Semisistemas dinámicos discretos sobre espacios topológicos

P'ub . Ma . UAB N° 22 No . 1980 Ac es VII JMHL SEMISISTEMAS DINAMICOS DISCRETOSSOBRE ESPACIOS TOPOLOGICOS En iqueLlo ensFus e Dp o . de Teo ia de Funciones Uni e sidad de Malaga Resumen : Pa a el es udio abs ac o de cie os algo i mos de minimización de unciones, Szego-T eccani in o ducen el concep o de Semisis ema DinámicoDisc e o,e ec uan do el co espondien e es udio axiomá ico . Sucesi as ex ensio- nesdan un desa ollo de la eo ía en el ma co de un espacio de Hilbe , conside ando al e na i amen e sus opologías ue e y débil, pa asu aplicación a la op imización de unciona- les . Se p esen a aquí el plan eamien o y p ime as p opiedades pa a el casode un espacio opologico gene al . 1 . No aciones Se suponedadoen lo sucesi o un espacio opo lógico (X,T) sepa ado . Con F(X) se deno a á el conjun o de las pa es no acías T-sucesionalmen e compac asde X . Pa a e i a la p oli e ación de de iniciones se emplea án los é minos habi uales de la eo ía de Semisis- emasdinámicos disc e os en el mismo sen ido que apa ecen Szego ( 3 ) sal o que sea necesa ia su e o mulación . 2 .  El espacio con limi e (F (X) ,  S) . en Se a a á en es eapa adode de ini sob e F(X) una es uc u a de espacio con lími e (en el sen ido de Ku a owski (z )) que comp enda comocaso pa icula el espa cio opológico (F(X),S ) inducido po la semides iación en ecompac os al como apa ece en ( 1 ) y (° ) . dice que (A n ) a -con e ge hacia A si pa a oda sucesión (x n ) con  xné An n=1,2, . . .  exis e euna subsucesión  (xn p )  de modo que  xn --'->  x EA . p  Es ácil da ejemplos pa a los que (F(X),a) no es un espacio con limi e . No obs an e : Se dice que (A n ) R-con e ge hacia A(-F(X) si oda subsúcesión de (A n ) a -con e ge hacia A . _T eo ema F(X) con la con egencia S es un espacio con li- mi e . espacio op ologico Se demonina semisis ema dinámico disc e o sob e X a la e na  (X,I + , u)  donde I + es el conjun o dg los en e os no nega i os y la aplicación  Tí :XxI + -~ F(X) e i ica 3 .1 . Pa a cada xeX, 71(x,0)= {x} 3 .2 . Pa a cada kEI+ la aplicación Tk =71 ( . ,_ k) :X-1 F (X) es  101-con inua  , .l  sen ido  G  de lo .,  ' os con 1i m i e ill1no 44en G  . .spa _ 3 .3 . Pa a cada xeX, y cualesquie a h,kEI + se e- i ica que Pa a la consis encia de la de inición se debe p oba que si MEF(X) y q( .,k) e i ica (3 .1) y (3 .2), en on - ces el conjun o  T (M,k)= U 71(y,k) es sucesionalmen e compac o es deci pe enece a F(X)Y " Ob iamen e (M,k) es no acío . Sea (x n ) una Buce sión en TT(M,k) . Exis e en onces una sucesión en M, (y n ) al que xn E71(y n ,k) n=1,2, . . . y como M es sucesionalmen e compac o puede supone se que y po la con inuidad de  T k ,  TT(y n ,k) -> T (y,k), de donde se sigue que la sucesión xn admi e una subsucesión (x np ) con x np  xET (y, k) C 71 (M, k) Luego T (M,k) es sucesionalmen e compac o y la de inición es consis en e . 50 Sea  (A n )  una sucesión en FM .  