Pub
.
Ma
.
UAB
N°
22
No
.
1980
Ac es
VII
JMHL
UNA
CARACTERIZACION
DE
ESPACIO
DE
TIPO
p
EN
TERMINOS
DE
VARIA-
BLES
ALEATORIAS
REALES
Clemen e
A
.
Campos
y
Sáez,
Miguel
San
Miguel
Ma co
Dp o
.
de
Es adís ica
e
In es igación
Ope a i a
Uni e sidad
de
Za agoza
Abs ac
,
The
pape
con ains
a
cha ac e iza ion
o
a
Ba acñ
space
o
ypep,1<p<2,
exp esed
in
e ms
o
a
sequenceo
andom
a iables
in
L
p
(D2)
which
is
condi ionallyindepen-
den
.
When
p=2,
we
also
ob ain
a
wellknown esul
o
Kwapien
and
i s
ecip ocal
.
Sea
(2,F,P)
un espacio
p obabilís ico,
(B,H
.
10un
espacio
de
Banach
sepa able
eal
y B
el
dual opol6gico
de
B
.
Si

(x
n
)

es
base
de
B y

(m
n
)

una
sucesión
c ecien e
de
en-
e os
posi i os
,
m
0
=0,
deno emos
m
n
yn=
1

ajxj,yn^
(n=1,2,
. .
.)
j=m
n-1
+1
donde
(a
n
)
es
una
sucesiónde
núme os
eales
.
En es as
con-
diciones
se
demues a
que
(y
n
)
es
necesa iamen e
una
sucesión
básica
llamada
sucesiónbásicade
bloque
espec o
a
la
base
conside ada

(x
n
) .
De inición
1 .-
Sean
B1 y B
2
dos
espacios
de
Banach
;
dos
sucesiones
(x
n
)c
B
1 e (y
n
)cB
2 se
llaman
equi alen es
si
pa a
cualquie
sucesi6n
de
nCme os
eales(a
n
)
se
e i ica
y
además
9 0
E
anxn
con e gec,~z
:
an
yn
con e ge
.
n=1

n=1
Como
pun o
de
pa ida
pa a llega
a
ob ene
una
condici6n
necesa ia
y
su icien e
pa a
que
el
espacio
B
sea
de
ipo
p,
se
u iliza
el
siguien e esul ado
cuya
demos aci6n
puede
ha-
lla se
en
Singe [4]
6
en
Ma i[3
j
.
P oposici6n
2
.-(Bessaga,
Pelczynslci)
.
Sea
(x n
)
base
de
un
espacio
de
Banach
B
y
(
n )CB la
sucesi6n asociada
de
uncio-
nales
coo denados
.
Si
una
sucesi6n
(y
n
)C
B
e i ica
in il
Y n
11
=
E
>o
(1)

n
exis en
sucesiones
de
en e os
posi i os
c ecien es
(p
n
)
Y
(q
n
)
de
modo
que
la
subsucesi6n
(ypn+l)
de
(yn)
es
una
sucesi6n
básica
equi alen e
a
una
sucesi6n
(z
n
)
básica
de
bloque
es-
pec o
a
(x
n
)
de inida median e
(3)

11
z
n -Y p +l
11<
n
lim
i
(y
n
)
= 0

(i=1,2,
. .
.)~
n
qn+l
(
2
)
z
n
==

i
(
y

+l
)x
i

(n=1,2,
. .
.)
_
.

