El nucleo de los potenciales de Bessel-Clifford y espacios de Lipschitz

Pub . Ma . UAB N - 22 No . 1980 Ac es VII JMHL EL NUCLEO DE LOS POTENCIALES DE BESSEL-CLIFFORD Y ESPACIOS DE LIPSCHITZ José Rod íguez Expósi o Dp o . d e Ecuaciones Funcionales Uni e sidad de La Laguna Suma io .- Se dan algunas p opiedades del núcleo de una clase de po enciales del ipoBessel de o den a en elación conlos espaciosde Lipschi z AP,q . (~ P 1 . In oducción .- L adeno a el espacio de po enciales de o - den a de odas las unciones en Lp , ela i oa la clase excep . .~ ., . .al Gio de con jun osde medida de Lebesgue ce o, es deci , el espacio de uncionesu pa a lasque exis e una unción EL p(IR n )  alque u(x)=N a * (x)  casi po odo . La no ma de ca- da elemen o u de es e espacio iene de inida como la no ma del co espondien e eLp : P Una de iniciónequi alen e pa a  en el sen ido de las dis ibuciones, es la que Z cons i uye el espacio de dis i buciones empe adas u, cuyo po encial in e sode o den a, N -a *u, es áen LPP El espacio 2 a , pa a p<-, ep esen a igualmen e la comple - acibn (impe ec a) del conjun o de unciones Co(I2 n ), p o is- o de la no ma : lluli(a),P - [¡ N 2m-a * C  1  (1- A)'u~~ p a,n,m  L siendo a y m (en e o)<- 2 . Ilull (a) , p= II 1ITp C  =  ( n+a-4 )( n+a-6 )  . . .  ( n+a-2(m+1) )~ a,n,m a-2 a-4 a-2m La p uncibn Na (x), cons i uye el nCcleode los po enciales u E  y iene dada po : N a (x)  = 2n_1 u  z (a/2)  L n2a ( x ) que incluye la unción modi icada de Bessel-Cli o d de e c_e a especieL V (x) = x /Z K V (2Y"x), la cual es solución de la ecuación di e encial p  x y" + ( +1) y , -y = 0 . (*) El espacio ea de po enciales de o den a ha sido in oduci do en un abajo an e io (**) y es á conexionado con o os impo an es espacios,en especial con el de po enciales de Bessel es udiado po N . A onszajn y K .T . Smi h . (***) . En es e a iculo se exponen, algunas p opiedades del n i= cleo Na en conexión conlos espacios Aá' q de Lipschi z . 2 . P opiedades de N . P oposición 1 "Sea a>0 . Se iene : En e ec o,en i ud de un eo ema de ca ac e ización pa a los espacios de Lipschi z (****), es su icien e comp oba que : CI¡N e( (x+ )  - N a (x)I p dx p :< Al i  p  , siendo A una cons an e eal posi i a . Pe oello sigue de una opo una descomposición de la in eg al del p ime miemb o en sumandos ela i os a los en o nos del o igeny del in ini o . P oposición 2 6 4 Na (x) "Sea a>0 . Se iene : AP ~a_n (1_IS) N (x) E -AY  si a-n(P- 2 ) y IxI21" a  a_n (Pp2)_  P (*) Vease [2] . (**) En cu so de publicación . (***) Vease [11 . (****) Vease 3], pag . 151, p op . 7' . si 0<2 - 2(1-P)<1" 'En e ec o,en la misma lineade la demos ación de la p o- posiciónan e io , se demues a que : p-2 ~Na(x+ )-N (x (x)j p dxj 'p 5 Al i a-( p ), si 0<a-n(P p 2 )< 1 ; IxI >- I I >1 y en el caso gene al donde U ep esen a el meno en e o mayo que a, yN0 .(x,y)= = Py * N a (x), siendoPy el conocido núcleo de Poisson . Co ola io "Si a>0 y jxj>1, se iene : N a (x) E P oposición 3 "Pa a 25p<-, se iene : En e ec o, bas a e que : Lp CA p,p p y que £2 C L1  (1<p<-) . P oposición 4 "Sea a>0 y (*) Vease [3], pag . 156 . a-n ( P P 2 ) -a 8y á Na  Lp< Ma,p  y np n  n n n Z2 (IR . .) C A51, (2 -- ) ~~ 0>0 . Se iene : Pa a la demos ación, se conside a la in eg al U(x,y) de Poisson de N S *  ( E L' (II2 n ) ) U = Py *N * pa a 2Sp<- (*), N 0 (A U ) C Aa+0  si  IXI>l" (Y>0) , En onces, si se designa con k el meno en e o mayo que a, y si se di e encia 1 eces (1>0) espec o de y l,y k eces es pec o de , y 2 , (y = Yl+y2), se in ie e : ak+lU( x .y ) 9 1N s (x'2) a k u(x,2) II  ay k+1  II L ~s  II  ay l  II L1  II  ayk  II L ~ 1  2 <  A' (2) -1+S A"  (2)-k+as Ay -1-k+a+~ de donde esul a : N S * E á +0 7  y  II N0* I l~ - a+s s C II I1,~_ a BIBLIOGRAFIA [1] N .ARONSZAJN y K .T . SIMTH : "Theo y o BesseliPo en ials, pa . I" . Ann . Ins . Fou ie , Vol . 11(1 .961), pp . 385-475 . [2] N .HAYEK : "Es udiode la ecuaci6n di e encial xy" +(,P+1)y'+ +y=0 y de sus aplicaciones" . Collec anea Ma hema ica, Ba celona, . . (Vol . XVIII) ascs 1 y 2 1 .966~1 .967, , pp 57- -114 . [3] E .M .STEIN : "Singula in eg als and di e en iabili y o unc ions" . P ince on Uni . P ess, P ince on, New Je sey, (1 .970) . [4] M .H .TAIBLESON : "On he heo y o Lipschi z spaces o dis- ibu ions on Euclidean n-spaces, I . P incipal p ope ies" . J . Ma h . Mech 13, 407-480 (1 .964) .