Pub
.
Ma
.
UAB
N° 21
Oc
.
1980
Ac es
VII
JMHL
ALGUNAS
PROPIEDADES
DE
C
C
(X,E)
José
Mendoza
Casas
Dp o
.
de Teo ia
de
Funciones
Uni e sidad
Complu ense
de Mad id
ABSTPAC
:
Le
C
c
(X,E)
be
he
space
o
con inuous
unc ions
om
he
comple-
ely
egula
Haussdo
space
X
in o
he
locally con ex
Haussdo
space
E,
endowed
wi h
he
compac -open opology
.
Ou
aim
is o
ca ac e ize when his
space
is
ixa eled,
e aluable,
bo nological
o
ul abo nological
.
We
ob ain
necessa y condi ions
by
p o ing ha
C
(X)=
C
(X,K)
and
E
a e
(iscmo phic
o)
complemen a y
subspaces
o
C
(X,E)
c
A e
c
we
pa ially
educe
his
p o-
blem
o
he
case
X
comoac
and
s8
we
ob ain
some
su icien
condi ions,
which
gene alize
p e ious esul s
o
Schme s
.
Sea
X
un
espacio
comple amen e
egula
y
Haussdo
y E
un
espacio
local
men e
con exo
(e .l .c
.)
Haussdo
.
Al
espacio
de
las unciones con inuas
de
X
en
E
lo
no a emos
C(X,E)
(simplemen e
C(X)
si
E
es
el
cue po
escala )
.
No
a enos
C
c
(X,E)
( esp
.
Cc
(X))
a
C(X,E)
( esp
.
C(X))
do ado
de
la
opología
compac a-abie a,
es deci ,
de
la
opología
de
e
.l .c
.
dada
po
la
amilia
de
semino mas
{
K,p
:
KeF
,
peP}
donde
es
la
amilia
de
los
subconjun os
comn-
pac os
de
X,
P
la
de
las
semino mas
con inuas
en
Ey
K,p
W
=sup{pWx))
:
xeK) si
Ke
,
peP
y
~eC(X,E)
.
Siguiendo
la
1Sxnea
de Schme s,
buscamos
condiciones
en
X
y E
pa a
que
C
c
(X,E)
sea
onelado, in a onelado,
bonnol6gico
o
ul abo nol6gico
.
Da emos
sis emá icamen e
es as
p opiedades
en el
e
.l
.c
.
Cc
(X)
ca o p opiedades
de
X
.
Es o
no
se á p oblema
ya
que
es án
pe ec amen e ca ac e izados
los
espacios
X
pa a
los
que
C
c
(X)
iene
cada
una
de
es as
p opiedades
[1,2,6,7
.
La
p o
posición
1
nos pe mi i á
ob ene
condiciones
necesa ias
;
después
da emos
al
gunas
su icien es
.
Ag adezco
since amen e
a
Fe nando
B~l
su
di ección
en
es e abajo
.
1
.
P oposición
:
C
c
(X)
y
E
son
opol6gicamen e
isomo os
a
subespacios
de
Cc (X,E)
que
admi en
~lemen a io
opol6gico
.
Den
.
:
Sea
xEX,
eC(X) al
que
(x)=1,
eeEy
e'
-
una
o ma
lineal
y
con i-
nua
en
E
al
que
<e,e'>=1
.
Conside emos
las
siguien es
aplicaciones
:
C
c
(X,E)
x-9
E

Cc
(X,E)

;

Cc
(X,
E) <
'e
Á C
c
(X)

d

-
C
c
(X,
E)
6x(0)=O(x),

6 (e)= (
.)e,

<
,e'>(O)=<~(
.),e'>,

6
e
(g)=g(.)e
.
Es
ácil
e que
es as
aplicaciones
son con inuas
y
que
e i ican
ade-
más
Y16
X
1
5 (E)
=I6
(E
),

6
xo
6
,
E
,

6eo<
.
e'>
16
e
(C
c
(X))
-i
6
e (Cc
(X))

y
<
,e'>o6
eI
C(X)

'
donde
16 (E), I
E
,
e c
.
son
las
espec i asiden idades
.
Pe o
de
aquí se
sigue
inmedia amen e
el
esul ado
enunciado
.
2
.
Obse aciones
:
Siguiendo
la
misma
de
os aci6n,
la
p oposiciónan e-
io
se
puede
enuncia
de
o ma
más
gene al
en
los
espacios
C
P
,
B
(X,E)
de
Schme s
[3]
.
Po
la
p oposición
1
an o
E
como
Cc
(X)
he edan
en
gene al
las
p opieda
-
des
usuales
del
e .l.c
.
C
c (X,E)
.
Así,
sin
ene
que
es udia
sepa adamen e
cada
caso,
podemosa i ma inmedia amen e
que
si
Cc
(X,E)
es
onelado
( esp
.
in a onelado
e c
.)
Cc
(X)
y E
ambién
son
onelados
( esp
.
in a onelados,
e c
.)

