Una caracterización de espacio de tipo p en términos de variables aleatorias reales

Pub . Ma . UAB N° 22 No . 1980 Ac es VII JMHL UNA CARACTERIZACION DE ESPACIO DE TIPO p EN TERMINOS DE VARIA- BLES ALEATORIAS REALES Clemen e A . Campos y Sáez, Miguel San Miguel Ma co Dp o . de Es adís ica e In es igación Ope a i a Uni e sidad de Za agoza Abs ac , The pape con ains a cha ac e iza ion o a Ba acñ space o ypep,1<p<2, exp esed in e ms o a sequenceo andom a iables in L p (D2) which is condi ionallyindepen- den . When p=2, we also ob ain a wellknown esul o Kwapien and i s ecip ocal . Sea (2,F,P) un espacio p obabilís ico, (B,H . 10un espacio de Banach sepa able eal y B el dual opol6gico de B . Si  (x n )  es base de B y  (m n )  una sucesión c ecien e de en- e os posi i os , m 0 =0, deno emos m n yn= 1  ajxj,yn^ (n=1,2, . . .) j=m n-1 +1 donde (a n ) es una sucesiónde núme os eales . En es as con- diciones se demues a que (y n ) es necesa iamen e una sucesión básica llamada sucesiónbásicade bloque espec o a la base conside ada  (x n ) . De inición 1 .- Sean B1 y B 2 dos espacios de Banach ; dos sucesiones (x n )c B 1 e (y n )cB 2 se llaman equi alen es si pa a cualquie sucesi6n de nCme os eales(a n ) se e i ica y además 9 0 E anxn con e gec,~z : an yn con e ge . n=1  n=1 Como pun o de pa ida pa a llega a ob ene una condici6n necesa ia y su icien e pa a que el espacio B sea de ipo p, se u iliza el siguien e esul ado cuya demos aci6n puede ha- lla se en Singe [4] 6 en Ma i[3 j . P oposici6n 2 .-(Bessaga, Pelczynslci) . Sea (x n ) base de un espacio de Banach B y ( n )CB la sucesi6n asociada de uncio- nales coo denados . Si una sucesi6n (y n )C B e i ica in il Y n 11 = E >o (1)  n exis en sucesiones de en e os posi i os c ecien es (p n ) Y (q n ) de modo que la subsucesi6n (ypn+l) de (yn) es una sucesi6n básica equi alen e a una sucesi6n (z n ) básica de bloque es- pec o a (x n ) de inida median e (3)  11 z n -Y p +l 11< n lim i (y n ) = 0  (i=1,2, . . .)~ n qn+l ( 2 ) z n ==  i ( y  +l )x i  (n=1,2, . . .) _ .  i=qn±1  . n E 2 n+3 (5)  lim ~i* ( E n ) = 0  (i=1,2, . . .) . n Aplica emos es a p oposici6n conside ando el espacio de Banach Lp(IR),donde p cumple 1<p<2 . Sea pues ( .1 n )una sucesi6n de a iables alea o ias eales que cons i uyen una base incon dicional de un subespacio H de LP(IR) y designemos median e (En ) a la sucesi6n asociada de uncionales coo denados . Sea (E n ) una sucesi6n de a iables alea o ias independien es de Be noulli, es deci , P(E n =-1)= P(E n =1)= 1/2, n=1,2, . . ., ales que el subespacio ec o ial ce ado [E n ] es é con enido en H . Cla amen e se e i ica (4)  in IIEJ p = 1 . n Lema 3 .- Cualquie a que sea la base conside ada, (En) del subespacio HeLP(IR), 1<p<2, se iene Demos aci6n .- Pa a cada i, sea ni el elemen o de L q (IR), p -1 +q -1 =1, co espondien e a Ji, de modo que (6)  (w)P(dw) 2 pa a odo  IcLP (IR) . Pues o que n i E L (IR) , i=1, 2, . . . . puede descompone se de un modo único de la o ma siguien e ni=ni +n i1  2 donde n ÍE(E n] Y n  [e n7,  complemen o o ogonal de[e n] en L  (IR) . Aho a bien, el p oduc o escala en L 2 (IR) <n i . E n> n iE n dP  (i=1,2, . . .) n cualquie a que sea n e i ica <n i , E n> =<ni, E n> y como (e n ) es una sucesiónbásica o ono mal de L 2 (IR),pue- de esc ibi se lim< ,i,  E J=O n y po an o limnn i E n dP=O  (i=1,2, . . .) . n Bas a inalmen e conside a (6) pa a deduci la alidez del lema 3 . Po aplicación de la p oposición 2 se deduce que exis e (E p n +l ) ,  subsucesión de  (e n ), y  ( e n ) de inida po - qn+ e n  i=q n +l  i  pn ( e  +_9 ) i de modo que (8)  !lo n -e pn+1 H p  <  2 - n -3 yademás  (e n ) es una sucesiónbásicaincondicional de HCL P (IR), si (C n ) es base incondicional . P oposición 4 .