Pub
.
Ma
.'UAB
N°22
No
.
1980
Ac es
VII
JMHL
SOBRE
TRES
EQUACIONS
FUNCIONALS
EN
SEMIGRUPS
TT,LDE
FUNCIONS
DE
DISTRIBUCIÓ
Claudi
Alsina
Dp
.
Ma emá iques,E
.T
.S.A.V
.
Uni e si a
Poli écnica
de
Ba celona
ABSTRACT
:
In
his
pape we sol e
some
unc ional
equa ions
which
cha ac e ize
he
semig oup
TMin,L
o
p obabili y
dis ibu ion
unc ions
.
Each unc ional
equa ions
is
sol ed
wi h
a
di e en
me hod
.
1 .
In oducció
.
En
aques a icle
esolem
basicamen
es
equa ions
un-
cionals
que
ca ac e i zen
el
semig up
T
Min

de
uncions
de
,L
dis ibució
([1])
.
La
p ime a
equació
és
una
equació
en un
do-
mini
es ingi
i
el
seu
mé ode
de
esolució
gene ali za
a
1'in odui
en
[2]
.
La
segonaequació
esol
la
dis ibu i i a
en el
con ex
dels
semig ups
T
T,L
i la
e ce a
equació
gene a-
li za
el
eo emadona
en [5],
o
es ablin
que
si
T7¿Min
els
semig ups
T
T,L
no
de i en
d'ope acions
en e
a iables
alea o-
ies
.
Pé
de inicions
i
concep esp e is
egi's
[2,3,4,5]
.
Si
(a,b)e[0,+-)x[0,1]
sigui
G
b
en
D
+
donada
pe
Gb( )=b
si
0< C
a
b
i
G
a
( )=1
si
a<
.
El
conjun
.C
se á
el
conjun
de
o es
les
ope acions
biná-
ies
L
en
[0,w]
con ínues
en
[0,-)
2
,
associa i es,
commu a i es,
es ic amen
c eixen es
en
0,_
2 i
als
que
en
L(0,0)=0
.
Sigui
£o={LE£IL(0,x)=x,
pe o
x>
0}
i
£1={Me£IM(1,x)=
=x,
M(0,x)=0,
pe o
x
:
0}
.
Qualse ol
ope ació
LE£
0
U£
1
adme
la
ep esen ació
L(x,y)=R-1(Q(x)+k(y)),
on el
gene ado
addi iu
£
:[0,-)-
[0,-)
és
con ínuü
i
es ic amen
c eixen
.
Si
T es
-no ma
i
LE£
0
U£
1
,F,GED
es
de ineix
pe
x>O,
TT
.L
(F,G)(x)=sup{T(F(u),G( ))
;
L(u, )=x)
.
2
.
Una
ca ac e i zació
de
TMin,L
en un
domini
es ingi
{F)
.
TEOREMA

2
.1
.

Sigui
LE£
0

i
FED
+
es ic amen
c eixen
en
F-1((0,1))
.
Alesho es
T
TL
(F,F)
=
Foj
L
1
,
(EF1),
sí i
només
si
T=Mín
en
RanFxRanF(j
L
(x)=L(x,x))
.
Demos ació
.
Sigui
xEF-1

-1
((0,1))
i
EE(0,x-in F
((0,1)))
.
Essen
0<F(j-1(x-E/2))-F(7L1(x-E))
=
A(x,E)
.
0<F(jL1(x-E/2))-F(2-1{Q(x-E/2)-(R(x)I2)))=B(X,E)
.
Aga an
8e(O,Mln(A(X,E),B(X,E)))
i
aplican
(EF1)
en'x-E/2,
pe
d
exis i an
uo, o>O
als
queL(u
o , 0
)=x-E/2
i
ind em
F()
L1
(x-E/2))-T(F(uo),F( o))<b,
(*)
F(jL1(x-E))<F(j_1(x-E/2_))-d<T(F(uo),F( o))
.
Alesho es
u
o ,
o
-<
j
-1
(x)
.
Si
os
uo
>j -1
(x)
esul a ía
d'on
pe
(*)
x-E/2=L(uo, o)>L(jL1(x), 0)=R_1(2,( 0)+k(x)/2),
o<Q,-1(k(x-E/2)-9(x)/2)
5
j-1(x)<u01
F
(j
-1
(x-E/2)
)
-d<T
(F
(u
o
)

F
(
o
)
)<,F
(
o
KF
(C
1
(
(x-c/2)- (x)/2»,
és
a
di
B(x,E)<Ó,
absu d
.
Així
u
Cj
-1
(x)
i
analogamen
o
Sj
-
-
1
(x)
.
Pe
an
(*)
mena
a
12
oL
F(j-1(x-E))<T
(F(uo),F( o))
5
T(F(JL1(X)),F(JL1(x)))
CF(jL1(x)),
d'on
pe
l'a bi a ie a
d'E
i
la
con inui a
pe
1'esque a
de
F,

essen
RanF=Ran(Foj
_
L
1
)

podem
conclou e
T=Min
en
RanFxRanF
.
COROL
.LARI
2
.1
.
Si
FED
+
és
con inua
i
es ic amen
c eixen
en
F-1((0,1)),
alesho es
T
T
L
(F,F)=Foj
-
1
si
i
només
si
T=Min
.
3
.
Dis ibu i i a
en e
semig ups
T
T,L
.
En
aques
apa a
esold em1'equació
de
la
dis ibu i i-
a
:
on
F,G,HED
+
són
uncions
de
dis ibució
a bi á ies
i
les
incog
ni es
són
T,T'E
T,
LE£
i
ME,C
0