_
Al
espacio
de
las
unciones
con inuas
de X enE
con imagen
ela i amen e
compac a,
do ado
de
la
opología
de
la
con e genciauni o me
lo
no a emos
C
0
(X,E)
.
Es
cla o
que
la
inyección
canónica
deC0
(X,E)
en
Cc (X,E)
es
con i
nua
y
que
si
RX es la
conpac i icaci6n
de
S one-~ech
de X,
Cc
(SX,E)
es
opó
16gicamen eisomo o
a
Co
(X,E)
.
3
.
Teo ema
:
Si
C
c
(X)
y
Cc
(RX,E)
son
espacios
onelados
( esp
.
in a one
lados)
en onces
Cc
(X,E)
es
ambién
un
espacio
onelado
( esp
.
in a onelado)
Dem
.
:
SeaVcC
c
(X,E)
un
onel
( esp
.
onel
bo ní o o)
en
C
c
(X,E)
.
Si
C
c
(X)
es
onelado
( esp
.
in a onelado),
de
las
ca ac e izaciones
de
[2,6]
y
[7]
y
de
las
p oposiciones
IV
.3
.
y
IVA
.a)
de
[4]
se
deduceque
el
sopo e
de la
pola
de
V
[4],
sop(V°),es
un
ela i amen e
compac o
deX
.
Además,
basándonos undamen almen e
en
el
eo ema
de la
bipola ,
se
demues aque
el
sopo e
de
V
[3],
K(V),
coincide
con
la
adhe encia
de
sop(V°),
y
po
an o
que
K(V)
es un
compac o
de
X
.
Po
o a
pa e,po
la
obse ación
an e io ,
VO
C
0
(X,E)
es
un
onel
( esp
.
onelbo n o o)
y
po
la
hipó esis
un
en o -
no de
ce o
en
Co
(X,E),
es deci ,
exis euna semino má
con inua
p enE
alque
(*)

V=>V(1C
o
(X,E)~Vp
{$
eC0
(X,E)
:
p(o(x))S1

~}
19
6
Es
cla o
que
la
adhe encia
de
V
p enCc
(X,E)
es á
con enida
en
Up={~
EC(X,E)
:
p(~(x))<1
Vx
ex}
;
pe o
además
se da la
igualdad
:
si
~~
p
,
Kc
X
es
compac o
y q
es
una semino ma
con inua
en
E
exis e
un
ecub imien o
abie o
ini o
de
K,
{U
i
}
inl
,
alque
si
x,yeU,
(lsian),
q(~(x)-~(y))<
1
;
y
exis e
ambién
una
pa ición
con inua
de
la
unidad
en
X, { i
}
i=
n
1
,

e
es á
subo dinada
a
n
{Ui}i=1
enK
;
en onces,
si
ei
E
~(U
i
)

(1,
i<
n)

se
iene
n

n

n

n
E
i
(
.)e
i
EV

y
K,q
(0- E i
(Je
i
)=sup{q(
E
i
(x)O(x)-
E
i(x)ei
)
:xEK}S
i=1
p
i--1

i=1 i=1
n
sup{E
1 i
(x)q(¢(x)-exc-K
}< 1
.
Así,
cono
V
es
ce ado
en
C
c
(X,E),
de
l