i=qn±1

.
n
E
2
n+3
(5)

lim
~i*
(
E
n
)
=
0

(i=1,2,
. .
.)
.
n
Aplica emos
es a
p oposici6n
conside ando
el
espacio
de
Banach
Lp(IR),donde
p
cumple
1<p<2
.
Sea
pues
(
.1
n
)una
sucesi6n
de
a iables
alea o ias
eales
que
cons i uyen
una
base
incon
dicional
de un
subespacio
H
de
LP(IR)
y
designemos median e
(En
)
a la
sucesi6n asociada
de
uncionales
coo denados
.
Sea
(E
n
)
una
sucesi6n de
a iables
alea o ias
independien es
de
Be noulli, es deci ,
P(E
n
=-1)=
P(E
n
=1)=
1/2,
n=1,2,
.
.
.,
ales
que
el
subespacio
ec o ial
ce ado
[E
n
]
es é
con enido
en
H
.
Cla amen e
se
e i ica
(4)

in
IIEJ
p =
1
.
n
Lema
3 .-
Cualquie a
que
sea
la
base
conside ada,
(En)
del
subespacio
HeLP(IR),
1<p<2,
se
iene
Demos aci6n
.-
Pa a cada
i,
sea
ni
el
elemen o
de
L q
(IR),
p
-1
+q
-1
=1,
co espondien e
a
Ji,
de
modo
que
(6)

(w)P(dw)
2
pa a odo

IcLP
(IR)
.
Pues o
que
n
i
E
L
(IR)
,
i=1,
2,
. .
.
.
puede
descompone se
de un modo
único
de la
o ma
siguien e
ni=ni
+n
i1

2
donde
n
ÍE(E
n]
Y
n

[e
n7,

complemen o
o ogonal
de[e
n]
en
L

(IR)
.
Aho a
bien,
el
p oduc o
escala
en
L
2
(IR)
<n
i
.
E
n>
n
iE
n
dP

(i=1,2,
. .
.)
n
cualquie a
que sea
n
e i ica
<n
i
,
E
n>
=<ni,
E
n>
y
como
(e
n
)
es
una
sucesiónbásica
o ono mal
de
L
2
(IR),pue-
de
esc ibi se
lim< ,i,

E
J=O
n
y
po
an o
limnn
i
E
n
dP=O

(i=1,2,
. .
.)
.
n
Bas a
inalmen e
conside a
(6)
pa a
deduci
la
alidez
del
lema
3
.
Po
aplicación
de
la
p oposición
2
se
deduce
que
exis e
(E
p
n
+l
)
,

subsucesión
de

(e
n
),
y

(
e
n
)
de inida
po
-
qn+
e
n

i=q
n
+l

i

pn
(
e

+_9
)
i
de modo
que
(8)

!lo
n
-e
pn+1
H
p

<

2
-
n
-3
yademás

(e
n
)
es
una
sucesiónbásicaincondicional
de
HCL
P
(IR),
si
(C
n
)
es
base
incondicional
.
P oposición
4 .-
Sea
B
un
espacio
de
Banach
,
( in)
una
base
incondicional
de
HCLp(IR),,1<p<2,y
(Cn)
los
uncionales
coo -
denados
asociados
a
la
base
.
Si
exis e
una
cons an e
A>0 al
que

kj+l-1
(9)

sup
=

ICk
p<
A
j
k=k
j
y
exis e
C>0
alque
(10) n

n
~
.
x
.
EJIE

lip
<
C
lix
Hp
j=1
J 7

j=l
J
pa a
odo
n y cualesquie a
que
sean
x
l
,x
2
-
.,x
n
s
B,
en onces
B
es
un
espacio
de
ipo
p
.
Demos ación
.-
Supongamos
que
exis e
C>0
al
que
se
cumple
la
desigualdad

(10)
.
Pa a odo
n
y
cualesquie a
x
1 ,x2
, . .
.,x
n
EB,
exis e
una
sucesiónc ecien e
de en e os
(mj
)
alque
n

n
E
IIZ
E
j
x
j
Ilp

=

Ell
~
_

Em x
j
Il
p
,
j=1

j=1
j
ob iene
(
14
)

EII
j
ejxiJI
P=
Ellj
1(J

J
1, (E
m
.
con
D=AC
.
n

n k
j+1
-1
pe mi eesc ibi
:

n
(
15
)

