El espacio bidual de N (E)

Pub . Ma . UAB N°  1980 Ac es VII JMHL EL ESPACIO BIDUAL DE N (E) Miguel Angel Re illa Ramos Dp o . d e Teo ía de Funciones Uni e sidad de Valladolid SUMMARY : In his pape , i is shown ha he,bidual space o N a (E) is o med by all E" aluedsequences w = 1 (w n ) n E N such ha he se {wñIn E N} is equicon inuous on he s ong dualo E . Supues o que E es un espacio ec o ial opológico una amilia sa u ada de semino ma-s %,D=  (Pi) i E I' y  a  (a n ) n E N es una sucesión de escala es eales es ic amen e posi i os, la sucesionesde elemen os de E en sí mismo cuya opología es áde inida po b  :  S (E)  -> S (E) a que en ía  x = (x n ) n E N sepa ado ans o mación del espacio de n £ akxk xa = (xñ) n E N con xñ = kñ1 £ ak k=1 p opicia el es udio de di e sas opologías (denominadas ponde a- das en [2]) sob e subespacios de S(E) . En [2] se es udianamplia- men e dichas opologias y es el obje o de es e abajo comple a algunos aspec os de dicho es udio . Si denominamos c o (E) y 1'(E) a los espaciosde sucesiones con e gen es a ce o y aco adasen la opología de E espec i a- men e,  se de ine N  (E) =1 _ (E) lb -1 (c o (E))  do ado de la opología a  a localmen e con exay sepa ada,inducida po la amilia de semino - 0 mas 0= - a  ( pia ) i E I En el p esen e abajo cons uimos el espacio bidual de N a (E) basados en el conocimien o del bidual de co (E) ([31, cap . IV, apa adc 3) y del dual opológico de NO, (E), o mado po o das las sucesiones =(V n ) n EN de elemen os de E'  (dual de E) que e i ican las dos p opiedades siguien es : 1) Exis e una semino ma pEip al que donde p . (x) = sup p,(x a ) E s n 11 --n -a  l 11 n=1 n n-1 p n con  s  =  E  a k  y  H V Il p =  Sup  Px, > n  k=1  p (x) < 1 k 2)   =  E  a  (  -  k-1 ) n  k=n n ak a k-1 en endiéndose la con e gencia pun ual de la se ie . Si esc ibimos b a pa a .l a aplicación anspues a de b a , y eniendo en cuen a que b a (N a (E))C co (E), de (11, cap . 3, 512 co ola io de p op . 3, se deduce que PROPOSICION 1 : La aplicación b a :c o (E)' -> Na(E)' que en ía  u= (un) nEN pa a odo n E N = ( n)neN con es un isomo ismo pa a las opologias ue es 0(c o (E)', b a (N a (E)) y 0(N a (E)' . N a (E)) sob e c o (E)' y N 01 (E)' espec i amen e . .n k=n n a k COROLARIO : Na(E)" es canónicamen eiden i icable con un espacio de sucesiones de elemen os de E" (bidual de E) . Más conc e amen e PROPOSICION 2 : Si wEN a (E)", exis e una única sucesión  (wn)n EN de elemen os de E",  ales que si =( n ) nENENa (E) la opología B(E',E) . < ,w > =  E  < n ,wn> n=1 El esul ado p incipal del abajo es la ca ac e ización de las sucesiones de elemen os de E" que ep esen an elemen os del bidual de N (E) en el sen ido que indica la p oposición . a TEOREMA : Una sucesión w =(w n)n EN de elemen osde E" ep esen a un elemen os de N a (E)" si, y sólo si,.la sucesiónde elemen os (de E") n Ea k w k V= (wñ) n E N  donde  wn =  k=15  ,  es alque n el conjun o {wñ1n C N} C E" es equicon inuo sob e E' do ado de Demos ación : Si denominamos ambiénb a : S(E") -> S(E") a la aplicación ex ensión de b a , de [3] p op . 