Pub
.
Ma
.
UAB
N -
22
No
.
1980
Ac es
VII
JMHL
EL
NUCLEO
DE
LOS
POTENCIALES
DE
BESSEL-CLIFFORD
Y ESPACIOS
DE
LIPSCHITZ
José
Rod íguez
Expósi o
Dp o
.
d
e
Ecuaciones
Funcionales
Uni e sidad
de
La Laguna
Suma io
.-
Se
dan
algunas
p opiedades
del
núcleo
de
una
clase
de
po enciales
del
ipoBessel
de
o den
a
en
elación
conlos
espaciosde
Lipschi z
AP,q
.
(~
P
1
.
In oducción
.-
L
adeno a
el
espacio
de
po enciales
de
o -
den
a
de
odas
las
unciones
en
Lp
,
ela i oa
la
clase
excep
.
.~
.,
.
.al
Gio
de
con
jun osde medida
de
Lebesgue
ce o,
es deci ,
el
espacio
de
uncionesu
pa a
lasque
exis e
una
unción
EL
p(IR
n
)

alque
u(x)=N
a
* (x)

casi
po
odo
.
La
no ma
de
ca-
da
elemen o
u
de
es e
espacio
iene
de inida
como
la
no ma
del
co espondien e
eLp
:
P
Una
de iniciónequi alen e
pa a

en el
sen ido
de
las
dis ibuciones,
es
la
que
Z
cons i uye
el
espacio
de
dis i
buciones
empe adas
u,
cuyo
po encial
in e sode
o den
a,
N
-a
*u,
es áen
LPP
El
espacio
2
a
,
pa a p<-,
ep esen a
igualmen e
la
comple
-
acibn
(impe ec a)
del
conjun o
de
unciones
Co(I2
n
),
p o is-
o de
la
no ma
:
lluli(a),P
-
[¡
N
2m-a
*
C

1

(1-
A)'u~~
p
a,n,m

L
siendo
a
y
m
(en e o)<-
2
.
Ilull
(a)
,
p=
II 1ITp
C

=

(
n+a-4
)(
n+a-6
)

. . .

(
n+a-2(m+1)
)~
a,n,m
a-2
a-4
a-2m
La
p
uncibn
Na
(x),
cons i uye
el nCcleode
los
po enciales
u
E

y
iene
dada
po
:
N
a
(x)

=
2n_1
u

z
(a/2)

L
n2a
(
x
)
que
incluye
la
unción
modi icada
de
Bessel-Cli o d
de
e c_e
a
especieL
V
(x)
= x
/Z
K
V
(2Y"x),
la
cual
es
solución
de la
ecuación
di e encial
p

x
y"
+
( +1)
y
,
-y
=
0
.
(*)
El
espacio
ea
de
po enciales
de
o den
a
ha
sido
in oduci
do
en un
abajo
an e io
(**) y
es á
conexionado
con
o os
impo an es
espacios,en especial
con
el
de
po enciales
de
Bessel
es udiado
po
N
.
A onszajn
y
K
.T
.
Smi h
.
(***)
.
En
es e
a iculo
se
exponen,
algunas
p opiedades
del
n i=
cleo
Na
en
conexión
conlos
espacios
Aá'
q
de
Lipschi z
.
2
.
P opiedades
de
N
.
P oposición
1
"Sea
a>0
.
Se
iene
:
En e ec o,en
i ud
de
un
eo ema
de
ca ac e ización
pa a
los
espacios
de
Lipschi z
(****),
es
su icien e
comp oba
que
:
CI¡N
e(
(x+ )

-
N
a (x)I
p
dx
p
:<
Al i

p

,
siendo
A
una
cons an e
eal
posi i a
.
Pe oello
sigue
de
una
opo una
descomposición
de
la
in eg al
del
p ime
miemb o
en
sumandos
ela i os
a
los
en o nos
del
o igeny
del
in ini o
.
P oposición
2
6
4
Na
(x)
"Sea
a>0
.
Se
iene
:
AP
~a_n
(1_IS)
N
(x)
E
-AY

si
a-n(P-
2
)
y
IxI21"
a

a_n
(Pp2)_

P
(*)
Vease
[2]
.
(**)
En
cu so
de
publicación
.
(***)
Vease
[11
.
(****)
Vease
3],
pag
.
151,
p op
.
7'
.
si
0<2
-
2(1-P)<1"
'En
e ec o,en
la
misma
lineade
la
demos ación
de
la
p o-
posiciónan e io ,
se
demues a
que
:
p-2
~Na(x+ )-N
(x
(x)j
p
dxj
'p
5
Al i
a-(
p
),
si
0<a-n(P
p
2
)< 1
;
IxI
>-
I I
>1
y
en el
caso
gene al
donde
U
ep esen a
el
meno
en e o
mayo
que
a,
yN0
.(x,y)=
= Py
*
N
a
(x),
siendoPy
el
conocido
núcleo
de
Poisson
.
Co ola io
"Si a>0
y
jxj>1,
se
iene
:
N
a
(x)
E
P oposición
3
"Pa a
25p<-,
se
iene
:
En
e ec o,
bas a
e que
:
Lp
CA
p,p
p
y
que
£2
C
L1

(1<p<-)
.
P oposición
4
"Sea
a>0
y
(*)
Vease
[3],
pag
.
156
.
a-n
(
P
P
2
)
-a
8y
á
Na

Lp<
Ma,p

y
np
n

n
n n
Z2
(IR
.
.)
C
A51,
(2
--
)
~~
0>0
.
Se
iene
:
Pa a
la
demos ación,
se
conside a
la
in eg al
U(x,y)
de
Poisson
de
N
S
*

(
E
L'
(II2
n
) )
U = Py
*N *
pa a
2Sp<-
(*),
N
0 (A
U
)
C
Aa+0

si

IXI>l"
(Y>0)
,
En onces,
si se
designa
con
k
el
meno
en e o
mayo
que
a,
y
si
se
di e encia
1
eces
(1>0)
espec o
de
y
l,y
k
eces
es
pec o
de
,
y
2
,
(y
=
Yl+y2),
se
in ie e
:
ak+lU(
x
.y
)
9
1N
s
(x'2)
a
k
u(x,2)
II

ay
k+1

II
L
~s

II

ay
l

II
L1

II

ayk

II
L
~
1

2
<

A'
(2)
-1+S
A"

(2)-k+as
Ay
-1-k+a+~
de
donde
esul a
:
N
S
* E
á
+0
7

y

II
N0*
I
l~
-
a+s
s
C
II
I1,~_
a
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la
ecuaci6n
di e encial
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+(,P+1)y'+
+y=0
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"On
he
heo y
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Lipschi z
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dis-
ibu ions
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Euclidean
n-spaces,
I
.
P incipal
p ope ies"
.
J
.
Ma h
.
Mech
13,
407-480
(1
.964)
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