Algunas propiedades de Cc (X,E)

Pub . Ma . UAB N° 21 Oc . 1980 Ac es VII JMHL ALGUNAS PROPIEDADES DE C C (X,E) José Mendoza Casas Dp o . de Teo ia de Funciones Uni e sidad Complu ense de Mad id ABSTPAC : Le C c (X,E) be he space o con inuous unc ions om he comple- ely egula Haussdo space X in o he locally con ex Haussdo space E, endowed wi h he compac -open opology . Ou aim is o ca ac e ize when his space is ixa eled, e aluable, bo nological o ul abo nological . We ob ain necessa y condi ions by p o ing ha C (X)= C (X,K) and E a e (iscmo phic o) complemen a y subspaces o C (X,E) c A e c we pa ially educe his p o- blem o he case X comoac and s8 we ob ain some su icien condi ions, which gene alize p e ious esul s o Schme s . Sea X un espacio comple amen e egula y Haussdo y E un espacio local men e con exo (e .l .c .) Haussdo . Al espacio de las unciones con inuas de X en E lo no a emos C(X,E) (simplemen e C(X) si E es el cue po escala ) . No a enos C c (X,E) ( esp . Cc (X)) a C(X,E) ( esp . C(X)) do ado de la opología compac a-abie a, es deci , de la opología de e .l .c . dada po la amilia de semino mas { K,p : KeF , peP} donde es la amilia de los subconjun os comn- pac os de X, P la de las semino mas con inuas en Ey K,p W =sup{pWx)) : xeK) si Ke , peP y ~eC(X,E) . Siguiendo la 1Sxnea de Schme s, buscamos condiciones en X y E pa a que C c (X,E) sea onelado, in a onelado, bonnol6gico o ul abo nol6gico . Da emos sis emá icamen e es as p opiedades en el e .l .c . Cc (X) ca o p opiedades de X . Es o no se á p oblema ya que es án pe ec amen e ca ac e izados los espacios X pa a los que C c (X) iene cada una de es as p opiedades [1,2,6,7 . La p o posición 1 nos pe mi i á ob ene condiciones necesa ias ; después da emos al gunas su icien es . Ag adezco since amen e a Fe nando B~l su di ección en es e abajo . 1 . P oposición : C c (X) y E son opol6gicamen e isomo os a subespacios de Cc (X,E) que admi en ~lemen a io opol6gico . Den . : Sea xEX, eC(X) al que (x)=1, eeEy e' - una o ma lineal y con i- nua en E al que <e,e'>=1 . Conside emos las siguien es aplicaciones : C c (X,E) x-9 E  Cc (X,E)  ;  Cc (X, E) < 'e Á C c (X)  d  - C c (X, E) 6x(0)=O(x),  6 (e)= ( .)e,  < ,e'>(O)=<~( .),e'>,  6 e (g)=g(.)e . Es ácil e que es as aplicaciones son con inuas y que e i ican ade- más Y16 X 1 5 (E) =I6 (E ),  6 xo 6 , E ,  6eo< . e'> 16 e (C c (X)) -i 6 e (Cc (X))  y < ,e'>o6 eI C(X)  ' donde 16 (E), I E , e c . son las espec i asiden idades . Pe o de aquí se sigue inmedia amen e el esul ado enunciado . 2 . Obse aciones : Siguiendo la misma de os aci6n, la p oposiciónan e- io se puede enuncia de o ma más gene al en los espacios C P , B (X,E) de Schme s [3] . Po la p oposición 1 an o E como Cc (X) he edan en gene al las p opieda - des usuales del e .l.c . C c (X,E) . Así, sin ene que es udia sepa adamen e cada caso, podemosa i ma inmedia amen e que si Cc (X,E) es onelado ( esp . in a onelado e c .) Cc (X) y E ambién son onelados ( esp . in a onelados, e c .)  _ Al espacio de las unciones con inuas de X enE con imagen ela i amen e compac a, do ado de la opología de la con e genciauni o me lo no a emos C 0 (X,E) . Es cla o que la inyección canónica deC0 (X,E) en Cc (X,E) es con i nua y que si RX es la conpac i icaci6n de S one-~ech de X, Cc (SX,E) es opó 16gicamen eisomo o a Co (X,E) . 3 . Teo ema : Si C c (X) y Cc (RX,E) son espacios onelados ( esp . in a one lados) en onces Cc (X,E) es ambién un espacio onelado ( esp . in a onelado) Dem . : SeaVcC c (X,E) un onel ( esp . onel bo ní o o) en C c (X,E) . Si C c (X) es onelado ( esp . in a onelado), de las ca ac e izaciones de [2,6] y [7] y de las p oposiciones IV .3 . y IVA .a) de [4] se deduceque el sopo e de la pola de V [4], sop(V°),es un ela i amen e compac o deX . Además, basándonos undamen almen e en el eo ema de la bipola , se demues aque el sopo e de V [3], K(V), coincide con la adhe encia de sop(V°), y po an o que K(V) es un compac o de X . Po o a pa e,po la obse ación an e io , VO C 0 (X,E) es un onel ( esp . onelbo n o o) y po la hipó esis un en o - no de ce o en Co (X,E), es deci , exis euna semino má con inua p enE alque (*)  V=>V(1C o (X,E)~Vp {$ eC0 (X,E) : p(o(x))S1  ~} 19 6 Es cla o que la adhe encia de