Sumabilidad en sucesiones transformadas de una dada por operadores unitarios

Pub . Mat . UAB N° 21 Oct . 1980 Actes VII JMH1 SUMABILIDAD EN SUCESIONES TRANSFORMADAS DE UNA DADA POR OPERADORES UNITARIOS AlvaroAngelRodésUsán Dpto . de Teoria de Funciones .Universidad de Zaragoza Sl Abstract Let Y, be a real, separable, Hilbert &pace and let b be the set of bounded linear operators on Y . Let S be a fixed sequence of elements of Y . Let  G  (resp . G') be the subset of b srhich gives summability on U(S), for some (resp . all) unitarias operator . In this paper, the coincidence of G  w .ith the set of operators xhose range has dimension < p, is charácterized . It is shoun that GS í0l iff S is not sumnable ; otherwise GS = i3 . Sea Pel espacio de Hilbert separable real, 63 el álgebra de operadores linealesacotados de k en K, y LU,el grupo de operadores unitarios . Dada  S =  a n ; niN 1  una sucesióncompleta en 1,se definen los conjuntos D S y M S como y DS =  A E b3 ; AS sumable  , M S = ~xEi~, i y 1(a n rx)~ <°°~ . Indicaremos por í, la relación de equivalencia unitaria en 55, AKLB <==> 3UEU ; B=U * AU, denotaremos por [ ] las clases de equivalencia de la relación IL . 1 .- El Conjunto de operadores GS Definición 1 .- Definimos el conjunto de operadores de  S3 , G S , como A E GS <__=> [A] 0 DS é 0 . 229 Proposición 1 .-  A E GS<==>A da sumabilidad en alguna sucesiónigual aS . (Transformada por algdn operador unitario) Proposición 2 . -El conjunto GS cumple : a) G S = Sat . DS (Saturado en P,), S S El conjunto GS no es en general ideal a la izquierda de 13 ' pero en algdn caso puede ser incluso bilátero, como en los siguientes . S sumable <__> G = 0 , S S base ortonormal  <__ >  G S = (~ 5 2 Pasemos a estudiar la influencia de la dimensión del subespacio de 9¿ , MS ,dominio de sumabilidad débil, sobre el conjunto GS . Teorema 1 .- Se verifica dim M = p <==> G = 2 .- El Conjunto de operadores G S . Definición 2.- Definimos GS como A E GS <__> [A] [ DS . S  S (Con (~5 (P) nos referiremos a los operadores de b de rango ~ - p), Para la demostración de este teorema se parte del resultado d :  (P) ~ . . . S p  A5  [3J comprobándosedespués la imposibilidad de encontrar operadores de rango infinito en G S . Por ello coincide para estos operadores la sumabilidad y la sumabilidadabsolutasobre sucesiones, obteniéndose de ello el resultadodel teorema . Teorema 2 .- Se cumple dim M S = cla <__>  G o C GS (estrictamente) . Proposición 2 .- El conjunto GS satisfacelas siguientescondiciones . a) Es el conjunto de operadores de 13 que dan sumabilidad en todas las sucesiones iguales aS, b) Es el máximo conjunto f,-saturado contenido en DS , c) GS U e" d) A$ C GS , D US , e) GS es un ideal a la izquierda de 83 .  [4] Proposición 3.- El conjunto DS nunca es un ideal bilátero propio de k3 . para demostrarlo tener en cuenta que si DS fuera bilátero, debería contener a todos los operadores de rango finito, lo que haría que S fuera sumable y por tanto DS Pasemos ahora a demostrar que GS siempre es el conjunto total k1 ó el conjunto formadoúnicamente por el operador nulo . Lema 1 .- Si existe un proyector sobre un rayo, P W(x) , no contenido en DS , el conjunto GS no contiene ningún proyector unidimensional . Teorema 3 .-Las siguientes condiciones son equivalentes ; a) S es no sumable, b) GS - ~0~ . Para la demostracidn,aplicar el lema anterior y tener en cuenta el resultado de [2] que afirmaque 101 es el único ideal a la izquierda de1 que no contieneproyectores unidimensionales . Corolario 3 .1 .- Si S es no sumable, no hay ningún operador lineal acotado, apartedel nulo, que dé sumabilidad en todas las sucesiones iguales a S . Este corolario generaliza un resultado de [1] que aseguraba que el operadornulo era el único que daba sumabilidad en todas las bases ortonormales . Corolario  .2 .- G S ' es siempre ideal bilátero trivial,- pues a) . S no sumable  <__>  GS -  1 0 } , b) S sumable <as> GS e13 . BIBLIOGRAFIA [1] MARTIN, E .  "La sumabilidad absoluta en los operadores lineales acotados del espacio de Hilbert" . Tesis Doctoral . Zaragoza (1977) . [2] NAIMARK, M .A .  "Normed rings" . Wolters Noordhoff publishing 6roningen (1970) The Netherlands . [3] RODES, A .  "Sumabilidad absoluta en sucesiones unitariamente equivalentes" . VI Jornadas de Matemáticas Hispano - Lusas Santander (1979) . [4] RÓDES, A .  "Ideales de operadores linealesacotados y sumabilidad en el espacio de HilbertIl . TesisDoctoral . Zaragoza .(1980) . [5] CALKIN, J .W .  "Txo sided ideals and congruentes in the ring of bounded operators in . Hilbert space" Ann . of Math . (2), 42, 839-873 (1941) .