4 .8 se deduce que el eo emaqueda á p obado iendo que Na(E)" = b-1(co(E)") . De la p oposición 1 se deduce que la aplicación ba ;[ Na ( E ) ' -J (Na (E) ' ,Na (E»]'    [c 0 (E) '-B(c~ (E) ' 'ba (N a (E»)] @ es biyec i a, y pues o que el . p ime espacio es Na (E)", al a e que el espacio imagen es p ecisamen e c o (E)" y que la apli- cación b es la es icción de ba N (E)" . a  a a Pa e 1 : Se a a de e que la opología B(c0(E)',ba(Na(E)) sob e co (E)' es compa ible con la pa idad <c0(E)',c0(E)"> . Como es menos ina que B(c0(E)',c0(E)), la cual es ob iamen e compa- ible, bas a á p oba que es más ina que la débil sob e c 0 (E)' . Dado, pues, iE co (E)" debemosp oba la exis encia de un aco a- do B C b a (N a (El),  al que{ ~}o DBo .  La exis encia  Q4],  cap . IV, co . d e5 .4} de una ed aco ada  (X .) y E  de elemen os de c o (E) C c o (E}" que con e ge a 1 po la opologíaa(c0(E)",co(E)') nos pe mi econs ui una nue a ed (xJ,y)J E P  (N),yE  (siendo PF (N)  las pa es ini as de N) F que ambién con e ge a 1 po la misma opologíay cuyos elemen- os son sucesiones que pe enecen a b a (N a (E)) y cons i uyen el conjun oaco ado que esuel e el p oblema . Pa e 2 : Se demues a en p ime luga que si x E N a (E)  C CN a (E)",  es cie o que b a (x)  = b a (x)  como sucesiones de ele- men os de E", pues eniendo en cuen a que b a (N a (E)) Cc o (E)  C C co (E)" ; si u es un elemen o a bi a io de c o (E)' esul a que <U, ( ba)x >= < b a ( ),x> _ < x, ba(ñ)> _<b a (x),ü> -- <ú,ba(x)> y la ep esen ación de los elemen os de c o (E)" po sucesiones es única  (DI, p op .4 . 7) Teniendo aho aen cuen a que la aplicación ba es con i- nua pa a las opologías R(c0(E)',c0(E)) y R(Na(E)',Na(E)) y o- mandoés ascomoiniciales se deduce de [1],-cap .3,512, co . de p op . 3 se deduce que la aplicación es con inua pa a las opologias espec i as a(N a (E)",N a (E)') y a(co(E)",co(E)') . . Aho a podemos pasa del caso pa icula p obado al gene- al, apoyándonos en el esul ado an esindicado ([4]cap .IV, co .  de  5 .4) .  Sea w =  (wn) n E N E N a (E) "  y  ( w y ) y E  la ed de elemen os de N a (E) con e gen e a w po la opología débil .Si demos amos que ba :  Na (E) "  co ( E ) ~~ b al ( ba (w))  = w el esul ado queda á p obado,ya que b a es biyec i a . , La demos- ación de es aigualdad es ya un p oblema pu amen e écnico eniendoen cuen a la con inuidad p obada de b a y dado que E" es sepa ado con la opología a(E",E') . COROLARIO 1 : N a (E)" D bal(1_(E)), ya que 1 - (E) puede conside a - se con enido en c o (E)" ([3],cap .IV, apa ado 5) . COROLARIO 2 : N a (E) no es semi e lexi o,pues conside ados como subespaciosde S (E") ,  enemosN  (E) C 1~ (E) C bl (l m (E)) CN  (E) " y al,  a  a  a menos lasdos p ime as inclusiones son es ic as . 222 COROLARIO 3 : Si E es no madoN (E)" = b -1 (1'(V'», puesen es e a  a caso c o (E)" y 1~(E") coinciden ([3], p op .4 .9) COROLARIO 4 : Si E = K(R 6 C) el bidual del espacio de sucesio- nes x ales que b a (x) con e ge a ce o, es el espacio de las su- cesiones y ales que b a (y) es aco ada . BIBLIOGRAFIA 1 . HORVATH,J . : Topologiacal Vec o Spaces and Dis ibu ions . Addison-Wesley . New Yo k (1966) . 2 . REVILLARAMOS,M .A . : Topologias ponde adas en espaciosde sucesiones ec o iales . Tesis doc o al (1980) . 3 . SANZ SERNA,J . : Espacio de sucesiones en espacios ec o ia- les . Tesis doc o al (1977) . 4 . SCHAEFER,H .H . : Topological Vec o Spaces . Sp inge -Ve lag . New Yo k (1971) .