V p enCc (X,E) es á con enida en Up={~ EC(X,E) : p(~(x))<1 Vx ex} ; pe o además se da la igualdad : si ~~ p , Kc X es compac o y q es una semino ma con inua en E exis e un ecub imien o abie o ini o de K, {U i } inl , alque si x,yeU, (lsian), q(~(x)-~(y))< 1 ; y exis e ambién una pa ición con inua de la unidad en X, { i } i= n 1 ,  e es á subo dinada a n {Ui}i=1 enK ; en onces, si ei E ~(U i )  (1, i< n)  se iene n  n  n  n E i ( .)e i EV  y K,q (0- E i (Je i )=sup{q( E i (x)O(x)- E i(x)ei ) :xEK}S i=1 p i--1  i=1 i=1 n sup{E 1 i (x)q(¢(x)-exc-K }< 1 . Así, cono V es ce ado en C c (X,E), de l  (*) se deduce  V~ Up={ OeC (X,E) : p (~ (x»,1 1  VXEX } pe o de aquí, po se K(V) un compac o de X y po el eo ema 5.1 .b) de [3] concluimos que V es un en o no de ce o en C c (X,E) . Obse emos que el eo ema an e io jun o con la p oposición 1 educe en pa e el p oblema de sabe cuándo C c (X,E) es onelado o in a onelado al ca so enque X es compac o . Nos dice en pa icula que si Cc (X) es onelado ( esp . in a onelado) y E es al que Cc (K,E) es onelado ( esp . in a onela do) si K es compac o, en onces Cc(X,E) es onelado ( esp . in a onelado) . Es o nos pe mi e ex ende algunos esul ados conocidos [4] y a i ma p .e . : 4 . Co ola io : Si E es lími einduc i o conpac amen e egula ( e [41) de una sucesión c ecien e de espacios de F éche ( esp . me izables) y C c (X) es onelado ( esp . in a onelado), en onces C c (X,E) es onelado ( esp . in a onelado) . Den . : Bas a ene en cuen a la obse ación an e io y que como se een [4], en la hipó esis, si K es compac o, C c (K,E) es lími einduc i o de espa cios de F éche ( esp . me izables) y po an o onelado ( esp . in a onela do) . es . Obsé ese que los limi es induc i os es ic os son compac amen e egula 5 . Co ola io : Sea {Ei}ieI una amilia dee .l.c . al quepa a cada i8I E i es un limi e induc i o conipac amen e egula de una sucesión c ecien e de espacios de F éche ( esp . me izables), en onces si C c (X) es onelado ( esp . in a onelado) Cc(X,,ÉIE,) es onelado ( esp . in a onelado) . Den . : Es consecuencia del co ola io an e io ya que es ácil comp oba que Cc (X, i & i ) es opológicamen e isomo o a A I C C (X,E i ) . 6 . Teo ema : Sea X localmen e compac o y eple o [1,2,6], y E al que CC (SX,E) es bo nológico ( esp . ul abo nológico), en onces C c (X,E) es bo no - lógico ( esp . ul abo nológioo) . 19 7 Dem . : Sea V< =C (X,E) un disco bo ní o o ( esp . un disco que abso be a c los discos de Banach aco ados), es ácil e que V nCo (X,E) es ambién un disoo bo ní o o ( esp . un disco que abso be a los discos de Banach aco ados) enC (X,E) y así, po la hipó esis, es un en o no de ce o en C (X,E), es de 0  0  - ci , exis euna semino ma con inua p en E al que (*)  VzVnc o (X,E) :> {~ eC0 (X,E) : p(,p(x))< 1  VxeX} Po la p oposición 5 .6 . de [3] K(V) es un subconjun o compac o de X, eamos que V >V K(V), p {OC-C(X,E) : p(~(x)) < 1  VxéK(V)} y hab emos e minado : sea (V),p , y conside emos G={xEx : p(~(x))< l) ; po la compacidad local exi_s e un abie o ela i amen e compac o G  al que K (V) c G 0 c G 0 c G, y exis e 0 ambién eC(X), con sopo e compac o con enido en G, idén icamen e 1 en G0 y al que (X) c C0,1] ; ( .) ~ ( .) C-C 0 (X,E) y exis e <1 al que p( (x)~(x))< , es deci , p( (x)~(x))< 1 pa a odo xeX, y en onces, po (*),  po o a pa e ( .)~( .) coincide con ~ en0y así po el e_o ema 5 .1 .a) de [3] 1 1 (O- ( .) O ( .)) eV ; como V es un disco Con la es icción de la compacidad local las obse aciones que hicimos a con inuacióndel eo ema 3 se asladan aquí ácilmen e . BIBLIOGRAFIA [1] [2] [3] 4] [ G)]+ (1- ) [ll (O- 1=~e . De Wilde, M ., y Schme s, J . (1971) . Ca ac é isa ion des espaces C(X) u_1 abo nologiques, Bull . Soc . Roy . Sc . Liég e 40, 119-121 . Nachbin, L . (1954) . Topological ec o spaces o con inuous unc ions, P oc . Na . Acad . USA 40, 471-474 . Schme s, J . (1977) . Func ional Analysis : Su eys and Recen Resul s, No h-Holland Publishing Company, 89-103 . Schme s, J . (1978) . Spaces o ec o - alued con inunas unc ions, Lec- u e No es in Ma hema ics 644, Sp inge Ve lag, 368-377 . ScYm e s, J . (1977) . . Bo nological a ia ul abo nological C(X,E) spaces . Manusc ip aMa h . 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