Pub
.
Ma
.
UAB
N° 21
Oc
.
1980
Ac es
VII
JMHL
LIMITES
PROYECTIVOS
DE
MEDIDAS
Y
CONVERGENCIA
DE
MARTINGALAS
JuanLuísRome o
Rome o
Dp o
.
de
Teo íade
.Funciones
Uni e sidad
de
Se illa
ABSTRACT
In his
pape
a e
s udied
he
ma ingales
associa-
ed
o
a
p ojec i e
sys em
o
opological
spaces,
Theo-
em
1
p o es
ha an
a bi a y
ma ingale
is
"essen ia
lly"
a
ma ingaleassocia ed
o
a
p ojec i e
.
sys em
o
compac
spaces
.
A
o mula ion
o
he
Radon-Nikod~m
p o-
pe y
o
Banach
spaces
is
gi en
in
Theo em
2
.
Sea

T

un

espacio

opológico
.

Sea

S

=

{T
i,7
~~
J
,
.,iCI}
un
sis ema
p oyec i o
de
espacios
opológic
.os
al
que
pa a
cada

iE
I

exis e

una

aplicación

con inua

n
.
i:T

->

Ti
.

al
que,

si

i

<

j

,

T
i

=

i
i
,.
J
a
J
.

.

Pa a

cada

i
E
I

deno a emos
po
B
i
el
o-álgeb a
de los
conjun os
de
Bo el
en
T
i
y
esc ibi emos

8
i
=
7T
-
i
1
(BDeno a emos
po

B

el
o-álge-
b a
de los
conjun os
de
Bo el
en

T,
La
amilia
{B
l
,iL
I}
es
una
amilia
c ecien emen e
di igida
de
sub-o-álgeb as
de
B
.
En
p ime
luga
es udia emos
la
o ma
que
ienen
las
ma ingalas
sob e
T
asociadas
a
la
amilia
(B
¡
,iE
I)
.
Con
es e
ín
se
es ablece
el
Lema
siguien e
:
Lema
1,
Sea
u
una
medida
de
Radon
sob e,
T,
sea
E
un
espa-
cio

de

Banach

y

sea

i

I
.

De inamos

1i
i
.

=

,
iu

,

La

condición
necesa ia
y
su icien e
pa a
queuna
unción

e
L
1
(u
;E)
sea
B l
-medible
(es
deci
E
L i
(T,8
1
,u/B
l
;E)
)
es
queexis auna
unción
.
:T,
->
E B
.-medible
y
p-in eg able
al
que
1
1

1

i
=

.o
i .

(mod

u/B
i
)
233
Si
.
aho a

( 1,B1,ie
I)

es
una
ma ingala
sob e
en
i ud
del
lema
an e io ,
es a
ma ingala
es de
i
.
la
o ma

(
¡
o'
¡
,B

lc
I)
donde,
pa a cada
iE
I,
i
:T
i
->
E
es
una
unción
B
1
.-medible
y
u
i
-in eg able
.
Si
pa a cada
iE
I
de inimos

i
=
P
.,

se iene,

po
se
-
(
inni
,
B 1
,ic
I)

una
ma ingala,que
(
i
,iEI}
es
un
sis ema
p oyec í o
de
medidas
ec o iales
nume ablemen e
adi i as
al
que,
pa a
cada
ic
I,
i
«

},
i
,

En

es e

caso

di emos

que

{
i
,
iE
I}

es

un

sis ema
p oyec í o
de
medidas
ec o iales
absolu amen e
con inuo es-
pec o
del
sis ema
{u
i
,ie
I}
.
A
con inuación
se
p ueba
que
oda
ma ingala,con
alo
es
en
un
espacio
de
Banach
E,
de inida
a
pa i
de
un
espa-
cio
de
medidaa bi a io

y
una
amilia
c ecien e-
men e
di igida
{L 1
.,¡E
I}
de
sub-o-álgeb as
de
F
.
es
"esencial-
men
.e"
una
ma ingala
( opológica)
del
ipo
conside ado
an e-
io men e
.
Más
p ecisamen e
,
se
iene
el
siguien e
Teo ema
de
Rep esen ación
:
Teo ema
1
.
Sea
(2,E,u)
un
espacio
de
medida
a bi a io
.
Sea
{E
.,ie
I}
una
amilia
c ecien emen e
ii i
.gida
dP
s1_,b- -a'_1ga-
1_

_
b asdé
E
.
Sea
E
un
espaciode Bánach
.
Sea
T
el
espacio
de
S oneasociado
a
(9,E,u)
y
sea
J la
medida
de
Radon
so-
b e
T
asociada
a
U
.
Pa a cada
is
I
sea
T
i el
espacio
de
S one

asociado

a

(2,E1.,u/E
1
.)

y

sea

a
1
,

la

co espondien e
medida
de
Radon
sob e
Ti
.
Exis en
aplicacíones
con inuas
canónicas
ui
:T
->
Ti y
niJ
:Tj
->
Ti
(i
; j)
ales
que
n
1
.

