Pub
.
Ma
.
UAB
N° 21
Oc
.
1980
Ac es
VII
JMH1
UNA
NOTA
SOBREEL
TEOREMA
DE
GLEASON-KAHANE-ZELASKO
Fe nandoPé ez
González
Dp o
.
de
EcuacionesFuncionales
Uni e sidad
de
La
Laguna
Abs ac
-
Siendo
A
un
álgeb a
conmu a i a
compleja,
localmen e
con exaHausdo
de
in e sión
con inua
(no
necesa iamen e
semi
.-
comple a),
se
demues a
que
odo
hipe plano
de
A
que
solo
con e_n
ga
elemen o
singula es,es un ideal
maximal
de
A
.
§1
.-
Todas
las
álgeb as
conside adas
en
es a
no a
se
supond án
el
cue po
C,
conmu a i as,
con
elemen o
unidad
e,
opologíaHausdo
compa ible
con
la
es uc-
la
cual
la
aplicación
(bili-
de inidas
sob e
y
p o is as
de
una
u a
de
espacio
ec o ial,
median e
neal)
p oduc o
es
con inua
.
Fué
es ablecido
independien emen e
po
GLEASON[31
y
po
KAHA-
NE-ZELASK0[$],
que
si A
es un
álgeb a
de
Banach
y M
un
hipe pla-
no
que
no
poseeelemen os
egula es,
en onces
M
es un
ideal
maxi
mal
de
A
.
Años
más
a de,
es e
mismo
ase o
es
ex endido
a
Q-ál-
geb as
localmen emul iplica i amen e
con exas,
oneladas
y
com-
ple as
En
es a
comunicación
se
hace
e
hane-2alasko
es
álido
si
in e sióncon inua
(en
el
que
el
eo ema
de
Gleason-Ka-
A
es un
álgeb a
localmen e
con exa
de
sen ido
de
(8l),
y,
consecuen emen e,
pa a
cualquie
ipo
de
Q-álgeb a
localmen e
mul iplica i amen e
con exa,
no
necesa iamen e
comple a
ni
onelada
.
§2
.-
Un
álgeb a
localmen e
con exa
se
dice
que
es de
in e sión
con inua,

si
exis e
un
en o no
U
del
o igen
alquee+U
C
G(A)

y
la
aplicación
x

x-1
es
con inua
en
e+U
.
Algunas
p opiedades
de
es e
ipo
de
álgeb as
son,
en e
o as,
las
siguien es
(
[1],
[7]
y
[8])
a)
El
g upo
G(A) de
los
elemen os
in e sibles
de
A
es
abie o,
es-
o
es,
A
es
Q-álgeb a
y
la
aplicación
x
-~
x-1
es
con inua
en
G(A)
.
b)
Todo
ideal
.
maximal
de
A
es
ce ado
.
c) El
espec o
sp(a)
de
cualquie
a
de
A
es
compac o
no
acío
.
d)
Todo
uncional
lineal
mul iplica i o
(ca ác e )
sob e
A
es
con-
inuo
y
exis e
una
co espondencia
uno
a
uno
en e
el
espacio
de
los
ideales
maximales
de
A
y
el de
los
uncionales
lineales
mul i-
plica i os
.
Ambosespacios,iden i icados,
se
deno a án
po K(A)
.
e)
Pa a odo
a
de
A,
es
sp(a)={h(x)
:
hEI%(A)}
.
) La
aplicación
P
que
asigna
a
cada
elemen o
su
adio
espec al
es
una
semino ma
con inua
sob e-
A :-

-

-
P oposición
1
.-
En
un álgeb a
A
localmen e
con exa
de
in e sión
con inua,
el
.
espacio
X(A)
es
6(A',A)-compac o
.
Demos ación
:
Po
),
b?
(1)
={x
E A
:
P(X)
<
1} es
en o no
del
o i-
gen

de
1
,

y,

po e),

es

,(S,(A)
0=

b P(1)
.

