Límites proyectivos de medidas y convergencia de martingalas

Pub . Ma . UAB N° 21 Oc . 1980 Ac es VII JMHL LIMITES PROYECTIVOS DE MEDIDAS Y CONVERGENCIA DE MARTINGALAS JuanLuísRome o Rome o Dp o . de Teo íade .Funciones Uni e sidad de Se illa ABSTRACT In his pape a e s udied he ma ingales associa- ed o a p ojec i e sys em o opological spaces, Theo- em 1 p o es ha an a bi a y ma ingale is "essen ia lly" a ma ingaleassocia ed o a p ojec i e . sys em o compac spaces . A o mula ion o he Radon-Nikod~m p o- pe y o Banach spaces is gi en in Theo em 2 . Sea  T  un  espacio  opológico .  Sea  S  =  {T i,7 ~~ J , .,iCI} un sis ema p oyec i o de espacios opológic .os al que pa a cada  iE I  exis e  una  aplicación  con inua  n . i:T  ->  Ti .  al que,  si  i  <  j  ,  T i  =  i i ,. J a J .  .  Pa a  cada  i E I  deno a emos po B i el o-álgeb a de los conjun os de Bo el en T i y esc ibi emos  8 i = 7T - i 1 (BDeno a emos po  B  el o-álge- b a de los conjun os de Bo el en  T, La amilia {B l ,iL I} es una amilia c ecien emen e di igida de sub-o-álgeb as de B . En p ime luga es udia emos la o ma que ienen las ma ingalas sob e T asociadas a la amilia (B ¡ ,iE I) . Con es e ín se es ablece el Lema siguien e : Lema 1, Sea u una medida de Radon sob e, T, sea E un espa- cio  de  Banach  y  sea  i  I .  De inamos  1i i .  =  , iu  ,  La  condición necesa ia y su icien e pa a queuna unción  e L 1 (u ;E) sea B l -medible (es deci E L i (T,8 1 ,u/B l ;E) ) es queexis auna unción . :T, -> E B .-medible y p-in eg able al que 1 1  1  i =  .o i .  (mod  u/B i ) 233 Si . aho a  ( 1,B1,ie I)  es una ma ingala sob e en i ud del lema an e io , es a ma ingala es de i . la o ma  ( ¡ o' ¡ ,B  lc I) donde, pa a cada iE I, i :T i -> E es una unción B 1 .-medible y u i -in eg able . Si pa a cada iE I de inimos  i = P .,  se iene,  po se - ( inni , B 1 ,ic I)  una ma ingala,que ( i ,iEI} es un sis ema p oyec í o de medidas ec o iales nume ablemen e adi i as al que, pa a cada ic I, i «  }, i ,  En  es e  caso  di emos  que  { i , iE I}  es  un  sis ema p oyec í o de medidas ec o iales absolu amen e con inuo es- pec o del sis ema {u i ,ie I} . A con inuación se p ueba que oda ma ingala,con alo es en un espacio de Banach E, de inida a pa i de un espa- cio de medidaa bi a io  y una amilia c ecien e- men e di igida {L 1 .,¡E I} de sub-o-álgeb as de F . es "esencial- men .e" una ma ingala ( opológica) del ipo conside ado an e- io men e . Más p ecisamen e , se iene el siguien e Teo ema de Rep esen ación : Teo ema 1 . Sea (2,E,u) un espacio de medida a bi a io . Sea {E .,ie I} una amilia c ecien emen e ii i .gida dP s1_,b- -a'_1ga- 1_  _ b asdé E . Sea E un espaciode Bánach . Sea T el espacio de S oneasociado a (9,E,u) y sea J la medida de Radon so- b e T asociada a U . Pa a cada is I sea T i el espacio de S one  asociado  a  (2,E1.,u/E 1 .)  y  sea  a 1 ,  la  co espondien e medida de Radon sob e Ti . Exis en aplicacíones con inuas canónicas ui :T -> Ti y niJ :Tj -> Ti (i ; j) ales que n 1 .  =  ¡j - 'j ,,  A .  =  n  a  ,a 1 . .=  n . J ,  a .  .  