Pub
.
Ma
.
UAB
N°
21
Oc
.
1980
Ac es
VII
JMHL
CONJUNTOS
DE
INTERPOLACION
PARA
FUNCIONES
HOLOMORFAS
Y REGULA-
RES
EN LA
FRONTERA
Joaquim
B una
Seccibde
Ma emá iques
Uni e si a
Au ónoma
de
Ba celona
Abs ac
.- En
es á
comunicación,
después
de
expone
esquemá icamen e
la
si-
uación,
en
lo que
a
esul ados
y
p oblemas
abie os
se
e ie e,
del
á ea
en
cues ión,
p esen amos la*solución
a
uno
de
esos
p oblemas abie os
:
la
ca ac e ización
de los
conjun os
ce ados
de la
ci cun e encia
que son de
in e polación
pa a las
unciones holomo as
en
el
disco
unidad
y
di e encia-
bles
en su
adhe encia
.
El
á ea
en la
qué
es a
comunicación
se
encuad a
es
la
del
compo a-
mien o
en la
on e a
de
unciones
holomo as,
á ea
a
nues o juicio ac ual-
men e
en
"e e escencia"
.
Nues a
in ención
es
p esen a
la
si uación
en
un
aspec o
de
es a eo ia así como
nues a
apo ación
al
mismo
.
El
aspec o
al
que nos
e e imos
es
el
es udio de los llamados
conjun-
os excepcionales
pa a
clases de
unciones
con
egula idad
ue e
en la
on-
e a,
clases
que
a
con inuación
de inimos
.
0 es
el
disco
unidad
del
plano
complejo,
T
la
ci cun e encia unidad
.
A
designa
el
á1
.geiz a
del
disco,
o mada
po las
unciones holomo as
en
O
y
con inuas
en
D
.
Si
p
es un
en e o
posi i o,
ponemos
AP
={ ÉA
:
(j)eA,
j=0,
.
.
.,p}
y
si
s>
0
es
no en e o
y
p=
(s],
As
designa
el
subespacio
de Ap
o mada
po
aquellas
e Ap cuya p-sima
de i ada sa is ace
en
D
una
condición
de Lips-
chi z
de
o den
s-p
.
Finalmen e,'ponemos
A
-=n
AP
.
p
Un
conjun o
ce ado
E
C
T se
llama
un ce o
pa a
A
( esp
.AP,
A
s
,
A')
si
exis e
eA
( esp
.

Ap,
A
s
,
A')

al

que
E
={e
i
J (e
¡
)=
0}
.

Se
llama
de
pico
pa a
A( esp
.AP, As
,
A')
si
exis e
en
la
clase
al
qúe
I (z)J
<
1
pa a
z e
D/E
i
(z)=1

si z e E
.
Si
es á
en
una
de esas
clases,
su
es icción
a T
es á
espec i a-
men e,
en
los
espacios
C(T),
Cp (T),
Lip(s,T)
o
C'(T)
(y
ecip ocamen e)
.
E
se
llama
de
in e polación
pa a
A
( esp
.
Ap, A
s
,
A')
si
dada
~
e
C(T)
( esp
.
CP(T),
Lip(s,T),
C
_
(T)),
exis e
en A
( esp
.
P,
P
,
A
s
,
A')
al
que
d?
(e
i
)= d?
(e
i
)
d J d J
pa a

e
l
e
E,

j
= 0

en

el

caso
A,

j
= 0,
.
. .
,p

en

el

caso
Ap
y A
s
(p
=
[
s])

y
odo
j
en
el
caso A'
.
El
p oblema
es
ca ac e iza
es os
conjun os
pa a cada
una
de esas cla-
ses
.
Has a
hace
poco,
la
si uación
e a
la
desc i a
en
el
cud
o
siguien e
:
En
el
cuad o
an e io ,
JET
es la
medida
de
Lebesgue
de E
.
Si
es la
unción
dis ancia
a
E,
E
se
llama
un
.conjun o
de
Ca leson
si
log
p e
L
1
(T)
.
Se
llama
un
ATW-conjun o
si
además
-
l

