Pois u =e- (B) E- n =O n/n! on u n és 1'enéssimapo encia de con olució de u . Sigui {Xnj } un sis ema 134 k in ini esimal  i  S p= E . n 1 X~~ .  S'anomenen lleis acompanyan s de les {L(S n )} les p obabili a s  {Pois(E j n 1 L(X ni ))} on L(X)  deno a la ]le¡ de la a iable alea o ia X . El me ode clássic d'a ac del p oblema gene al del lími cen al en 1R a se el de edui la con e géncia de {L(S n)} a la de les lleis acom- panyan s i desp és demos a esul a s de con e gencia de lleis de Poisson i, en gene al,de lleis in ini amen di isibles . De e un examen de alla de la ques ió mos a que pe a demos a el .l .c . gene al, an en 1R com en B gene al, 1'únic esul a essencial sob e'lleis acompanyan s és el se- güen : IIL(S n )-Pois Ei L ( X nj)il < C .E i P 2 {Xni 0} on 11 Il és la no ma de la a iació o al, esul a que al en gene al i que és elemen al : és simplemen la aducció a mesu es de la sesigual a Ix 1 . . .x n -e E (x i - 1 )I < C .E(x i- 1) 2 pe a Ixi- l i< 2 . Segueix essen  pe o in e- essan de sabe si en B, com en R , {L(S n)} és ela i amen compac e si i  només si  {Pois E i L(X ni )} ho és  (cal  eni en comp e cen amen s si  les a iables no son sime iques) . Pe a sis emes in ini esimals la p egun a é una espos a de ini i a Teo ema 3 ([131 ;[4]) .  Suposem que les X ni s6n simé iques . Alesho es : (1) Si  {Pois(E i L(X ni ))} és ela i amen compac e, ambé {L(S n )} ho és, qual- se ol  que sigui B el  Banachsepa able on X ni p en alo s . (2) co no és ini amen ep esen able en B si i només si, pe a o sis ema in ini esimal de a iables a alo s en B simé iques amb {L(S n)} ela i a- men compac e, esul a que ambé {Pois Ei L(X ni )} és ela i amen compac e . La demos ació de (1) es po oba a [131 , i la de (2) so i á a [41 . La de [41 es basa sob e o en una desigual a onamen alde Mau ey i Pisie álida només en els espais on co no és ini amen ep esen able, que és : c o no és ini amen ep esen able en B si i només si pe a o a successió {nk}(pe a alguna) de a iables eals cen ades i .i .d . amb P{In l l> } > 0 i P EIn 1 I  < -  pe a o p, exis eix C = C(B,p,n 1 ) al que pe a o a successió {x i } de B ini a . EIIE i x ini 1IP _ C EII7x i c i 11 p on {c i }és una successió de Rademache . Es combina amb la desiqual a elemen- al :Si  {C i Y son independen s de les X ni  i  Poisson amb pa áme e  1, alesho es lIXII pd Pois E j L(X nj )(x) < C EIIy nj Xnj il l . P oblema obe : se sap que (2) és e i a pe a sis emes no in ini esimals si se suposa que B é una base de Schaude ; és aques eque imen necessa i? 3 . Dominis d'a acció pa cial . Un dels úl ims p oblemes clássics sob e con- e gencia eble de sumes de a iables alea ó ies independen s ide .n icamen dis ibuides que es an ac a és el dels dominis d'a acció pa cial . E ec- i amen , pe qué X sigui a e a pe una ]le¡ es able d'o d e p és necessa i (i su icien si X és simé ica) que p P{IXI > } sigui una unció de a iació len a  (p <2)  o que EX 2I {IXI < }  sigui  de a iaciólen a  (p= 2)  i  alesho es 2 P{IXI> }/EX 2I{IXI < }, 0 .  Di amb al es pa aules,  només si  les cues de la dis ibució de X simé ica són de dec eixemen p ou ápid i egula es po espe a  que exis eixin {an } als que L(X 1 + . . .+ Xn)/an)->dy, on les X i són  i .i .d .  amb L(X i )= L(X) .  La p egun a na u al  se ia :  quan exis eixen {a n} als que {L((X 1 + . . .+ Xn )/a n )} és ela i amen compac a a menys d'un cen- k k amen pe a alguna subseccessió {n k }? I ambé, quins són els posibles li- mi s? Khinxin [121 a demos a que els possibleslimi s de als subsucces- sion són les lleis in ini amen di isibles . Doeblin [71 a demos a que hi ha a iablespe a les quals es poden ob eni com a limi s o es les lleis in ini amen di isibles i d'al es que no pe anyen al domini d'a ac- ció de cap ; ambé a dona condicions pe qué X sigui pa cialmen a e a pe alguna ]le¡ . Jain i O ey [111 es udien el conjun N(X) de o es les subsuc- cessions a n  als que {L((X 1 + . . .