Una nota sobre el teorema de Gleason-Kahane-Zelasko

Pub . Ma . UAB N° 21 Oc . 1980 Ac es VII JMH1 UNA NOTA SOBREEL TEOREMA DE GLEASON-KAHANE-ZELASKO Fe nandoPé ez González Dp o . de EcuacionesFuncionales Uni e sidad de La Laguna Abs ac - Siendo A un álgeb a conmu a i a compleja, localmen e con exaHausdo de in e sión con inua (no necesa iamen e semi .- comple a), se demues a que odo hipe plano de A que solo con e_n ga elemen o singula es,es un ideal maximal de A . §1 .- Todas las álgeb as conside adas en es a no a se supond án el cue po C, conmu a i as, con elemen o unidad e, opologíaHausdo compa ible con la es uc- la cual la aplicación (bili- de inidas sob e y p o is as de una u a de espacio ec o ial, median e neal) p oduc o es con inua . Fué es ablecido independien emen e po GLEASON[31 y po KAHA- NE-ZELASK0[$], que si A es un álgeb a de Banach y M un hipe pla- no que no poseeelemen os egula es, en onces M es un ideal maxi mal de A . Años más a de, es e mismo ase o es ex endido a Q-ál- geb as localmen emul iplica i amen e con exas, oneladas y com- ple as En es a comunicación se hace e hane-2alasko es álido si in e sióncon inua (en el que el eo ema de Gleason-Ka- A es un álgeb a localmen e con exa de sen ido de (8l), y, consecuen emen e, pa a cualquie ipo de Q-álgeb a localmen e mul iplica i amen e con exa, no necesa iamen e comple a ni onelada . §2 .- Un álgeb a localmen e con exa se dice que es de in e sión con inua,  si exis e un en o no U del o igen alquee+U C G(A)  y la aplicación x  x-1 es con inua en e+U . Algunas p opiedades de es e ipo de álgeb as son, en e o as, las siguien es ( [1], [7] y [8]) a) El g upo G(A) de los elemen os in e sibles de A es abie o, es- o es, A es Q-álgeb a y la aplicación x -~ x-1 es con inua en G(A) . b) Todo ideal . maximal de A es ce ado . c) El espec o sp(a) de cualquie a de A es compac o no acío . d) Todo uncional lineal mul iplica i o (ca ác e ) sob e A es con- inuo y exis e una co espondencia uno a uno en e el espacio de los ideales maximales de A y el de los uncionales lineales mul i- plica i os . Ambosespacios,iden i icados, se deno a án po K(A) . e) Pa a odo a de A, es sp(a)={h(x) : hEI%(A)} . ) La aplicación P que asigna a cada elemen o su adio espec al es una semino ma con inua sob e- A :-  -  - P oposición 1 .- En un álgeb a A localmen e con exa de in e sión con inua, el . espacio X(A) es 6(A',A)-compac o . Demos ación : Po ), b? (1) ={x E A : P(X) < 1} es en o no del o i- gen  de 1 ,  y,  po e),  es  ,(S,(A) 0=  b P(1) .  En i ud del  eo ema  de Alaoglu-Bou baki ( [4], p . 201), esul a que ,'L(A) no es Q(A',A)- compac o . Po o a pa e, ijados al a bi io xe y en A, la apli ca ión - !i> (xy)- (x) (y) es ob iamen econ inuasob e A' con la opología débil, y po ello el espacio .M,(A)=  n  ~h EA' : h(xy)-h(x)h(y)=0} x,y£A es a - (A',A)-ce ado, in i iéndose así ya la compacidad débil de .i i(A) . §3 " - Rep esen emos cada a de A po la unción con inua á de, (,(A) en C, donde á(h)=h(a), y conside emos, po o o lado, el álgeb a de Banach  J( ^(A» de las uncionescomplejas con inuas sob e 206 A),Q(A',A)), conlas ope acionesa i mé icas usuales de inidas pun ualmen e y con la no ma del sup emo . De es e modo, la ans- o maciónG de Gel and,G(x)=z, x EA, es un homomo ismo (de ál geb as), siendoG(A)=A un álgeb a no mada con elemen o unidad G(e)=é . La demos ación del eo ema que sigue, inspi ada en [1], equie e de un conocidohecho de ca ác e algeb aico quenos limi amos a enuncia : Lema 2 .- La condición necesa iay su icien epa a que un elemen o de A sea in e sible ( esp ., sea singula ) es que no pe enezca ( esp ., pe enezca) al núcleo de ningún ( esp ., algún) uncional lineal mul iplica i o sob e A . Teo ema 3 .