P'ub
.
Ma
.
UAB
N° 22
No
.
1980
Ac es
VII
JMHL
SEMISISTEMAS
DINAMICOS
DISCRETOSSOBRE
ESPACIOS
TOPOLOGICOS
En iqueLlo ensFus e
Dp o
.
de Teo ia
de
Funciones
Uni e sidad
de Malaga
Resumen
:
Pa a
el
es udio
abs ac o
de
cie os
algo i mos
de
minimización
de
unciones,
Szego-T eccani
in o
ducen
el
concep o
de
Semisis ema
DinámicoDisc e o,e ec uan
do
el
co espondien e
es udio
axiomá ico
.
Sucesi as
ex ensio-
nesdan
un
desa ollo
de
la
eo ía
en el
ma co
de
un
espacio
de
Hilbe ,
conside ando
al e na i amen e
sus
opologías
ue
e
y
débil,
pa asu
aplicación
a
la
op imización
de
unciona-
les
.
Se
p esen a
aquí
el
plan eamien o
y p ime as
p opiedades
pa a
el
casode
un
espacio
opologico
gene al
.
1
.
No aciones
Se
suponedadoen
lo
sucesi o
un
espacio
opo
lógico
(X,T)
sepa ado
.
Con
F(X) se
deno a á
el
conjun o
de
las
pa es
no
acías
T-sucesionalmen e
compac asde
X
.
Pa a
e i a
la
p oli e ación
de
de iniciones
se
emplea án
los
é minos
habi uales
de
la
eo ía
de Semisis-
emasdinámicos
disc e os
en
el
mismo
sen ido
que
apa ecen
Szego
( 3 )
sal o
que
sea
necesa ia
su
e o mulación
.
2
.

El
espacio
con
limi e
(F
(X)
,

S)
.
en
Se
a a á
en es eapa adode
de ini
sob e
F(X)
una
es uc u a
de
espacio
con
lími e
(en
el
sen ido
de
Ku a owski
(z
))
que
comp enda
comocaso
pa icula
el
espa
cio
opológico
(F(X),S
)
inducido
po
la
semides iación
en ecompac os
al
como
apa ece
en
( 1 )
y
(°
) .
dice que
(A
n
)
a
-con e ge
hacia A
si
pa a oda
sucesión
(x
n
)
con

xné
An
n=1,2,
.
. .

exis e euna
subsucesión

(xn
p
)

de modo
que

xn
--'->

x
EA
.
p

Es ácil
da
ejemplos
pa a los que
(F(X),a)
no es
un espacio
con
limi e
.
No obs an e
:
Se
dice que
(A
n
)
R-con e ge
hacia
A(-F(X)
si
oda
subsúcesión
de
(A
n
)
a
-con e ge
hacia A
.
_T
eo ema
F(X)
con
la
con egencia
S
es un
espacio
con
li-
mi e
.
espacio
op
ologico
Se
demonina
semisis ema
dinámico disc e o
sob e
X
a
la
e na

(X,I
+
,
u)

donde
I
+
es el
conjun o dg los
en e os
no
nega i os
y
la
aplicación

Tí
:XxI
+
-~
F(X)
e i ica
3
.1
.
Pa a cada
xeX,
71(x,0)=
{x}
3
.2
.
Pa a cada kEI+
la
aplicación
Tk
=71
( .
,_
k)
:X-1
F
(X)
es

101-con inua

,
.l

sen ido

G

de
lo
.,

'
os
con
1i
m
i
e
ill1no
44en
G

.
.spa _
3
.3
.
Pa a
cada
xeX,
y
cualesquie a h,kEI
+
se
e-
i ica
que
Pa a
la
consis encia
de la
de inición
se debe
p oba
que
si
MEF(X)
y
q(
.,k)
e i ica
(3
.1)
y
(3
.2),
en on
-
ces
el
conjun o

T (M,k)=
U
71(y,k)
es
sucesionalmen e
compac o
es
deci
pe enece
a
F(X)Y
"
Ob iamen e
(M,k)
es
no acío
.
Sea
(x
n
)
una Buce
sión
en
TT(M,k)
.
Exis e
en onces
una sucesión en
M,
(y
n
)
al
que xn
E71(y
n
,k)
n=1,2,
.
. .
y como
M
es
sucesionalmen e
compac
o
puede
supone se
que
y po
la
con inuidad
de

T
k
,

TT(y
n
,k)
->
T (y,k),
de
donde
se
sigue
que
la
sucesión
xn admi e una
subsucesión
(x
np
)
con
x
np

xET
(y, k)
C
71
(M,
k)
Luego
T (M,k)
es
sucesionalmen e
compac o
y
la
de inición
es
consis en e
.
50
Sea

(A
n
)

una
sucesión
en
FM
.