- Sea B un espacio de Banach , ( in) una base incondicional de HCLp(IR),,1<p<2,y (Cn) los uncionales coo - denados asociados a la base . Si exis e una cons an e A>0 al que  kj+l-1 (9)  sup =  ICk p< A j k=k j y exis e C>0 alque (10) n  n ~ . x . EJIE  lip < C lix Hp j=1 J 7  j=l J pa a odo n y cualesquie a que sean x l ,x 2 - .,x n s B, en onces B es un espacio de ipo p . Demos ación .- Supongamos que exis e C>0 al que se cumple la desigualdad  (10) . Pa a odo n y cualesquie a x 1 ,x2 , . . .,x n EB, exis e una sucesiónc ecien e de en e os (mj ) alque n  n E IIZ E j x j Ilp  =  Ell ~ _  Em x j Il p , j=1  j=1 j ob iene ( 14 )  EII j ejxiJI P= Ellj 1(J  J 1, (E m . con D=AC . n  n k j+1 -1 pe mi eesc ibi :  n ( 15 )  (EII S e mxj Ilp)1/p <  M(I II xill p) 1/p j=1 j  j=1 donde M=1+D~/P . Po an o el espacio de .Banach B es un espacio de ipo p . P oposición 5.- Sea (1 n ) una sucesión condicionalmen e inde- pendien e de a iables alea o ias cen adas que es base del subespacio HcL p (IR),1<p<2 .Supongamos que exis e A>0 alque k j+l -1 sup L I  1 k~m . )¡p< A . j k=k .  J Un espacio de BanaLhB es de ipo p si y sólo si exis e una cons an e C>0 alque  n (16)  EIIT~ixil ~C L J Ilx i ll p i=1 i=1 pa a odo n y cualesquie a que sean x 1 ,x2 1.. .,x n e B . La demos ación se basaen la p oposición 4 pa a conclui que B es de ipo p . La alidez del ecip oco se sigue de[-11 .1 :1 La siguien e ca ac e ización es un co ola io de la p oposi- ci6n 4 cuando se conside a el caso p=2 . P oposición 6 .- Sea (1 n ) un sis ema o ono mal comple o de L 2 (IR) y B un espacio de Banach . Una condiciónnecesa ia y su- icien e pa a que B sea de ipo 2 es que exis a una cons an e 92 po (7), ambién exis e una sucesión de en e os(k j ) alque k j+1 -1 (11) Ile j Il p =(  I~k(EM .)Ip)l/p = 1 k=k . J (12)  El 0 -EmIP<  2-J  (j=1,2, ...). . -1  _1  J Si p +q =1, po aplicación de la desigualdad de Hó'lde se n  n (13)  EII  (0 -E m )x j ll p <<_% . ._ 1Ixjllp . j=1 j j=1 Po o a pa e, si se ieneen cuen a Finalmen e, la desigualdad iangula n j I IP-< D  /' l ix j I I p j=1 jun o con (13) y M>0 alque (17) EII 1 i x i ll 2 _ M> Ilx i ll 2 i=1  i=1 pa a odo n y cualesquie a x 1,x 2 , .  ,x n EB . La condición su icien e  es un esul ado de KwapienC21 y la condiciónnecesa ia puede ob ene sea pa i de[_1] . Bibliog a ía . [1] . Abau ea,J ., Campos,C ., San Miguel,M .(1979) :"Sob e la inde- pendencia condicional en el sen ido de Beck" . En el olu- men Con ib . en P ob y Es . Ma . Ens . d e la Ma .y Analisis, pp . 25-32, Uni e sidad de G anada . G anada . [2] . Kwapien,S .(1972) :"Isomo phic cha ac e iza ions o inne p oduc spaces by o hogonal se ies wi h ec o alued coe icien s" . S udiaMa h .,44, pp . 583-595 . [3] . Ma i, J .(1969) :"In oduc ion o he heo y o bases" . Sp inge -Ve lag . Be lin . [4] . Singe ,I .(1970) :"Bases in Banach spaces I" .Sp inge -Ve lag . Be lin .