Pub
.
Ma
.
UAB
N° 22
No
.
1890
Ac es
VII
JMHL
SOBRE
LAS
SOLUCIONES
HOMOGRAFICAS
DEL
PROBLEMA
DE
n-CUERPOS
Jaume
Llib e
Seccióde
Ma emá iques
Uni e si a
Au ónoma
de
Ba celona
Abs ac
.
Le
q( )
be
a
solu ion
o
he
n-body
p oblem
.
We
p o e
he
ollowing
equi alen es
:
(a)
q( )
is
a
cen al
con igu a ion
o
al]
such
ha q( )
exis s,
(b)
he
mo ion
o
he
ec o
q( ) in
he
posí ionspace
is
con ained
in o
a
linea
submani old
o
dimensión
a
mos
2,
(c)
q( )
is a
homog aphic
solu ion
and
(d)
q( )
is
a
Keple ian
solu ion
.
Se
conside an
n
masas
pun uales
mo iéndose
en un
espacio
euclideo
de
dimensión
3
de
acue do
con
las
leyes
de
la
mecánica
clásica
.
Si la
masa
de
la
i-ésima
pa ícula
es m
i
,
se
deno apo
M
a
la
ma iz
diagonalcuyas
en adas
son las
masas
m
1
,m
l
,m
l
,m
2
,m
2 ,m2
"
."
Mn
,m
n
,m
n
.
Los
ec o es
q
i
eR3
y p
i
e
R
3
deno an
la
posición
y
el
momen o
de la
i-ésima
pa ícula,
es-
pec i amen e
.
Sean
q =
(gl,
. .
.,qn)
y P =
(P1,"
.,p
n
) .
La
ene gia
po encial
U
iene
dada
po
M
.M
.
11
U(q)

=

i
?
.7

11
q,
-
q
j
1l
donde

deno a
la
no ma euclidea
de R
3
.
En
no ación
ec o ial
las
ecuaciones
del
mo imien o
pa a
el
p oblema
de
n-cue pos
en
el
espacio
son
q

=

M
-1
p

,
(1)
p
=ou
.
Es
cla o
que
pa a
cada
elección
de
las
masas
m
l
,
. .
.
,m
n
se
iene
un
p o-
blema
de n
cue pos
.
Sea
o
el
conjun o
de
los
pun os de
colisión,
es o
es,
el
conjun o
de
pun os
q
=
(q1,
._
q
n
)
ales
que
q
i
=
q7
pa a
algun
i¢
j
.
Las
ecuaciones
di e enciales
(1)
de inen
un
campo
ec o ial
sin
singula idades
sob e
{(R
3
)
n
-A}
x(R
3
)
n
.
Se
pueden
educi
las
dimensiones
del
sis ema
(1)
usando
las
in eg ales
del
cen o de
masas
y
del
momen oangula
.
Fijando
el
cen o de
masas
en el
o igen
se
es ingen
las
coo denadas
de
posición
al
subespacio
lineal
Q={
q
:1 m,qi
=0

},
y
las
coo denadas
del
momen o
al
subespacio
P =
{
P
:
Z
P
i
=
0
} .
El
campo
ec o ial
dado
po
(1)
es
angen e
en odo
pun o
a
(Q-o
(1
Q)
xP
y
po
lo
an o
es e
subespacio
lineal
es
in a ian e
po
el
lujo
.
De
apu a
e ,
aucian e
es udia e¡-,,s el
lujo
és ingid0
a
(Q-~
Q)x
.
Una
con igu ación
q = (g
1
_
.,q
n
)

e
Q
- a li Q
se
llama
cen al
si

la
ue za
g a i a o ia
que
ac ua sob e
m
i
es
p opo cional
a la
masa
m
i
y
ala
posición
q
i
;
¡
.e
.,
si
pa a
algún
escala
a
.
46
U(q)
=
xMq
,
Una
solución
q( )
del
p oblema
de
n-cue pos
se
llama
homog á ica
si la
con igu ación
q( )
=
(gl( ),
.
.
.,qn( )) pa a
un
iempo
dado
se
mue e
de
al
mane a
que
es
simila
a
ella
misma
cuando
el
iempo
a ia
.
Es o
es,
una
solución
homog á ica
es á
ca ac e izada
po
la
exis encia
de
una
o ación
R( )
de
R
3
-y
una
dila ación
p( )
>
0 al
que, pa a cada
i
y
,
q
i
=
pRq~
,
donde
el
supe índice
0-
siemp e
se
e ie e
a un
iempo
inicial
0
ijo
.
ec o
posición
q( )
sa is ace
la
siguien e
ecuación
k
q
-_
-
(g q)3
2
q
,
siendo
k
una
cons an e
.
ema
:
Una
solución
q( )
del
p oblema
de
n-cue pos
se
llama
kepZe iana
si
el
La
p esen e
comunicación
iene
po
obje o
p esen a
el
siguien e
eo-
Teo ema
.
Sea
q( )
una
solución
del
p oblema
de
n-cue pos
.
En onces
las
sigui-
en es
condiciones
son equi alen es
:
(a)
q( )
es
una
con igu ación
cen al
pa a odo
al
que
q( )
exis a
.
(b)
El
mo imien o
del
ec o
q( ) en el
espacio
de
las
posiciones
Q
-A
(N
Q
es á
con enido
en un
subespacio
lineal de
Q de
dimensión
a
lo
sumo
2
.
(c)
q( )
es
una
solución
homog á ica
.
(d)
q( )
es
una
solución
kepZe iana
.
En
la
demos ación
del
eo ema
se
u iliza
un
lema
debido
a
Dziobek
[1]
.
Re e encias
[1J
Win ne ,
A
.
:
1941,
The
analy ical
ounda ions
o
Celes ial
Mechanics,
P ince on
Ma h
.
Se ies,
Vol .5,
P ince on
Uni
.
P ess,
N
.J
. .