Sea
AcF(X) .Se
3
.
Semisis emas
Dinámicos disc e os
sob e
un
T
(T
(x,h)
,k)=T
(x,h+k)
Cualquie
semisis ema
dinámico
disc e o
en la
acepción
de
Szego
(s)
o
en
la
de
("
)
lo
es
en la
aquí
da-
da
.
Además
exis e
un
mé odos anda dde
de ini
semisis emas
sob e
X
:
Teo ema
Sea
T
:X
---~
.
F(X)

una
aplicación
con inua
en e
los
espacios
con
limi e
(X,T)
y(F(X), S)
.
En onces
si se
de ine
n
T
:X
,
I
+
---->
F(X)

median e
~71T(x,0)=T0(x)=
{x
}
ln
T
(x,k)=T( (x,k-1))
k=1
la
e na
(X,I
,
u
T
)
cons i uye
un
semisis ema
dinámico
disc e o
sob e
X,
que
se
denominainducido
po
T
.
En
el caso
pa icula
de
que
T
sean
una
plicacibn
con
alo es
en
X,
*es
deci ,T
:X
1
X
se dice
que
el
co espondien e
semisis ema
iene
unicidad
pos¡
i a
.
La
de inición
usual
de solución
se
man iene
pa a
los
semisis emas
dinámicos
sob e
espacios
opológicos,
e
iggual
men e
el
concep o
de
conjun o
limi eposi i o
(y
ini o)
de
una
solución
.Lo
mismo
sucede
pa a
los
semiconos
posi i oy nega i o
de
ayec o ias
a
a esde
xc'X,
y ambién
pa a
el
ca ac e
de
posi i amen e
in a ian e,
nega i amen e
in a ian e,
in a ian e,
cuasiposi i amen e
in a ian e
e c
.
Siguen
e i icándose
los
si
guien es
esul ados
:
Teo ema
M
C
X
es
cuasi
posi i amen e
in a ian e
si
pa a
odo
x
de
M,
u(x,1MM

~
.
Teo ema
y
sólo
si
El
conjun o
limi e
posi i o
de
una
soluciónX
,
que
deno a emos
como
es
usual
L+
(
X),
es
cuasiposi i amen ein a ian
e
.
Las
nociones
de
es abilidad
y a acción
pueden
o -
mula se
como
sigue
:
Un
semisis ema
dinámico
disc e o
sob e
(X,T)
se
di-
ce
es able
en el
sen idode Lag angesi
pa a
cada
xEX
el
semic_o
no
posi i o
T+
(x)
es
sucesionalmen ecompac o
.
Sean
xEX
y
M

X
.
Se
dice
que
x
es
a aido
po
M
si
pa a
cualquie solución
X
po
x
se
iene
que

X(n)-~
yEM
.
x
es
casi
a aido
po
M
si
pa a
cualquie solución
X

po

x

se

iene

que

L+
(X)

~ ~~

y

L+
(X
)
C
M
.
x
es
débilmen e
a aido
po
M
si
pa a
cualquie
so-
lución

X

po

x,
L+
(
X)
C
.
M
.
De o ma
simila
a
lo
que
ocu e
en Rn se
e i ica
en es e
caso
que
Teo ema
Los
espec i os
conjun os
de
pun osde
X,
a aidos,
casi
a aidos,y
débilmen e
a aidos
(llamados
espec i amen e
egiones
de
a acción,casi
a acción
y
a accióndébil
de
M),
son
posi i amen e
in a ian es
.
M
C
X
es
es able
si
pa a odo
xVM
y
pa a odo
y
de
M,
exis en
T-en o nos
u
de
x y
V
de
y
ales
que

Un
T
+
(V)=
Puede
demos a se
que
si
M
es
es able
es
posi i amen e
in a ian e
.
4
.
Func
ione
s
de
Liapuno
Sean

VC
.
X y

J
:V
-
.
R
.
Se
dice
que
J
es
una
u_n
ción
de
Liapuno
pa a
el
semisis ema
(X,In)
si
:
4
.1)
J
es
semicon ínuá
in e io men e
4
.2)
Pa acada
soluciónX a
a és
de
x
E
V,si
X(1)EV
se
e i ica
que
J(X(1))
: =J(x)
.
4
.3)
Si
X
es
cualquie
solución
de
ayec o ia
con enida
en V,
y
(k
n
)cI
+
con
kn
-
"
~

e i ica
que
X(k
n
)-TXEV,
en onces
J(X(k
n
))
-
J(x)
.
Es de
indispensable
aplicación
en
semisis emas
gene ados
po
algo i mos
de
op imización,
el
siguien e
esul a
do
:
Teo ema
Si
un
unción
de
Liapuno
J
es á
de inida
sob e
la
ayec o ia
de
una
solucióny
sob e
su
conjun o
lími e,'en-
onces
es
cons an e
sob e
dicho
conjun o
limi e
.
A
pa i
de
es e
eo ema
se
ob ienen
ácilmen e
esul ados
sob e
la
con e gencia
de
las
soluciones
al lo
la go
de
las
cuales
una
unción
de
Liapuno
es
es ic amen edec e
-
cien e
.
5
2
REFERENCIAS
(1)
CASTILLO,
F
.
Disc e eSemi-Dynamical
Sys ems
and
Applica ions
en "Towa dsGlobal
Op imiza ion"
Dixon-Szego
Eds
.
No h
Holland
1975
.
(2)
KURATOWSKI
.
Topologie
II
.
Va so ia,
1950
.
(3)
SZEGO,G
.-TRECCANI?
G
.
An
abs ac
o mula ion
o
minimiza ion
algo i hms
en
Di e en ial
Games
and
ela ed
Topics,
Kuhn-Szego
Eds
.
No h
Holland,
1971
.
(4)
LLORENS,
E
.
Semisis emas
dinámicos
disc e osdébilesy
su
aplicación
a
la
op imización
de
uncionales
.
Publ
.
Sección
Ma emá icas
Uni e sidad
Au ónoma
de
Ba celona,
1979
.