En
i ud
del

eo ema

de
Alaoglu-Bou baki
(
[4],
p
.
201),
esul a
que
,'L(A)
no
es
Q(A',A)-
compac o
.
Po
o a
pa e,
ijados
al
a bi io
xe
y
en
A,
la
apli
ca ión
-
!i>
(xy)- (x) (y)
es
ob iamen econ inuasob e
A'
con
la
opología
débil,
y
po
ello
el
espacio
.M,(A)=

n

~h
EA'
:
h(xy)-h(x)h(y)=0}
x,y£A
es
a
-
(A',A)-ce ado,
in i iéndose
así
ya la
compacidad
débil
de
.i i(A)
.
§3
"
-
Rep esen emos
cada
a
de
A
po
la
unción
con inua
á
de, (,(A)
en
C,
donde
á(h)=h(a),
y
conside emos,
po
o o
lado,
el
álgeb a
de
Banach

J(
^(A»
de
las
uncionescomplejas
con inuas
sob e
206
A),Q(A',A)),
conlas
ope acionesa i mé icas
usuales
de inidas
pun ualmen e
y
con
la
no ma
del
sup emo
.
De
es e
modo,
la
ans-
o maciónG
de
Gel and,G(x)=z,
x
EA,
es un
homomo ismo
(de
ál
geb as),
siendoG(A)=A
un
álgeb a
no mada
con
elemen o
unidad
G(e)=é
.
La
demos ación
del
eo ema
que
sigue,
inspi ada
en
[1],
equie
e de
un
conocidohecho
de
ca ác e algeb aico
quenos
limi amos
a
enuncia
:
Lema
2
.-
La
condición
necesa iay
su icien epa a
que
un
elemen o
de
A
sea
in e sible
( esp
.,
sea
singula )
es
que
no
pe enezca
( esp
.,
pe enezca)
al
núcleo
de
ningún
( esp
.,
algún)
uncional
lineal
mul iplica i o
sob e
A
.
Teo ema
3
.-
Sea
A
un
álgeb alocalmen e
con exa
de
in e sión
con-
inua
.
Todo
hipe plano
M
de
A
disjun o
con
G(A),
es
un
ideal
ma-
ximal
de
A
.
Demos ación
:
PongamosG(M)=M
y
p obemos
an e
odo
que
M
es un
hi-
pe plano
ce ado
de
A
.
Como
cod
M=1,
es A
=
U
(Xe+M)
y,
en
conse-
aEC
cuencia,
A

=

U
C
(Té+M)

(1)
Si
é
EA,
se ía
é=i
pa a
algún
x
de
M, lo
que
suponeh(x-e)=0,
es-
o
es,
h(x)=1,
pa a odo
h
de
X(A)
.
Aho a
bien,
po
el
Lema
2,
end ía
que
ocu i
que
xEG(A),
lo
que
es
imposible
.
Se á,
pues,
codM=1
.
Si
M
ue adenso
en
Á,
pod emos
elegi
(x
n
}en
M
al
que
i
n
-i

é
.

Pa a
0
<
E<1,

se
end ía
:

sup
1
h(x
n
)-11
< 6
,
a a
n su icien emen e

ello
en a ia
h
h(x
( )
P

g ande,
Y

nS7O,
pa a
odo
h
de
K(A),

llegándose,

con
un
nue o
usodel
Lema
2,

a
una
con a-
dicción
.
Luego,
M
es
hipe plano
ce ado
de
A
.
P ocediendo
de
o ma
análoga,
puede
cons a a se
que
M
()
G(Á)
_
0

(2)
W

_Z _Z
siendo,
na u almen e,
A
álgeb a
de
Banach
.
Además,
cod
M=1
en
A
.
En
e ec o,
sea
g
EA,
i
n
--,
g
con
z,EÁ
y,
po
(1),
in=

é+y
n
,
don-
de
y,E
M
.
Veamos
que{"l
n
}
es de
Cauchy
.
Si
así
no
ue a,
pa a
un
cie o

a>
0 y
pa a
odo
n
o
>O,

se ía
¡
ñ
p
-X
I
>C(,

pa a
cie os
p
y
q
>
no
.
20
8
Po
o o
lado,
dado
E>0
a bi a io,
es
I)
in
-i
n,
II

=

11

(),
n
-
m
)
é

+

(Yn-

ym
)
~~

<
aE
conn,m
>,N
0
.
Combinando,

pa a
p y
q
como
an es,

se
llega ía
a
11
é+(1p-111q)-1
(yp_
9q)11
-<E

,

lo
que

supone

(in
p
-
_
ñq
)
-1
(Y
p-

Yq)
E
EA
n
G(A),

en
con aposición
con

(2)
.

Al se ,

po
an o,
{
.
}
de
n
Cauchy
en
C,

ambién
lo
se ály
n1
en
M
.