log
p
d
<
cons
log

1

+cons
l-
I
-
pa a odo
a co
I
c
T
y
se
llama
un
K-conjun o
si
15
4
sup
{p(e
i
),
e
i e I}
>
cons
III
.
p(ei )
Todas
es as
condiciones
exp esan
p opiedades
del
" epa imien o"
del
conjun-
o
E
.
Na u almen e,
odas ellas
pueden
exp esa se
en
é minos
de
la
sucesión
(p
n
)
de
longi udes
de
las
componen es
conexas
del
complemen a io
de
E
.
Una
cues iónimpo an e
a
des aca
c eemos
que
es el
hecho
de
que
mien as
la
condición
de
Ca leson
es
una
condición
"absolu a"
y
depende
an
sólo de
la
A A
p
A
S
(S >
1)
A(S
<
1)
A"
ce o ¡El=
0
conjun o
de
Conjun o
de
Conjun o
de
Conjun o
de
Ca leson Ca leson Ca leson Ca leson
pico
JET
=
0
ini o ini o
?
ini o
in e polación
¡El=
0 ?
K-conjun o K-conjun o
ATW-conjun o
(en
[31)
(en
[31)
(en
[
1]
)
magni ud
de
los
p
n
,
las
o as condiciones
son
bas an e
más
su iles
y
depen-
den
no
sólo
del
amaño
de
las
p
n
sinó
ambién
de su
posición" ela i a"
.
En
el
cuad o
an e io
emos
pues como
p oblemas
abie os
la
ca ac e-
ización
de
los
conjun os
de
pico
pa a
A
s
con
0<s<
1

y
la
de
los conjun os
de
in e polación
pa a
AP
con
p
en e o
y
bosi i o
.
Respec o
al
p ime
p oblema
di emos
an
sólo
que
exis euna conje u a
en
el
sen ido
de
que
son
aquellos
conjun os
ales
que p-s
e
1
1
(T)
;
noso os
c eemos
que
es a
conje u a
no es
muy
buena
en el
sen ido
apun ado
más
a i
ba,
de
que
es
és a
una
condición
absolu a
y
no
depende
de la
si uación
ela-
i a
de
las
componen es
del
complemen a io
de E
.
Respec o
la
segunda,
quizá
sea
bueno
el
comen a cuales
son
las
éc-
nicas
en
los
o os
casos
pa a
e así
donde
adican
las
di icul ades
.
Pa a
A,
las
écnicas
son las
de
las
álgeb asuni o mes,
con
el
uso
de
las
medidas
o ogonales
.
En
el
caso A'
se
p ocede
po
dualidad,
haciendo
uso
de
que
se
iene
una
ans o mación
de
Bo el
T(z)
=T(w
}
wlz)

Z¢
D
,

Te
(A
)
que
ep esen a
el
dual
de A
¢
en un
espacio
de
unciones
holomo as
en
el
ex e io
del
disco
.
Finalmen e,
pa a
AS,
la
p opiedad
esencial
es
su
es abi-
lidad
po
conjugación
(la
análoga
de
la
ans o mada
de
Hilbe
en la
ci -
cun e encia)
.
No
exis en
esul adosanálogos
a
és os
en
el
caso Ap
y
ello
es
la
azón
po
la
cual
es os esul ados
no se
ex ienden
a
es e
caso
.
Nues a
apo ación
es la
ca ac e ización,
median e
écnicas
cons uc-
i as,
de
los
conjun os
de
in e polación
pa a
AP
.
Nues os
esul ados
pueden
sin e iza se
en
el
eo ema
que
sigue
.
De él
quisié amos
des aca
la
conexión
que es ablece
con
el
conocido
espacio
BMO
de
las
unciones
con
oscilación
media
aco ada
.
Teo ema
.- Un
conjun o
ce ado
E
C
T es
de
in e polación
Ap
si
.y
sólo
si
cumple
las
siguien esp opiedades
que son
equi alen es
(a)
E es un
K-conjun o
.
(b)
pa a odo
I
C
T,

