Pub
.
Ma
.
UAB
N°

1980
Ac es
VII
JMHL
EL
ESPACIO
BIDUAL
DE
N
(E)
Miguel
Angel
Re illa
Ramos
Dp o
.
d
e
Teo ía
de
Funciones
Uni e sidad
de
Valladolid
SUMMARY
:
In
his
pape ,
i is
shown ha
he,bidual
space
o
N
a
(E)
is
o med
by
all
E"
aluedsequences
w
=
1
(w
n
)
n
E
N
such ha
he
se
{wñIn
E
N}
is
equicon inuous
on
he
s ong
dualo
E
.
Supues o
que
E
es un
espacio
ec o ial
opológico
una
amilia
sa u ada
de
semino
ma-s
%,D=

(Pi) i
E
I'
y

a

(a
n
)
n
E
N
es
una
sucesión
de
escala es
eales
es ic amen e
posi i os,
la
sucesionesde
elemen os
de
E
en
sí
mismo
cuya
opología
es áde inida
po
b

:

S
(E)

->
S
(E)
a
que
en ía

x
=
(x
n
)
n
E
N
sepa ado
ans o mación
del
espacio
de
n
£
akxk
xa
=
(xñ)
n
E
N
con
xñ
=
kñ1
£
ak
k=1
p opicia
el
es udio
de di e sas
opologías
(denominadas
ponde a-
das
en [2])
sob e
subespacios
de
S(E)
.
En
[2]
se
es udianamplia-
men e
dichas
opologias
y
es el
obje o
de
es e
abajo
comple a
algunos
aspec os
de dicho
es udio
.
Si
denominamos
c
o
(E)
y
1'(E)
a
los
espaciosde
sucesiones
con e gen es
a
ce o
y
aco adasen
la
opología
de
E
espec i a-
men e,

se
de ine
N

(E)
=1
_
(E) lb
-1
(c
o
(E))

do ado
de
la
opología
a

a
localmen e
con exay sepa ada,inducida
po
la
amilia
de semino -
0
mas
0=
-
a

(
pia
)
i
E
I
En el
p esen e abajo
cons uimos
el
espacio
bidual
de
N
a (E)
basados
en
el
conocimien o
del
bidual
de
co
(E)
([31,
cap
.
IV,
apa adc
3)
y
del
dual
opológico
de
NO,
(E),
o mado
po
o
das
las
sucesiones
=(V
n
)
n
EN
de
elemen os
de
E'

(dual
de
E)
que
e i ican
las
dos
p opiedades
siguien es
:
1)
Exis e
una
semino ma
pEip al
que
donde
p
.
(x)
=
sup
p,(x
a
)
E
s
n
11
--n
-a

l
11
n=1
n
n-1
p
n
con

s

=

E

a
k

y

H
V
Il
p
=

Sup

Px, >
n

k=1

p
(x)
< 1
k
2)


=

E

a

(

-

k-1
)
n

k=n
n
ak
a
k-1
en endiéndose
la
con e gencia
pun ual
de
la
se ie
.
Si
esc ibimos
b
a
pa a
.l
a
aplicación
anspues a
de
b
a
,
y eniendo
en
cuen a
que
b
a
(N
a
(E))C
co (E),
de (11,
cap
.
3,
512
co ola io
de p op
.
3,
se
deduce
que
PROPOSICION
1
:
La
aplicación
b
a :c
o
(E)'
->
Na(E)'
que
en ía

u=
(un)
nEN
pa a odo
n
E
N
=
(
n)neN
con
es
un
isomo ismo
pa a
las
opologias
ue es
0(c
o
(E)',
b
a
(N
a
(E))
y
0(N
a (E)'
.
N
a (E))
sob e
c
o
(E)'
y N
01
(E)'
espec i amen e
.
.n
k=n
n
a
k
COROLARIO
:
Na(E)"
es
canónicamen eiden i icable
con
un
espacio
de sucesiones
de
elemen os
de
E"
(bidual
de
E)
.
Más
conc e amen e
PROPOSICION
2
:
Si
wEN
a
(E)",
exis e
una
única
sucesión

(wn)n
EN
de
elemen os
de
E",

ales
que
si
=(
n
)
nENENa
(E)
la
opología
B(E',E)
.
<
,w
> =

E

<
n
,wn>
n=1
El
esul ado
p incipal
del
abajo
es la
ca ac e ización
de
las
sucesiones
de
elemen os
de
E"
que
ep esen an
elemen os
del
bidual
de
N
(E)
en
el
sen ido
que
indica
la
p oposición
.
a
TEOREMA
:
Una
sucesión
w
=(w
n)n
EN
de
elemen osde
E"
ep esen a
un
elemen os
de
N
a
(E)"
si,
y
sólo
si,.la
sucesiónde
elemen os
(de E")
n
Ea
k
w
k
V=
(wñ)
n
E
N

donde

wn
=

k=15

,

es
alque
n
el conjun o
{wñ1n
C
N}
C
E"
es
equicon inuo
sob e
E'
do ado
de
Demos ación
:
Si
denominamos
ambiénb
a
:
S(E")
->
S(E")
a
la
aplicación
ex ensión
de
b
a
,
de
[3]
p op
.
4
.8
se
deduce
que
el
eo emaqueda á
p obado iendo
que
Na(E)"
=
b-1(co(E)")
.
De la
p oposición
1 se
deduce
que
la
aplicación
ba
;[
Na
(
E
)
'
-J
(Na
(E)
'
,Na
(E»]'



