Sobre tres equacions funcionals en semigrups Tt,l de funcions de distribució

Pub . Ma .'UAB N°22 No . 1980 Ac es VII JMHL SOBRE TRES EQUACIONS FUNCIONALS EN SEMIGRUPS TT,LDE FUNCIONS DE DISTRIBUCIÓ Claudi Alsina Dp . Ma emá iques,E .T .S.A.V . Uni e si a Poli écnica de Ba celona ABSTRACT : In his pape we sol e some unc ional equa ions which cha ac e ize he semig oup TMin,L o p obabili y dis ibu ion unc ions . Each unc ional equa ions is sol ed wi h a di e en me hod . 1 . In oducció . En aques a icle esolem basicamen es equa ions un- cionals que ca ac e i zen el semig up T Min  de uncions de ,L dis ibució ([1]) . La p ime a equació és una equació en un do- mini es ingi i el seu mé ode de esolució gene ali za a 1'in odui en [2] . La segonaequació esol la dis ibu i i a en el con ex dels semig ups T T,L i la e ce a equació gene a- li za el eo emadona en [5], o es ablin que si T7¿Min els semig ups T T,L no de i en d'ope acions en e a iables alea o- ies . Pé de inicions i concep esp e is egi's [2,3,4,5] . Si (a,b)e[0,+-)x[0,1] sigui G b en D + donada pe Gb( )=b si 0< C a b i G a ( )=1 si a< . El conjun .C se á el conjun de o es les ope acions biná- ies L en [0,w] con ínues en [0,-) 2 , associa i es, commu a i es, es ic amen c eixen es en 0,_ 2 i als que en L(0,0)=0 . Sigui £o={LE£IL(0,x)=x, pe o x> 0} i £1={Me£IM(1,x)= =x, M(0,x)=0, pe o x : 0} . Qualse ol ope ació LE£ 0 U£ 1 adme la ep esen ació L(x,y)=R-1(Q(x)+k(y)), on el gene ado addi iu £ :[0,-)- [0,-) és con ínuü i es ic amen c eixen . Si T es -no ma i LE£ 0 U£ 1 ,F,GED es de ineix pe x>O, TT .L (F,G)(x)=sup{T(F(u),G( )) ; L(u, )=x) . 2 . Una ca ac e i zació de TMin,L en un domini es ingi {F) . TEOREMA  2 .1 .  Sigui LE£ 0  i FED + es ic amen c eixen en F-1((0,1)) . Alesho es T TL (F,F) = Foj L 1 , (EF1), sí i només si T=Mín en RanFxRanF(j L (x)=L(x,x)) . Demos ació . Sigui xEF-1  -1 ((0,1)) i EE(0,x-in F ((0,1))) . Essen 0<F(j-1(x-E/2))-F(7L1(x-E)) = A(x,E) . 0<F(jL1(x-E/2))-F(2-1{Q(x-E/2)-(R(x)I2)))=B(X,E) . Aga an 8e(O,Mln(A(X,E),B(X,E))) i aplican (EF1) en'x-E/2, pe d exis i an uo, o>O als queL(u o , 0 )=x-E/2 i ind em F() L1 (x-E/2))-T(F(uo),F( o))<b, (*) F(jL1(x-E))<F(j_1(x-E/2_))-d<T(F(uo),F( o)) . Alesho es u o , o -< j -1 (x) . Si os uo >j -1 (x) esul a ía d'on pe (*) x-E/2=L(uo, o)>L(jL1(x), 0)=R_1(2,( 0)+k(x)/2), o<Q,-1(k(x-E/2)-9(x)/2) 5 j-1(x)<u01 F (j -1 (x-E/2) ) -d<T (F (u o )  F ( o ) )<,F ( o KF (C 1 ( (x-c/2)- (x)/2», és a di B(x,E)<Ó, absu d . Així u Cj -1 (x) i analogamen o Sj - - 1 (x) . Pe an (*) mena a 12 oL F(j-1(x-E))<T (F(uo),F( o)) 5 T(F(JL1(X)),F(JL1(x))) CF(jL1(x)), d'on pe l'a bi a ie a d'E i la con inui a pe 1'esque a de F,  essen RanF=Ran(Foj _ L 1 )  podem conclou e T=Min en RanFxRanF . COROL .LARI 2 .1 . Si FED + és con inua i es ic amen c eixen en F-1((0,1)), alesho es T T L (F,F)=Foj - 1 si i només si T=Min . 