Exis e  ambién  una 1 1  1 J amilia {g i ,is I} de unciones con inuas (g i :T i -> E pa a ¡E 'I)  asociada  a  :la  ma ingala  ( i ,E i , ie I)  de  al  ma ne a que  (g i on i , 8 l ,¡e I) es una ma ingala y al que la aplicación  ( i ,Ei,i .6 I) -> (g i oi i ,B l ,i E I)  es inyec i a . Además la ma ingala  ( 1 .,E1 .,i.E I)  con e ge si y s81ó si . la ma ingala (g i oi i,B 1 ,icI) con e ge, Es e eo ema, jun o con las obse aciones que - siguen al lema 1, mues a la es echa elación exis en e en e la eo ía de ma ingalas y la de los lími es p oyec i os de 23 4 medidas . Examinamos aho a el p oblema de la con e gencia de ma ingalas desde es e úl imopun o de is a . Sí (£ 1 ,B l ,¡e 1) es una ma ingala aco ada del i- po conside ado al p incipio y = ( i , i C I) es el co espon- dien e sis emap oyec i o de medidas ec o iales de Radon se e i ica : P oposición l .- E1 sis ema de ine una medida ec o ial . ini a men e adi i a sob e el álgeb a C =  l R)  (y nume ablemen- e adi i asob e cada B1 ) que es de a iaciónaco ada y al que  si  « p(C)  (es  deci  si .  pa a  cada  c>0  exis e  un  5>0 al que 1I (A < c siemp e que AC C y u(A) < 5) en onces  se puede ex ende a una medida nume ablemen e adi i a sob e a(C) . La demos ación consis e en p oba que es débil- men e nume abl i emen e adi i a en C y en u iliza el Teo ema de Ex ensión de Ca a heodo y-11ahn-Klu anelc (C .[1], pág,27), En el es udio de la con e gencia de ma ingalas, las ma ingalas uni o memen e in eg ables (C .[l1 ,pág .126) juegan un papel undamen al . Si con inuamos con las no acio- nes an e io es, se e i ica : P oposición 2 . Una ma ingala aco ada  ( l ,B 3_ ,íc- I) es uni o me men e in eg able en L í (T,B,u ;E) si y sólo si  «li(C) . Es eúl imo esul ado nos á a pe mi i es ablece una nue a o mulación de la p opiedad de Radon-Nikod§m pa a los espacios de Banach . Pues o que deci que una ma ingala es aco ada se aduce en que sea de a iación o al aco ada , el que la ma ingala sea uni o memen e in eg able en que <<U(C) y el que la ma ingala sea con e gen e se aduce en que exis- a una densidad de espec o de U . 61 siguien e esul ado Teo ema (C [1],pág .127) Un espacio de Banach E iene la p opiedad de Radon Nikody'm si y sólo si cada ma ingala uni o memen e in eg able y aco ada, con alo es en E, es con e gen e . puede se enunciado como un eo emagenuino del ipo Radon- Nikodym . Teo ema 2 . Un espacio de Banach E iene la p opiedad de Radon- Nikodym si y sólo si pa a cada sis ema (T,U ;T i ,i ij I) y cada medida ini amen e adí i a con alo es en E de inidasob e C , nume ablemen e adí i asob ecada Bi , de a iación aco ada y absolu amen e con inua espec ode p enC iene una densidad espec o au . Co ola io Si E = b" . , ues una medida de p obabilidad y es un sis ema p oyec i o de p obabilidades de Radon al que -P(C) en onces iene inducida po una p obabilidad de Ra- don . ` BIBLIOGRAFIA [1] ._DIESTEL,J, and UHL,J .J .J . :Vec o Measu es . Ma li,Su eys 15 . Ame ,Ma h .Soc,P o idence .R,I,(1977) [2] .-DUNDFORD-,N .-and SCHWARTZ,J,T, :Linea O ' pe a o ,Pa - I, In- e science . New Yo k and London . (1958) [3]  LACEY,H .E .The Isome icTheo y o Classical Banach Spaces Sp inge Ve lag . Be lin (1974), [4] .-METIVIER 11 . Limi es P oyec i es de Mesu es, Ma ingales, Applica ions . Annali di Ma ,Pu a ed Appli . 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