- Sea A un álgeb alocalmen e con exa de in e sión con- inua . Todo hipe plano M de A disjun o con G(A), es un ideal ma- ximal de A . Demos ación : PongamosG(M)=M y p obemos an e odo que M es un hi- pe plano ce ado de A . Como cod M=1, es A = U (Xe+M) y, en conse- aEC cuencia, A  =  U C (Té+M)  (1) Si é EA, se ía é=i pa a algún x de M, lo que suponeh(x-e)=0, es- o es, h(x)=1, pa a odo h de X(A) . Aho a bien, po el Lema 2, end ía que ocu i que xEG(A), lo que es imposible . Se á, pues, codM=1 . Si M ue adenso en Á, pod emos elegi (x n }en M al que i n -i  é .  Pa a 0 < E<1,  se end ía :  sup 1 h(x n )-11 < 6 , a a n su icien emen e  ello en a ia h h(x ( ) P  g ande, Y  nS7O, pa a odo h de K(A),  llegándose,  con un nue o usodel Lema 2,  a una con a- dicción . Luego, M es hipe plano ce ado de A . P ocediendo de o ma análoga, puede cons a a se que M () G(Á) _ 0  (2) W  _Z _Z siendo, na u almen e, A álgeb a de Banach . Además, cod M=1 en A . En e ec o, sea g EA, i n --, g con z,EÁ y, po (1), in=  é+y n , don- de y,E M . Veamos que{"l n } es de Cauchy . Si así no ue a, pa a un cie o  a> 0 y pa a odo n o >O,  se ía ¡ ñ p -X I >C(,  pa a cie os p y q > no . 20 8 Po o o lado, dado E>0 a bi a io, es I) in -i n, II  =  11  (), n - m ) é  +  (Yn-  ym ) ~~  < aE conn,m >,N 0 . Combinando,  pa a p y q como an es,  se llega ía a 11 é+(1p-111q)-1 (yp_ 9q)11 -<E  ,  lo que  supone  (in p - _ ñq ) -1 (Y p-  Yq) E EA n G(A),  en con aposición con  (2) .  Al se ,  po an o, { . } de n Cauchy en C,  ambién lo se ály n1 en M .  Poniendoaho a ~k  --~  e n y n -s , E M, se á g= é+ . Luego, cod M=1 en Á, y en i ud de §1, M es ideal . maximal de Á . Po o a pa e, como M es subespa- cio ce ado de A, se desp ende que M es ideal de A, y po ello, G (M) lo se áigualmen e de A . Finalmen e, siendo G (M)=M, co- mo se comp ueba sin di icul ad, y cod M=1, se concluye que M es ideal maximal de A . c . q . d . No a . .- Pues o que . uná Q-álgeb a localmen e mul iplica i amen e con exa es, ob iamen e, un caso pa icula de un álgeb a como la e e idaen el eo ema 3, es cla o que el . eo ema de [7]subsis e igualmen e sin p ecisa se a o io i que el álgeb a sea onelada o comple a . Po úl imo, ob enemos ca ac e izaciones de uncionales y ope- ado eslineales mul iplica i os en eálgeb as localmen e con- exas de in e sión con inua, las cuales ex ienden los eo emas 2, 4 y 5 de [5] . Los ase osco espondien es -pa a los que ale la a i mación hecha en la no a p eceden e- los enunciamos a con inua- ción, omi iéndose sus demos aciones ya que, a pa i del eo e- ma 3, son semejan es a las de los esul ados de [S]ci ados . P oposición 4 .- Si A es como en el eo ema 3 y . EA , son equi a- len es : a) E K(A) . b) (x) Esp(x), pa a odo x de A . P oposición 5 .- . Sean A 1 y A 2 como en el eo ema 3, con elemen os unidad e lc y e 2 y A 2 semisimple . Si T es una aplicación linealde A l en A 2 y sp A (T(x)) C sp A (x)  (3) 2  1 pa a odo x de A l , en onces T es mul iplica i o, es deci , T(xy)= T(x)T(y), pa a odo x,y de A l . Recip ocamen e, si T es mul ipli- ca i o y T(e 1 )=e 2 , en onces se cumple (3) aunque A 2 no sea semi- simple Bibliog a ía [1] .- E .BECKENSTEIN-L.NARICI-G .BACHMAN . -"Maximalideals in opo- logicalalgeb as" .J .Analyse Ma h .,25,(1972),159-161 [2] .- E .BECKENSTEIN-L .NARICI-C .SUFFEL . -"Topological algeb as" No h-Holland Ma h . S udies, n° 24 (1977) Ams e dam . [3] .- A .M . GLEASON-"A cha ac e iza ion o maximal ideals" . J . AnalyseMa h ., 19, (1967), 171-172 [41 . -J . HORVATH .- "Topological Vec o Spaces and Dis ibu ions" Addison-Wesley (1966) .Reading . Massachuse s . [5] .- J .P .KAHANE-W .ZELASK0-"A cha ac e iza ion o maximal ideals in commu a i e Banach algeb as" . S udiaMa h .,29 (1968), 339-343 [6] .- E.A .MICHAEL .- "Locally mul iplica i ely con ex opological algeb as" . Mem . Ame . Ma h . Soc . n°- 11 (1952) [7] .- F .PEREZ GONZALEZ-"Una clase de unciones gene alizadas en álgeb as localmen e con exas de in e sión con inua" . Tesis . Uni e sidad de La Laguna . 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