Poniendoaho a
~k

--~

e
n
y
n
-s
,
E
M,
se á
g=
é+
.
Luego,
cod
M=1
en
Á,
y
en
i ud
de
§1,
M
es
ideal
.
maximal
de
Á
.
Po
o a
pa e,
como
M
es
subespa-
cio
ce ado
de
A,
se
desp ende
que
M
es
ideal
de
A,
y
po
ello,
G
(M)
lo
se áigualmen e
de
A
.
Finalmen e,
siendo
G
(M)=M,
co-
mo
se
comp ueba
sin
di icul ad,
y
cod
M=1,
se
concluye
que
M
es
ideal
maximal
de
A
.
c
.
q
.
d
.
No a
.
.-
Pues o
que
.
uná
Q-álgeb a
localmen e
mul iplica i amen e
con exa
es,
ob iamen e,
un
caso
pa icula
de
un álgeb a
como
la
e e idaen
el
eo ema
3,
es cla o
que
el
.
eo ema
de
[7]subsis e
igualmen e
sin
p ecisa se
a
o io i
que
el
álgeb a
sea
onelada
o
comple a
.
Po
úl imo,
ob enemos
ca ac e izaciones
de
uncionales
y
ope-
ado eslineales
mul iplica i os
en eálgeb as
localmen e
con-
exas
de
in e sión
con inua,
las
cuales
ex ienden
los
eo emas
2,
4
y
5
de
[5]
.
Los
ase osco espondien es
-pa a
los
que
ale
la
a i mación
hecha
en la
no a
p eceden e-
los
enunciamos
a
con inua-
ción,
omi iéndose
sus
demos aciones
ya que,
a
pa i
del
eo e-
ma
3,
son
semejan es
a
las
de
los
esul ados
de
[S]ci ados
.
P oposición
4
.-
Si
A
es
como
en el
eo ema
3
y
.
EA
,
son
equi a-
len es
:
a)
E
K(A)
.
b) (x)
Esp(x),
pa a
odo
x
de
A
.
P oposición
5
.-
.
Sean
A
1
y
A
2
como
en el
eo ema
3,
con
elemen os
unidad
e
lc
y
e
2
y
A
2
semisimple
.
Si
T
es
una
aplicación
linealde
A
l
en
A
2
y
sp
A
(T(x))
C
sp
A
(x)

(3)
2

1
pa a
odo
x
de
A
l
,
en onces
T
es
mul iplica i o,
es
deci ,
T(xy)=
T(x)T(y),
pa a
odo
x,y
de
A
l
.
Recip ocamen e,
si
T
es
mul ipli-
ca i o
y
T(e
1
)=e
2
,
en onces
se
cumple
(3)
aunque
A
2
no
sea
semi-
simple
Bibliog a ía
[1]
.-
E
.BECKENSTEIN-L.NARICI-G
.BACHMAN
.
-"Maximalideals
in
opo-
logicalalgeb as"
.J
.Analyse
Ma h
.,25,(1972),159-161
[2]
.-
E
.BECKENSTEIN-L
.NARICI-C
.SUFFEL
.
-"Topological
algeb as"
No h-Holland
Ma h
.
S udies,
n°
24
(1977)
Ams e dam
.
[3]
.-
A
.M
.
GLEASON-"A
cha ac e iza ion
o
maximal
ideals"
.
J
.
AnalyseMa h
.,
19,
(1967), 171-172
[41
.
-J
.
HORVATH
.-
"Topological
Vec o Spaces
and
Dis ibu ions"
Addison-Wesley
(1966)
.Reading
.
Massachuse s
.
[5]
.-
J
.P
.KAHANE-W
.ZELASK0-"A
cha ac e iza ion
o
maximal
ideals
in
commu a i e
Banach
algeb as"
.
S udiaMa h
.,29
(1968),
339-343
[6]
.- E.A
.MICHAEL
.-
"Locally
mul iplica i ely
con ex
opological
algeb as"
.
Mem
.
Ame
.
Ma h
.
Soc
.
n°-
11
(1952)
[7]
.-
F
.PEREZ
GONZALEZ-"Una
clase
de
unciones
gene alizadas
en
álgeb as
localmen e
con exas
de
in e sión
con inua"
.
Tesis
.
Uni e sidad
de La
Laguna
.
(1979)_
[8]
.-L
.WAELBROECK.-"Topological
Vec o
Spaces
and
Algeb as"
.
Sp inge
.
Lec
.
No es
in
Ma h
.
n°
230
(1971)
.