[c
0
(E)
'-B(c~
(E)
'
'ba
(N
a
(E»)]
@
es biyec i a,
y pues o
que
el
.
p ime espacio
es Na
(E)",
al a
e
que
el
espacio
imagen
es
p ecisamen e
c
o
(E)"
y
que
la
apli-
cación
b
es la
es icción
de
ba N
(E)"
.
a

a a
Pa e
1
:
Se
a a
de
e que
la
opología
B(c0(E)',ba(Na(E))
sob e
co
(E)'
es
compa ible
con
la
pa idad
<c0(E)',c0(E)">
.
Como
es
menos
ina
que
B(c0(E)',c0(E)),
la
cual
es
ob iamen e
compa-
ible,
bas a á
p oba
que
es
más
ina
que
la
débil
sob e
c
0
(E)'
.
Dado,
pues,
iE
co
(E)"
debemosp oba
la
exis encia
de un
aco a-
do
B
C
b
a
(N
a
(El),

al
que{
~}o
DBo
.

La
exis encia

Q4],

cap
.
IV,
co
.
d
e5
.4}
de
una ed
aco ada

(X
.)
y
E

de
elemen os
de
c
o
(E)
C
c
o (E}"
que
con e ge
a
1
po
la
opologíaa(c0(E)",co(E)')
nos
pe mi econs ui
una
nue a
ed
(xJ,y)J
E
P

(N),yE

(siendo
PF
(N)

las
pa es
ini as
de
N)
F
que
ambién
con e ge
a
1
po
la misma
opologíay
cuyos
elemen-
os son
sucesiones
que
pe enecen
a
b
a
(N
a (E))
y
cons i uyen
el
conjun oaco ado
que
esuel e
el
p oblema
.
Pa e
2
:
Se
demues a
en p ime luga
que
si
x
E
N
a
(E)

C
CN
a
(E)",

es cie o
que b
a
(x)

=
b
a
(x)

como
sucesiones
de
ele-
men os
de
E",
pues eniendo
en
cuen a
que
b
a
(N
a
(E))
Cc
o
(E)

C
C co
(E)"
;
si
u
es un
elemen o
a bi a io
de
c
o
(E)'
esul a
que
<U, ( ba)x
>=
<
b
a
( ),x>
_
<
x, ba(ñ)>
_<b a
(x),ü>
--
<ú,ba(x)>
y
la
ep esen ación
de
los
elemen os
de
c
o
(E)"
po
sucesiones
es
única

(DI,
p op
.4
.
7)
Teniendo
aho aen
cuen a
que
la
aplicación
ba
es
con i-
nua
pa a
las
opologías
R(c0(E)',c0(E))
y
R(Na(E)',Na(E))
y
o-
mandoés ascomoiniciales
se
deduce
de
[1],-cap
.3,512,
co
.
de
p op
.
3
se
deduce
que
la
aplicación
es
con inua
pa a
las
opologias espec i as
a(N
a
(E)",N
a
(E)')
y
a(co(E)",co(E)')
. .
Aho a
podemos
pasa
del
caso
pa icula
p obado
al
gene-
al,
apoyándonos
en el
esul ado
an esindicado
([4]cap
.IV,
co
.

de

5
.4)
.

Sea
w
=

(wn)
n
E
N
E
N
a
(E)
"

y

(
w
y
)
y
E

la
ed
de
elemen os
de
N
a (E)
con e gen e
a
w
po
la
opología
débil
.Si
demos amos
que
ba
:

Na
(E)
"

co
(
E
)
~~
b
al
( ba
(w))

=
w
el
esul ado
queda á
p obado,ya
que
b
a
es
biyec i a
.
,
La
demos-
ación
de
es aigualdad
es
ya un p oblema
pu amen e écnico
eniendoen
cuen a
la
con inuidad
p obada
de
b
a
y
dado
que
E" es
sepa ado
con
la
opología
a(E",E')
.
COROLARIO
1
:
N
a
(E)"
D
bal(1_(E)),
ya
que
1
-
(E)
puede
conside a -
se
con enido
en
c
o
(E)"
([3],cap
.IV,
apa ado
5)
.
COROLARIO
2
:
N
a
(E)
no es semi e lexi o,pues
conside ados
como
subespaciosde
S
(E")
,

enemosN

(E)
C
1~ (E)
C
bl
(l
m
(E))
CN

(E)
"
y
al,

a

a

a
menos
lasdos
p ime as
inclusiones
son
es ic as
.
222
COROLARIO
3
:
Si
E
es
no madoN
(E)"
= b
-1
(1'(V'»,
puesen
es e
a

a
caso
c
o
(E)"
y
1~(E")
coinciden
([3],
p op
.4
.9)
COROLARIO
4
:
Si
E
=
K(R
6
C) el
bidual
del
espacio
de
sucesio-
nes
x
ales
que
b
a
(x)
con e ge
a
ce o,
es el
espacio
de
las su-
cesiones
y
ales
que
b
a
(y)
es
aco ada
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