=

¡j
-
'j
,,

A
.

=

n

a

,a
1
.
.=

n
.
J
,

a
.

.

Exis e

ambién

una
1
1

1
J
amilia
{g i
,is
I}
de
unciones
con inuas
(g
i
:T
i
->
E
pa a
¡E
'I)

asociada

a

:la

ma ingala

(
i
,E
i
,
ie
I)

de

al

ma
ne a
que

(g
i
on
i
,
8
l
,¡e
I)
es
una
ma ingala
y
al
que
la
aplicación

( i
,Ei,i
.6
I)
->
(g
i
oi
i
,B l
,i
E
I)

es
inyec i a
.
Además
la
ma ingala

( 1
.,E1
.,i.E I)

con e ge
si
y
s81ó
si
.
la
ma ingala
(g i
oi i,B
1
,icI)
con e ge,
Es e
eo ema,
jun o
con
las
obse aciones
que
-
siguen
al
lema
1,
mues a
la
es echa elación
exis en e
en e
la
eo ía
de
ma ingalas
y la de
los
lími es
p oyec i os
de
23
4
medidas
.
Examinamos
aho a
el
p oblema
de la
con e gencia
de
ma ingalas
desde
es e
úl imopun o
de
is a
.
Sí
(£
1
,B
l
,¡e
1)
es
una
ma ingala
aco ada
del
i-
po
conside ado
al
p incipio
y
=
(
i
,
i
C I)
es
el
co espon-
dien e
sis emap oyec i o
de
medidas
ec o iales
de
Radon
se
e i ica
:
P oposición
l
.-
E1
sis ema
de ine
una
medida ec o ial
.
ini a
men e
adi i a
sob e
el
álgeb a
C =

l
R)

(y
nume ablemen-
e
adi i asob e
cada
B1
)
que
es
de
a iaciónaco ada
y
al
que

si

«
p(C)

(es

deci

si
.

pa a

cada

c>0

exis e

un

5>0
al que
1I (A
<
c
siemp e
que
AC
C y
u(A)
<
5)
en onces

se
puede
ex ende
a
una
medida
nume ablemen e
adi i a
sob e
a(C)
.
La
demos ación
consis e
en
p oba
que
es
débil-
men e
nume abl
i
emen e
adi i a
en C
y
en
u iliza
el
Teo ema
de
Ex ensión
de
Ca a heodo y-11ahn-Klu anelc
(C
.[1],
pág,27),
En
el
es udio
de la
con e gencia
de
ma ingalas,
las
ma ingalas
uni o memen e
in eg ables
(C
.[l1
,pág
.126)
juegan
un
papel
undamen al
.
Si
con inuamos
con las
no acio-
nes
an e io es,
se
e i ica
:
P oposición
2
.
Una
ma ingala
aco ada

(
l
,B
3_
,íc-
I) es
uni o me
men e
in eg able
en
L
í
(T,B,u
;E)
si y
sólo si

«li(C)
.
Es eúl imo
esul ado
nos
á
a
pe mi i
es ablece
una
nue a
o mulación
de
la
p opiedad
de
Radon-Nikod§m
pa a
los
espacios
de
Banach
.
Pues o
que
deci
que una
ma ingala
es
aco ada
se
aduce
en
que
sea
de
a iación
o al
aco ada
,
el
que
la
ma ingala
sea
uni o memen e
in eg able
en
que
<<U(C)
y
el
que
la
ma ingala
sea
con e gen e
se
aduce
en
que
exis-
a
una
densidad
de
espec o
de
U
.
61
siguien e
esul ado
Teo ema
(C [1],pág
.127)
Un espacio
de
Banach
E
iene
la
p opiedad
de
Radon
Nikody'm
si
y
sólo
si
cada
ma ingala
uni o memen e
in eg able
y
aco ada,
con
alo es
en
E, es
con e gen e
.
puede
se
enunciado
como un
eo emagenuino
del
ipo
Radon-
Nikodym
.
Teo ema
2
.
Un
espacio
de
Banach
E
iene
la
p opiedad
de
Radon-
Nikodym
si y
sólo
si
pa a cada
sis ema
(T,U
;T
i
,i
ij
I) y
cada
medida
ini amen e
adí i a
con
alo es
en E
de inidasob e
C
,
nume ablemen e
adí i asob ecada
Bi
,
de
a iación
aco ada
y
absolu amen e
con inua espec ode
p
enC
iene
una
densidad
espec o
au
.
Co ola io
Si E =
b"
.
,
ues
una
medida
de
p obabilidad
y
es
un
sis ema
p oyec i o
de
p obabilidades
de
Radon
al que
-P(C)
en onces
iene
inducida
po una
p obabilidad
de
Ra-
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Valeu s
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Theo em
o he
Bochne
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