Sea AcF(X) .Se 3 . Semisis emas Dinámicos disc e os sob e un T (T (x,h) ,k)=T (x,h+k) Cualquie semisis ema dinámico disc e o en la acepción de Szego (s) o en la de (" ) lo es en la aquí da- da . Además exis e un mé odos anda dde de ini semisis emas sob e X : Teo ema Sea T :X ---~ . F(X)  una aplicación con inua en e los espacios con limi e (X,T) y(F(X), S) . En onces si se de ine n T :X , I + ----> F(X)  median e ~71T(x,0)=T0(x)= {x } ln T (x,k)=T( (x,k-1)) k=1 la e na (X,I , u T ) cons i uye un semisis ema dinámico disc e o sob e X, que se denominainducido po T . En el caso pa icula de que T sean una plicacibn con alo es en X, *es deci ,T :X 1 X se dice que el co espondien e semisis ema iene unicidad pos¡ i a . La de inición usual de solución se man iene pa a los semisis emas dinámicos sob e espacios opológicos, e iggual men e el concep o de conjun o limi eposi i o (y ini o) de una solución .Lo mismo sucede pa a los semiconos posi i oy nega i o de ayec o ias a a esde xc'X, y ambién pa a el ca ac e de posi i amen e in a ian e, nega i amen e in a ian e, in a ian e, cuasiposi i amen e in a ian e e c . Siguen e i icándose los si guien es esul ados : Teo ema M C X es cuasi posi i amen e in a ian e si pa a odo x de M, u(x,1MM  ~ . Teo ema y sólo si El conjun o limi e posi i o de una soluciónX , que deno a emos como es usual L+ ( X), es cuasiposi i amen ein a ian e . Las nociones de es abilidad y a acción pueden o - mula se como sigue : Un semisis ema dinámico disc e o sob e (X,T) se di- ce es able en el sen idode Lag angesi pa a cada xEX el semic_o no posi i o T+ (x) es sucesionalmen ecompac o . Sean xEX y M  X . Se dice que x es a aido po M si pa a cualquie solución X po x se iene que  X(n)-~ yEM . x es casi a aido po M si pa a cualquie solución X  po  x  se  iene  que  L+ (X)  ~ ~~  y  L+ (X ) C M . x es débilmen e a aido po M si pa a cualquie so- lución  X  po  x, L+ ( X) C . M . De o ma simila a lo que ocu e en Rn se e i ica en es e caso que Teo ema Los espec i os conjun os de pun osde X, a aidos, casi a aidos,y débilmen e a aidos (llamados espec i amen e egiones de a acción,casi a acción y a accióndébil de M), son posi i amen e in a ian es . M C X es es able si pa a odo xVM y pa a odo y de M, exis en T-en o nos u de x y V de y ales que  Un T + (V)= Puede demos a se que si M es es able es posi i amen e in a ian e . 4 . Func ione s de Liapuno Sean  VC . X y  J :V - . R . Se dice que J es una u_n ción de Liapuno pa a el semisis ema (X,In) si : 4 .1) J es semicon ínuá in e io men e 4 .2) Pa acada soluciónX a a és de x E V,si X(1)EV se e i ica que J(X(1)) : =J(x) . 4 .3) Si X es cualquie solución de ayec o ia con enida en V, y (k n )cI + con kn - " ~  e i ica que X(k n )-TXEV, en onces J(X(k n )) - J(x) . Es de indispensable aplicación en semisis emas gene ados po algo i mos de op imización, el siguien e esul a do : Teo ema Si un unción de Liapuno J es á de inida sob e la ayec o ia de una solucióny sob e su conjun o lími e,'en- onces es cons an e sob e dicho conjun o limi e . A pa i de es e eo ema se ob ienen ácilmen e esul ados sob e la con e gencia de las soluciones al lo la go de las cuales una unción de Liapuno es es ic amen edec e - cien e . 5 2 REFERENCIAS (1) CASTILLO, F . Disc e eSemi-Dynamical Sys ems and Applica ions en "Towa dsGlobal Op imiza ion" Dixon-Szego Eds . No h Holland 1975 . (2) KURATOWSKI . Topologie II . Va so ia, 1950 . (3) SZEGO,G .-TRECCANI? G . An abs ac o mula ion o minimiza ion algo i hms en Di e en ial Games and ela ed Topics, Kuhn-Szego Eds . No h Holland, 1971 . (4) LLORENS, E . Semisis emas dinámicos disc e osdébilesy su aplicación a la op imización de uncionales . Publ . Sección Ma emá icas Uni e sidad Au ónoma de Ba celona, 1979 .