u
T]

log
p<
log
¡Il-cons
I
(c)
exis e
0
<
a
<
1

al

que

p
-°
`
<-cons

I
_«
I
(d)
exis e
0<

<1

al
que

1

pa=cons
I
la
.
.
TIT
I
(e)
exis e
0 <
a
<1

al
que
pa a odo
I
15
6
1{xeI
:p(x)< )I<cons
II1(m
)",
>0
( )
l09
peL
l
(i) y
P[logp1(z)
>
log(1-1z1)--cons
'(g)
1og
p e
L'
(T)
y
I
P[log
pl(z)-log
~z),

cons
.
Cada
una
de
es as
condiciones
implica
que log
pe
BMO
.
//
Comen a ios
a
hace sob e
el
mismo
son
los
siguien es
:
en p ime
lu-
ga ,
la
condición
no
depende
de
p,
y
es
la
misma
que
pa a
los
A
s
.
Es o
úl i-
mo
es
na u al
y
e a
lógico
de
espe a
.
En
segundo
luga ,
y
a
la
is a
de
la
condición
(b),
hay
conjun os
de
in e polación
pa a
A'
°
que
no
lo
son
pa a
Ap,
lo
cual
ya
es
algo
más
so p enden e
.
Un
ejemplo
es

E=
{exp
ñ
U1
.
Dejando
apa e
la
demos ación
de
la
equi alencia
de
las
condiciones
asi
como de
la
necesidad
de
las
mismas,
la
écnica
en la
demos ación
de
la
su iciencia
es
como
sigue
:
1°Cons ui
unciones
ex e nas
F(z)
que
se
anulen,ella
y
sus
de i a-
,
das
en
los
pun os de
E
.
2°Dada
O
e
CP(T),
ex ende la
a
D,
esol e

5p=

5~~/F
en
D
y
pone
=

-
wF
.
En onces

5
=
50-
-
5(1J)
=
5~
~
-(5u)F
=
0
.

.
El
p oblemaes á en
con ola
el
c ecimien o
de
0 y
de
F a
in
de
que
sa is aga
odos
los
eque imien os
.
3
°
El
c ecimien o
(óp imo)
de 1
puede
consegui se
con
el
eo ema
de
ex ensión
de
Whi ney
.
El
c ecimien o
óp imo de
F
se ia
del
ipo
IF(z)I~p(z)
p
IF(n)
(z)J<
cons
p(z)
p-n
,
n
=
0,
. .
.,p
.
La
cons ucción
de
es as
F
con
es e
c ecimien o
óp imo
es
una
de
las
pa es
écnicas
di iciles
y
ya
ue
esuel a
po
Dynkin en
el
caso
A`
.
Nues a
con-
ibución
aqui es
cons ui
es as
uncionesusandop ecisamen e
las
écnicas
de
BMO
.
4°Con
F
.de
es e es ilo
adecuadas,
demos a
las
es imaciones
siguien-
es
pa a
~(j) (z)
I
=
o(p(z)
`
-e
,

j
=
0,
..
.,
.
Pa a
más
de alles
nos
e e imos
a[21
.
REFERENCIAS
[1] H
.
Alexande -
B .A
.Taylo -
D
.L
.Williams,"The
in e polacióg
se s
o
A
,
"
J
.
Ma h
.
Anal
.
Appl
.,
36,1(1971),
556-568
.
121
.
.J
.
B una,
"Bounda y
in e pola ion
se s
o
holomo phic
unc ionssmoo h
a
he
bounda y
and
BMO"
.
Apa ece á
en
T ansac ions
o
he
A
.M
.S
.
(El
anuncio
del
esul ado
p incipal
en
Comp es
Rendus
Acad
.
Sci
.
Pa is,
1980,
le
Semes e,
T
.290,
N°1)
131
.
E .M
.
Dynkin, "Se s
o ee
in e pola ion
o
Holde
classes,
Ma
.
Sbo nik,
1979,
109(151),
1(5)
.