Sobre las soluciones homográficas del problema de n-cuerpos

Pub . Ma . UAB N° 22 No . 1890 Ac es VII JMHL SOBRE LAS SOLUCIONES HOMOGRAFICAS DEL PROBLEMA DE n-CUERPOS Jaume Llib e Seccióde Ma emá iques Uni e si a Au ónoma de Ba celona Abs ac . Le q( ) be a solu ion o he n-body p oblem . We p o e he ollowing equi alen es : (a) q( ) is a cen al con igu a ion o al] such ha q( ) exis s, (b) he mo ion o he ec o q( ) in he posí ionspace is con ained in o a linea submani old o dimensión a mos 2, (c) q( ) is a homog aphic solu ion and (d) q( ) is a Keple ian solu ion . Se conside an n masas pun uales mo iéndose en un espacio euclideo de dimensión 3 de acue do con las leyes de la mecánica clásica . Si la masa de la i-ésima pa ícula es m i , se deno apo M a la ma iz diagonalcuyas en adas son las masas m 1 ,m l ,m l ,m 2 ,m 2 ,m2 " ." Mn ,m n ,m n . Los ec o es q i eR3 y p i e R 3 deno an la posición y el momen o de la i-ésima pa ícula, es- pec i amen e . Sean q = (gl, . . .,qn) y P = (P1," .,p n ) . La ene gia po encial U iene dada po M .M . 11 U(q)  =  i ? .7  11 q, - q j 1l donde  deno a la no ma euclidea de R 3 . En no ación ec o ial las ecuaciones del mo imien o pa a el p oblema de n-cue pos en el espacio son q  =  M -1 p  , (1) p =ou . Es cla o que pa a cada elección de las masas m l , . . . ,m n se iene un p o- blema de n cue pos . Sea o el conjun o de los pun os de colisión, es o es, el conjun o de pun os q = (q1, ._ q n ) ales que q i = q7 pa a algun i¢ j . Las ecuaciones di e enciales (1) de inen un campo ec o ial sin singula idades sob e {(R 3 ) n -A} x(R 3 ) n . Se pueden educi las dimensiones del sis ema (1) usando las in eg ales del cen o de masas y del momen oangula . Fijando el cen o de masas en el o igen se es ingen las coo denadas de posición al subespacio lineal Q={ q :1 m,qi =0  }, y las coo denadas del momen o al subespacio P = { P : Z P i = 0 } . El campo ec o ial dado po (1) es angen e en odo pun o a (Q-o (1 Q) xP y po lo an o es e subespacio lineal es in a ian e po el lujo . De apu a e , aucian e es udia e¡-,,s el lujo és ingid0 a (Q-~ Q)x . Una con igu ación q = (g 1 _ .,q n )  e Q - a li Q se llama cen al si  la ue za g a i a o ia que ac ua sob e m i es p opo cional a la masa m i y ala posición q i ; ¡ .e ., si pa a algún escala a . 46 U(q) = xMq , Una solución q( ) del p oblema de n-cue pos se llama homog á ica si la con igu ación q( ) = (gl( ), . . .,qn( )) pa a un iempo dado se mue e de al mane a que es simila a ella misma cuando el iempo a ia . Es o es, una solución homog á ica es á ca ac e izada po la exis encia de una o ación R( ) de R 3 -y una dila ación p( ) > 0 al que, pa a cada i y , q i = pRq~ , donde el supe índice 0- siemp e se e ie e a un iempo inicial 0 ijo . ec o posición q( ) sa is ace la siguien e ecuación k q -_ - (g q)3 2 q , siendo k una cons an e . ema : Una solución q( ) del p oblema de n-cue pos se llama kepZe iana si el La p esen e comunicación iene po obje o p esen a el siguien e eo- Teo ema . Sea q( ) una solución del p oblema de n-cue pos . En onces las sigui- en es condiciones son equi alen es : (a) q( ) es una con igu ación cen al pa a odo al que q( ) exis a . (b) El mo imien o del ec o q( ) en el espacio de las posiciones Q -A (N Q es á con enido en un subespacio lineal de Q de dimensión a lo sumo 2 . (c) q( ) es una solución homog á ica . (d) q( ) es una solución kepZe iana . En la demos ación del eo ema se u iliza un lema debido a Dziobek [1] . Re e encias [1J Win ne , A . : 1941, The analy ical ounda ions o Celes ial Mechanics, P ince on Ma h . Se ies, Vol .5, P ince on Uni . P ess, N .J . .