(EII
S
e
mxj
Ilp)1/p
<

M(I
II
xill
p)
1/p
j=1
j

j=1
donde
M=1+D~/P
.
Po
an o
el
espacio
de
.Banach
B
es
un espacio
de
ipo
p
.
P oposición
5.-
Sea
(1
n
)
una
sucesión
condicionalmen e
inde-
pendien e
de
a iables
alea o ias
cen adas
que
es base
del
subespacio
HcL
p
(IR),1<p<2
.Supongamos
que
exis e
A>0
alque
k
j+l
-1
sup
L
I

1
k~m
.
)¡p<
A
.
j
k=k
.

J
Un
espacio
de
BanaLhB
es
de
ipo
p
si
y
sólo
si
exis e
una
cons an e
C>0
alque

n
(16)

EIIT~ixil
~C
L
J
Ilx
i
ll
p
i=1 i=1
pa a odo
n
y cualesquie a
que
sean
x
1 ,x2
1..
.,x
n
e
B
.
La
demos ación
se
basaen
la
p oposición
4
pa a
conclui
que
B
es
de
ipo
p
.
La
alidez
del
ecip oco
se
sigue
de[-11
.1
:1
La
siguien e
ca ac e ización
es
un
co ola io
de
la
p oposi-
ci6n
4
cuando
se
conside a
el
caso
p=2
.
P oposición
6 .-
Sea
(1
n
)
un
sis ema
o ono mal
comple o
de
L
2
(IR)
y B
un
espacio
de
Banach
.
Una
condiciónnecesa ia
y
su-
icien e
pa a
que
B
sea
de
ipo
2
es
que
exis a
una
cons an e
92
po
(7),
ambién
exis e
una
sucesión
de
en e os(k
j
)
alque
k
j+1
-1
(11)
Ile
j
Il
p
=(

I~k(EM
.)Ip)l/p
=
1
k=k
.
J
(12)

El
0
-EmIP<

2-J

(j=1,2,
...).
.
-1

_1

J
Si
p
+q
=1,
po
aplicación
de
la
desigualdad
de
Hó'lde
se
n

n
(13)

EII

(0
-E
m
)x
j
ll
p
<<_%
.
._
1Ixjllp
.
j=1
j
j=1
Po
o a
pa e,
si
se
ieneen cuen a
Finalmen e,
la
desigualdad
iangula
n
j
I
IP-<
D

/'
l
ix
j
I I
p
j=1
jun o
con
(13)
y
M>0 alque
(17)
EII
1
i
x
i
ll
2 _
M>
Ilx
i
ll
2
i=1

i=1
pa a
odo
n y cualesquie a
x
1,x
2
, .

,x
n
EB
.
La
condición
su icien e

es
un
esul ado
de
KwapienC21
y
la
condiciónnecesa ia
puede
ob ene sea pa i
de[_1]
.
Bibliog a ía
.
[1]
.
Abau ea,J
.,
Campos,C
.,
San
Miguel,M
.(1979)
:"Sob e
la
inde-
pendencia
condicional
en el
sen ido
de
Beck"
.
En
el
olu-
men
Con ib
.
en P ob
y
Es
.
Ma
.
Ens
.
d
e
la
Ma
.y
Analisis,
pp
.
25-32,
Uni e sidad
de
G anada
.
G anada
.
[2]
.
Kwapien,S
.(1972)
:"Isomo phic
cha ac e iza ions
o inne
p oduc
spaces
by
o hogonal
se ies
wi h
ec o alued
coe icien s"
.
S udiaMa h
.,44,
pp
.
583-595
.
[3]
.
Ma i,
J
.(1969)
:"In oduc ion
o
he
heo y
o
bases"
.
Sp inge -Ve lag
.
Be lin
.
[4]
.
Singe ,I
.(1970)
:"Bases
in
Banach
spaces
I"
.Sp inge -Ve lag
.
Be lin
.