Pub
.
Ma
.
UAB
N° 21
Oc
.
1980
Ac es
VII
JMH1
SUMABILIDAD
EN
SUCESIONES
TRANSFORMADAS
DE
UNA
DADA
POR
OPERADO-
RES
UNITARIOS
Al a oAngelRodésUsán
Dp o
.
de Teo ia
de
Funciones
.Uni e sidad
de
Za agoza
Sl
Abs ac
Le
Y,
be
a
eal,
sepa able,
Hilbe
&pace
and
le
b
be
he
se
o
bounded
linea
ope a o s
on
Y
.
Le
S
be
a
ixed sequence
o
elemen s
o
Y
.
Le

G

( esp
.
G')
be
he
subse
o
b
s hich
gi es
summabili y
on
U(S),
o
some
( esp
.
all)
uni a ias
ope a o
.
In
his
pape ,
he
coincidence
o
G

w
.i h
he
se
o
ope a o s
xhose
ange
has
dimension
<
p,
is
cha ác e ized
.
I is
shoun
ha
GS
í0l
i
S is
no
sumnable
;
o he wise
GS
=
i3
.
Sea
P-
el
espacio
de
Hilbe
sepa able
eal,
63
el
álgeb a
de
ope ado es
linealesaco ados
de
k
en
K,
y
LU,el
g upo
de
ope ado-
es
uni a ios
.
Dada

S =

a
n
;
ni-
N
1

una
sucesióncomple a
en
1,se
de inen
los
conjun os
D
S
y M
S
como
y
DS
=

A
E
b3
;
AS
sumable

,
M
S =
~xEi~,
i
y
1(a
n x)~ <°°~
.
Indica emos
po
í,
la
elación
de
equi alencia
uni a ia
en
55,
AKLB
<==>
3UEU
;
B=U
*
AU,
deno a emos
po
[ ]
las
clases
de
equi alencia
de
la
elación
IL
.
1 .-
El
Conjun o
de
ope ado es
GS
De inición
1
.-
De inimos
el
conjun o
de
ope ado es
de

S3 , G
S
,
como
A
E
GS
<__=>
[A]
0
DS
é
0
.
229
P oposición
1
.-

A
E
GS<==>A da
sumabilidad
en
alguna
sucesiónigual
aS
.
(T ans o mada
po
algdn
ope ado
uni a io)
P oposición
2
.
-El
conjun o
GS
cumple
:
a) G
S
=
Sa
.
DS
(Sa u ado
en
P,),
S
S
El
conjun o
GS
no es en
gene al
ideal
a la
izquie da
de
13
'
pe o
en
algdn
caso
puede
se
incluso
bilá e o,
como en
los
siguien es
.
S
sumable
<__>
G
=
0
,
S
S
base
o ono mal

<__
>

G
S
=
(~
5
2
Pasemos
a
es udia
la
in luencia
de la
dimensión
del
subespacio
de
9¿
,
MS
,dominio
de
sumabilidad
débil,
sob e
el
conjun o
GS
.
Teo ema
1 .-
Se
e i ica
dim
M
=
p
<==>
G =
2
.-
El
Conjun o
de
ope ado es
G
S
.
De inición
2.-
De inimos
GS como
A E GS <__>
[A]
[
DS
.
S

S
(Con
(~5
(P)
nos
e e i emos
a
los
ope ado es
de
b
de
ango
~
-
p),
Pa a
la
demos ación
de es e
eo ema
se
pa e
del
esul ado
d
:

(P)
~
.
. .
S
p

A5

[3J
comp obándosedespués
la
imposibilidad
de
encon a
ope ado es
de
ango in ini o
en
G
S
.
Po
ello
coincide
pa a
es os
ope ado es
la
su-
mabilidad
y
la
sumabilidadabsolu asob e
sucesiones,
ob eniéndose
de
ello
el
esul adodel
eo ema
.
Teo ema
2
.-
Se
cumple
dim
M
S =
cla
<__>

G
o
C
GS
(es ic amen e)
.
P oposición
2
.-
El
conjun o
GS
sa is acelas
siguien escondiciones
.
a)
Es el
conjun o
de
ope ado es
de
13
que
dan sumabili-
dad
en
odas
las
sucesiones
iguales
aS,
b)
Es el
máximo
conjun o
,-sa u ado
con enido
en
DS
,
c)
GS
U
e"
d)
A$
C
GS
,
D
US
,
e)
GS es un
ideal
a
la
izquie da
de
83
.

[4]
P oposición
3.-
El
conjun o
DS
nunca
es un
ideal
bilá e o
p opio
de
k3
.
pa a
demos a lo
ene
en
cuen a
que
si
DS
ue a
bilá e o,
debe ía
con ene
a
odos
los
ope ado es
de
ango
ini o,
lo
que
ha-
ía
que
S
ue a
sumable
y
po
an o
DS
Pasemos
aho a
a
demos a
que
GS
siemp e
es el
conjun o
o-
al
k1 ó
el
conjun o
o madoúnicamen e
po
el
ope ado
nulo
.
Lema
1
.- Si
exis e
un
p oyec o
sob e
un
ayo,
P
W(x)
,
no
con enido
en
DS
,
el
conjun o
GS
no
con iene
ningún
p oyec o
unidimensional
.
Teo ema
3
.-Las
siguien es
condiciones
son equi alen es
;
a)
S
es
no
sumable,
b)
GS
-
~0~
.
Pa a
la
demos acidn,aplica
el lema
an e io
y
ene
en
cuen a
el
esul ado
de
[2]
que a i maque
101
es
el
único
ideal
a
la
izquie da
de1
que
no
con ienep oyec o es
unidimensionales
.
Co ola io
3
.1
.- Si S
es no sumable,
no
hay ningún
ope ado
lineal
aco ado,
apa edel
nulo,
que
dé
sumabilidad
en
odas
las
sucesio-
nes
iguales
a
S
.
Es e
co ola io
gene aliza
un
esul ado
de
[1]
que asegu aba
que
el
ope ado nulo
e a
el
único
que
daba
sumabilidad
en
odas
las
bases
o ono males
.
Co ola io

.2
.- G
S
'
es
siemp e
ideal
bilá e o
i ial,-
pues
a)
.
S
no
sumable

<__>

GS
-

1 0
}
,
b) S
sumable
<as>
GS
e13
.
BIBLIOGRAFIA
[1]
MARTIN,
E
.

"La
sumabilidad
absolu a
en
los
ope ado es
lineales
aco ados
del
espacio
de Hilbe "
.
Tesis
Doc o al
.
Za agoza
(1977)
.
[2]
NAIMARK,
M
.A
.

"No med
ings"
.
Wol e s
Noo dho
publishing
6 oningen
(1970)
The
Ne he lands
.
[3] RODES,
A
.

"Sumabilidad
absolu a
en
sucesiones
uni a ia-
men e
equi alen es"
.
VI
Jo nadas
de
Ma emá icas
Hispano
-
Lusas
San ande
(1979)
.
[4]
RÓDES,
A
.

"Ideales
de
ope ado es
linealesaco ados
y
sumabilidad
en el
espacio
de
Hilbe Il
.
TesisDoc o al
.
Za agoza
.(1980)
.
[5]
CALKIN,
J .W
.

"Txo
sided
ideals
and
cong uen es
in
he
ing
o
bounded
ope a o s
in
.
Hilbe
space"
Ann
.
o
Ma h
.
(2),
42,
839-873
(1941)
.