1
,
LEMMA
3
.1
.
Sigui
TET,
a,b
E(0,-)
i
c,de[0,1]
.
Alesho es
TT,M(F,TT,L(G,H))
=T
T',L
(T
T,M
(F,G)
'
TT M
(F,H)),

(EF
2)
Si
LE£
és TT
L(£a'eb)=EL(a,b)
i
T
T,L
(X
C'
Ad
)-X
T(c,d)'
(ii)

Si

LE£
0

és

T
T,L
(Gc,Gd)

=

Min(GT(c,d)'

GMax(c)d))'
(iii)
Si
ME£
1
és
T
T,M
(G1,G
1
)=G
1
TEOREMA

3
.1
.

SiguinT,T'cT,

LE£
o

i
ME£
1 .

Alesho es
TT
.M
és
dis ibu i a
espec e
TT
,
'L' (EF
2),
si
i
només
sí
T'
=
Min
i
M
is
dis ibu i a
espec e
a L
.
Demos ació
.
Conside i's
a,b,ce[O,°°)
.
Pel
lemma
3
.1
(i)
i
(EF
2)
en
F=C
a
,
G=C
b
i
H=C
C
esul a
EM(a,L(b,c))
d'on
M
dis ibueix
a
L
.
Aga an
ce(0,1)
i
EL(M(a,b),M(a,c))'
aplican
(EF
2)
amb
F=G=H=G
1
,
esul a
pel
lemma
3
.1
(ii)
i
(iii)
que
T'(c,c)=GT'(c,c)(1)=sup
T(Gc(u),Min(G
1
( ),Gc(1,1)( )))
M(u, )=1

T'(c,c)
dona
que
el
da e sup ems'a apa
en el
pun
(1- 0,L(1,1)+
0
).
essen
0
E(0,1),
doncs
la
unció
h( )=M(1- ,L(1,1)+ )
sa is á
h(0)=L(1,1)>1>h(1)=O
i
pe
an
adme
el
pun
0
E(0,1)
on
h(
)
=
M(1,1)=1
.
Pe
an ,
si
T'(c,c)=c
podemdedui
T'=Min
.
0
4
.T-Min,L
i
ope a ions
en e
a iables
alea ó ies
.
L'ope ació
TT,L es
diu
de i able
duna
ope ació
en e
a-
iablesalea ó ies
(
.a)
si
exis eix
una
unció
eal
de
dues
a iables
g
que
sigui
mesu able
Bo el,
de
o ma
que
TT,L(FX,Fy)
=
Fg(X,Y),
pe
qualse olpa ella
F
X
,F y
,
En
[5]
es
a
demos a
que
Púnica
ope ació
de
la
classe
T
T,Sum
que
és
de i able

en el

sen i
p eceden
és

TMin,Sum'

En
aques
apa a
demos a em
que
la
ma eixa
si uació
es
p esen a
en la
classe
d'ope acions
T
T,L
,
és a
di ,
Púnica
solució
de
1'equació
uncional
aCL=
TT,L
es
C=T=Min,
on
0C,L
ep esen a
la
sigma-ope ació
de inida
en
[3J
.
LEMMA
4
.1
.
Sigui
LE£
o
i
ME£
1 .
Si C is
c8pula
i
a,b6(0,1),
(i)
6C
L
(Ga,
Gb)=Min(GC(a,b),
Ga+b-C(a,b))
:
(ii) QC
M
(G
a
,
Gb)-Ga+b-C(a,b)
.
TEOREMA
4
.2
.
Tan
si
LE£
0
U
£
1
,
1'ope ació
TT,L
és
de i able
d'una
ope ació
en e
.a
.,
si i
només
si
T
=
Min
.
REFERENCIES
[11
ALSINA,
C
.,
"Idempo en
elemen s
o
T
T'L
-semig oups"
.
Abs ac s
AMS
mee ing
769
a
New
Yo kCi y
.
[2[
ALSINA
C
.,
"Some unc ional
equa ions
in
he
space
o
uni o m
dis ibu ion
unc ions"
.
Accep a
pe
a
publicació
en
Aequa iones
Ma hema icae
(Canada)
.
[3)
MOYNIHAN,
R
.,
SCHWEIZER,
B
.
i
SKLAR,
A
.,
"Inequali ies
among
ope a ions
on
p obabili y
dis ibu ion
unc ions,
en
Gene al
Inequali ies
I",
ed
.
E
.F
.
Beckenbach,
Bi khause
Ve lag
Ba-
sel,
133-149
(1978)
.
[4]
SCHWEIZER,
B
.,
"Mul iplica ions
on
he
space
o
p obabili y
dis ibu ion
unc ions,
Aequa
.
Ma h
.
12,
156-183
(1975)
.
[5[
SCHWEIZER,
B
.,
i
SKLAR,
A
.,
"Ope a ions
on
dis ibu ion
unc ions
no
de i able
om
ope a ions
on andom a iables",
S udiaMa h
.
T .L
.
II,
43-52
(1974)
.