3 . Dis ibu i i a en e semig ups T T,L . En aques apa a esold em1'equació de la dis ibu i i- a : on F,G,HED + són uncions de dis ibució a bi á ies i les incog ni es són T,T'E T, LE£ i ME,C 0  1 , LEMMA 3 .1 . Sigui TET, a,b E(0,-) i c,de[0,1] . Alesho es TT,M(F,TT,L(G,H)) =T T',L (T T,M (F,G) ' TT M (F,H)),  (EF 2) Si LE£ és TT L(£a'eb)=EL(a,b) i T T,L (X C' Ad )-X T(c,d)' (ii)  Si  LE£ 0  és  T T,L (Gc,Gd)  =  Min(GT(c,d)'  GMax(c)d))' (iii) Si ME£ 1 és T T,M (G1,G 1 )=G 1 TEOREMA  3 .1 .  SiguinT,T'cT,  LE£ o  i ME£ 1 .  Alesho es TT .M és dis ibu i a espec e TT , 'L' (EF 2), si i només sí T' = Min i M is dis ibu i a espec e a L . Demos ació . Conside i's a,b,ce[O,°°) . Pel lemma 3 .1 (i) i (EF 2) en F=C a , G=C b i H=C C esul a EM(a,L(b,c)) d'on M dis ibueix a L . Aga an ce(0,1) i EL(M(a,b),M(a,c))' aplican (EF 2) amb F=G=H=G 1 , esul a pel lemma 3 .1 (ii) i (iii) que T'(c,c)=GT'(c,c)(1)=sup T(Gc(u),Min(G 1 ( ),Gc(1,1)( ))) M(u, )=1  T'(c,c) dona que el da e sup ems'a apa en el pun (1- 0,L(1,1)+ 0 ). essen 0 E(0,1), doncs la unció h( )=M(1- ,L(1,1)+ ) sa is á h(0)=L(1,1)>1>h(1)=O i pe an adme el pun 0 E(0,1) on h( ) = M(1,1)=1 . Pe an , si T'(c,c)=c podemdedui T'=Min . 0 4 .T-Min,L i ope a ions en e a iables alea ó ies . L'ope ació TT,L es diu de i able duna ope ació en e a- iablesalea ó ies ( .a) si exis eix una unció eal de dues a iables g que sigui mesu able Bo el, de o ma que TT,L(FX,Fy) = Fg(X,Y), pe qualse olpa ella F X ,F y , En [5] es a demos a que Púnica ope ació de la classe T T,Sum que és de i able  en el  sen i p eceden és  TMin,Sum'  En aques apa a demos a em que la ma eixa si uació es p esen a en la classe d'ope acions T T,L , és a di , Púnica solució de 1'equació uncional aCL= TT,L es C=T=Min, on 0C,L ep esen a la sigma-ope ació de inida en [3J . LEMMA 4 .1 . Sigui LE£ o i ME£ 1 . Si C is c8pula i a,b6(0,1), (i) 6C L (Ga, Gb)=Min(GC(a,b), Ga+b-C(a,b)) : (ii) QC M (G a , Gb)-Ga+b-C(a,b) . TEOREMA 4 .2 . Tan si LE£ 0 U £ 1 , 1'ope ació TT,L és de i able d'una ope ació en e .a ., si i només si T = Min . REFERENCIES [11 ALSINA, C ., "Idempo en elemen s o T T'L -semig oups" . Abs ac s AMS mee ing 769 a New Yo kCi y . [2[ ALSINA C ., "Some unc ional equa ions in he space o uni o m dis ibu ion unc ions" . Accep a pe a publicació en Aequa iones Ma hema icae (Canada) . [3) MOYNIHAN, R ., SCHWEIZER, B . i SKLAR, A ., "Inequali ies among ope a ions on p obabili y dis ibu ion unc ions, en Gene al Inequali ies I", ed . E .F . Beckenbach, Bi khause Ve lag Ba- sel, 133-149 (1978) . [4] SCHWEIZER, B ., "Mul iplica ions on he space o p obabili y dis ibu ion unc ions, Aequa . Ma h . 12, 156-183 (1975) . [5[ SCHWEIZER, B ., i SKLAR, A ., "Ope a ions on dis ibu ion unc ions no de i able om ope a ions on andom a iables", S udiaMa h . T .L . II, 43-52 (1974) .