+ X n )/a n )} és ela i amen compac e a k  k k menys d'un ce amen . To aixó pe a a iables eals . Si X é alo s en un Hilbe , Ba anska [51, [61 demos a el eo ema de Khinxin i 1'exis éncia de lleis uni e sals de Doeblin . De e aques s esul a s elen en espais de Banachsepa ableS(Giné [91) . Di em que una p obabili a sob e B pe any al domini d'a acció pa - cial  de p  si  exis eixen  nk+-(a n  } e  IR,  an +-,  b n e B als que si  X i son k  k - k i . i .d .  amb L(X i ) = ,  alesho es L(X 1 + ... + Xn k )/a nk -b k -> d p .  Es  é : Teo ema 4 ([91) . Una p obabili a p sob e un Banachsepa able B é domini d'a acció pa cial no bui si i només si és in ini amen di isible . Sob e o Banach sepa able exis eixendis ibucions que pe anyen . a l domini d'a- acci6 pa cial de o es les lleis in ini amen di isibles . Teo ema 5 ([91) . (1) Si  X é alo s en IR n , .alesho es N(X) =N lIXII) i els conjun s de cons an s de no mali zació admissibles {an } són els ma eixos . (2) Pe a o a X a alo s en R, N(X) # 0 implica N(IIXII)k 0 . (3) Si N(IIXII)~ 0 implica N(X) # ¢ pe a o a a iable X alesho es B és de di- mensió' ini a . (4)  B  és de co ipus 2  si  i  només  si  pe a o a  X a alo s en R,  N(X) C N(lIXII) i  pe a  {n i }  e  N(X),  {an . }  és admissible  pe a X  si  i  només  si  ho és pe a li X H . La demos ació del Teo ema 4 es po e adap an la demos ació clas- sica, que depén de uncions ca ac e ís iques, adu"in les manipulacions de als uncions a manipulacions de a iables alea ó ies, i en se i la dis ancia d BL* enlloc de uncions ca ac e ís iques . La del Teo ema 5 depén de ecniques i esul a s de [111 i [11 així com de la cons ucció de con ae- xemples ;les demos acionsde allades so i an a [91 . REFERENCIES 1 . de Acos a,A . ;A aujo,A . and Giné,E . (1978) . On Poisson measu es, Gaussian measu es and he cen al limi heo em in Banach spaces . Ad ances in P o- babili y 4, 1-68 . Dekke , New Yo k (Ed . by J .Kuelbs) . 2 . de Acos a,A . and Giné,E . (1979) . Con e gen e o momen s and ela ed unc- ionals in he gene al CLT in Banachspaces . Z . Wah scheinlichkei s heo ie . Geb . 48, 213-231 . 3 . de Acos a,A . and-Samu ,J .  (1979) . In ini ely di isible p obabili y mea- su es and he con e se Kolmogo o inequali y in Banachspaces . S udia Ma h . LXVI, 143-160 . 4 . A aujo,A . ;Giné,E . ;Mand eka ,V . and Zinn,J . (en p emsa) . On he alidi y o he accompanying laws heo em in Banach spaces . Ann . P obabili y . 5 . Ba anska,J . (1973) . Domains o pa ial a ac ion o in ini ely di isi- ble dis ibu ions in Hilbe space . Col] . Ma h . XXVIII . 317-322 . 6 . Ba anska,J . (1978) .Uni e sal Doeblin dis ibu ions in a Hilbe space . Búll . A ad . Polonaise de Sciences XXVI, 343-346 . 7 . Doéblin, W . (1940) . Su 1'ensemble de puissances d'une lo¡ de p obabili é . S udia Ma h . 9, 71-96 . 8 . Philipp,W . (en p emsa) . Lp and almos su e in a iancep inciples o sums o B- alued a iables . Ann . P obabili y . 9 . Giné,E . (en p emsa) . Domains o pa ial a ac ion in se e al dimensions . Ann . Ins . H . Poinca é XVI . 10 . Ho mann-J¢ gensen,J . (1974) . Sums o independen Banach space alued andom a iables . S udia Ma h . 52, 159-186 . 11 . Jain,N . and O ey,S . (en p emsa) . Domains o pa ial a ac ion and igh ness condi ions . 12 . Khinchin,A .(1937) . Zu Theo ie de unbesch ank eilba enVe eilungs- gese ze . Ma . Sbo nik 2 (44), 79-120 . 13 . Le Cam,L.(1969) Rema quessu le héo eme limi e cen al dans les spaces localemen con exes . Les P obabili és su les s uc u es algéb iques (CNRS, Pa is), 233-249 . 14 . K uglo ,V .N . (1973) . Con e gence o nume ical cha ac e is ics o sums o independen andom a iables wi h alues in Hilbe space . Teo . P obabili y Appl . 18, 694-712 . Bella e a, 20 de maig 1980 .