(*)
se
deduce

V~
Up={
OeC
(X,E)
:
p
(~
(x»,1
1

VXEX
}
pe o
de
aquí,
po se
K(V)
un
compac o
de
X
y
po
el
eo ema
5.1
.b)
de [3]
concluimos
que
V
es
un
en o no
de
ce o
en
C
c
(X,E)
.
Obse emos
que
el
eo ema
an e io
jun o
con
la
p oposición
1
educe
en
pa e
el
p oblema
de
sabe
cuándo
C
c
(X,E)
es
onelado
o
in a onelado
al
ca
so
enque
X
es
compac o
.
Nos
dice
en
pa icula
que
si
Cc
(X)
es
onelado
( esp
.
in a onelado)
y E es
al
que
Cc
(K,E)
es
onelado
( esp
.
in a onela
do) si
K
es
compac o,
en onces
Cc(X,E)
es
onelado
( esp
.
in a onelado)
.
Es o
nos
pe mi e
ex ende
algunos
esul ados
conocidos
[4]
y
a i ma
p
.e
. :
4
.
Co ola io
:
Si
E
es
lími einduc i o
conpac amen e
egula
( e
[41)
de
una
sucesión
c ecien e
de
espacios
de
F éche
( esp
.
me izables)
y C
c
(X)
es
onelado
( esp
.
in a onelado),
en onces
C
c
(X,E)
es
onelado
( esp
.
in a
onelado)
.
Den
.
:
Bas a
ene
en
cuen a
la
obse ación
an e io
y
que
como
se
een
[4],
en la
hipó esis,
si
K
es
compac o,
C
c
(K,E)
es
lími einduc i o
de
espa
cios
de
F éche
( esp
.
me izables)
y
po
an o onelado
( esp
.
in a onela
do)
.
es
.
Obsé ese
que los
limi es
induc i os
es ic os
son
compac amen e
egula
5
.
Co ola io
:
Sea
{Ei}ieI
una
amilia
dee
.l.c
.
al
quepa a
cada
i8I
E
i
es
un
limi e
induc i o
conipac amen e
egula
de
una
sucesión
c ecien e
de
espacios
de
F éche
( esp
.
me izables),
en onces
si
C
c
(X)
es
onelado
( esp
.
in a onelado)
Cc(X,,ÉIE,)
es
onelado
( esp
.
in a onelado)
.
Den
. :
Es
consecuencia
del co ola io
an e io
ya
que
es
ácil
comp oba
que
Cc
(X,
i
&
i
)
es
opológicamen e
isomo o
a
A
I
C
C
(X,E
i
) .
6
.
Teo ema
:
Sea
X
localmen e
compac o
y
eple o
[1,2,6],
y E
al
que
CC
(SX,E)
es
bo nológico
( esp
.
ul abo nológico),
en onces
C
c
(X,E)
es
bo no
-
lógico
( esp
.
ul abo nológioo)
.
19
7
Dem
. :
Sea
V<
=C
(X,E)
un
disco
bo ní o o
( esp
.
un
disco
que
abso be
a
c
los discos
de
Banach
aco ados),
es
ácil
e que
V
nCo
(X,E)
es
ambién
un
disoo
bo ní o o
( esp
.
un
disco
que
abso be
a
los
discos
de
Banach
aco ados)
enC
(X,E)
y
así,
po
la
hipó esis,
es
un
en o no
de
ce o
en
C
(X,E),
es
de
0

0

-
ci ,
exis euna semino ma
con inua
p
en
E
al
que
(*)

VzVnc
o
(X,E)
:>
{~
eC0
(X,E)
:
p(,p(x))<
1

VxeX}
Po
la
p oposición
5
.6
.
de
[3]
K(V)
es
un
subconjun o
compac o
de
X,
eamos
que
V
>V
K(V),
p
{OC-C(X,E)
:
p(~(x))
< 1

VxéK(V)}
y
hab emos
e minado
:
sea
(V),p
,
y
conside emos
G={xEx
:
p(~(x))<
l)
;
po
la
compacidad
local
exi_s
e un
abie o
ela i amen e
compac o
G

al
que
K
(V)
c
G
0
c
G
0
c
G,
y
exis e
0
ambién
eC(X),
con
sopo e
compac o
con enido
en
G,
idén icamen e
1
en
G0 y
al que
(X)
c
C0,1]
;
(
.)
~
(
.) C-C
0
(X,E)
y
exis e
<1 al
que
p( (x)~(x))< ,
es deci ,
p( (x)~(x))<
1
pa a odo
xeX,
y
en onces,
po
(*),

po
o a
pa e
(
.)~(
.)
coincide
con
~
en0y
así
po el
e_o
ema
5
.1
.a)
de
[3]
1
1
(O-
(
.)
O
(
.))
eV
;
como
V
es
un
disco
Con
la
es icción
de
la
compacidad
local
las
obse aciones
que
hicimos
a
con inuacióndel
eo ema
3
se
asladan
aquí
ácilmen e
.
BIBLIOGRAFIA
[1]
[2]
[3]
4]
[
G)]+
(1- )
[ll
(O- 1=~e
.
De Wilde,
M
.,
y
Schme s,
J
.
(1971)
.
Ca ac é isa ion
des
espaces
C(X)
u_1
abo nologiques,
Bull
.
Soc
.
Roy
.
Sc
.
Liég
e
40,
119-121
.
Nachbin,
L
.
(1954)
.
Topological
ec o spaces
o
con inuous
unc ions,
P oc
.
Na
.
Acad
.
USA
40,
471-474
.
Schme s,
J
.
(1977)
.
Func ional
Analysis
:
Su eys
and
Recen
Resul s,
No h-Holland
Publishing
Company,
89-103
.
Schme s,
J
.
(1978)
.
Spaces
o
ec o - alued
con inunas
unc ions,
Lec-
u e
No es
in
Ma hema ics
644,
Sp inge
Ve lag, 368-377
.
ScYm e s,
J
.
(1977)
.
.
Bo nological
a ia
ul abo nological
C(X,E)
spaces
.
Manusc ip aMa h
.
Vol
.
21
Fasc
.
2,
117-133
.
Shi o a
.
T
.
(1954)
.
On
locally
con ex
ec o
spaces
o
con inuous
unc-
ions,
P oc
.
Japan
Acad
.
30,
294-298
.
Wa ne ,
S
.
(1958)
.
The
opology
o
ca pac
con e gence
on
con inuous
unc ion
spaces,
DukeMa h
.
J
.
25,
265-282
.