Conjuntos de interpolación para funciones holomorfas y regulares en la frontera

Pub . Ma . UAB N° 21 Oc . 1980 Ac es VII JMHL CONJUNTOS DE INTERPOLACION PARA FUNCIONES HOLOMORFAS Y REGULA- RES EN LA FRONTERA Joaquim B una Seccibde Ma emá iques Uni e si a Au ónoma de Ba celona Abs ac .- En es á comunicación, después de expone esquemá icamen e la si- uación, en lo que a esul ados y p oblemas abie os se e ie e, del á ea en cues ión, p esen amos la*solución a uno de esos p oblemas abie os : la ca ac e ización de los conjun os ce ados de la ci cun e encia que son de in e polación pa a las unciones holomo as en el disco unidad y di e encia- bles en su adhe encia . El á ea en la qué es a comunicación se encuad a es la del compo a- mien o en la on e a de unciones holomo as, á ea a nues o juicio ac ual- men e en "e e escencia" . Nues a in ención es p esen a la si uación en un aspec o de es a eo ia así como nues a apo ación al mismo . El aspec o al que nos e e imos es el es udio de los llamados conjun- os excepcionales pa a clases de unciones con egula idad ue e en la on- e a, clases que a con inuación de inimos . 0 es el disco unidad del plano complejo, T la ci cun e encia unidad . A designa el á1 .geiz a del disco, o mada po las unciones holomo as en O y con inuas en D . Si p es un en e o posi i o, ponemos AP ={ ÉA : (j)eA, j=0, . . .,p} y si s> 0 es no en e o y p= (s], As designa el subespacio de Ap o mada po aquellas e Ap cuya p-sima de i ada sa is ace en D una condición de Lips- chi z de o den s-p . Finalmen e,'ponemos A -=n AP . p Un conjun o ce ado E C T se llama un ce o pa a A ( esp .AP, A s , A') si exis e eA ( esp .  Ap, A s , A')  al  que E ={e i J (e ¡ )= 0} .  Se llama de pico pa a A( esp .AP, As , A') si exis e en la clase al qúe I (z)J < 1 pa a z e D/E i (z)=1  si z e E . Si es á en una de esas clases, su es icción a T es á espec i a- men e, en los espacios C(T), Cp (T), Lip(s,T) o C'(T) (y ecip ocamen e) . E se llama de in e polación pa a A ( esp . Ap, A s , A') si dada ~ e C(T) ( esp . CP(T), Lip(s,T), C _ (T)), exis e en A ( esp . P, P , A s , A') al que d? (e i )= d? (e i ) d J d J pa a  e l e E,  j = 0  en  el  caso A,  j = 0, . . . ,p  en  el  caso Ap y A s (p = [ s])  y odo j en el caso A' . El p oblema es ca ac e iza es os conjun os pa a cada una de esas cla- ses . Has a hace poco, la si uación e a la desc i a en el cud o siguien e : En el cuad o an e io , JET es la medida de Lebesgue de E . Si es la unción dis ancia a E, E se llama un .conjun o de Ca leson si log p e L 1 (T) . Se llama un ATW-conjun o si además - l  log p d < cons log  1  +cons l- I - pa a odo a co I c T y se llama un K-conjun o si 15 4 sup {p(e i ), e i e I} > cons III . p(ei ) Todas es as condiciones exp esan p opiedades del " epa imien o" del conjun- o E . Na u almen e, odas ellas pueden exp esa se en é minos de la sucesión (p n ) de longi udes de las componen es conexas del complemen a io de E . Una cues iónimpo an e a des aca c eemos que es el hecho de que mien as la condición de Ca leson es una condición "absolu a" y depende an sólo de la A A p A S (S > 1) A(S < 1) A" ce o ¡El= 0 conjun o de Conjun o de Conjun o de Conjun o de Ca leson Ca leson Ca leson Ca leson pico JET = 0 ini o ini o ? ini o in e polación ¡El= 0 ? K-conjun o K-conjun o ATW-conjun o (en [31) (en [31) (en [ 1] ) magni ud de los p n , las o as condiciones son bas an e más su iles y depen- den no sólo del amaño de las p n sinó ambién de su posición" ela i a" . En el cuad o an e io emos pues como p oblemas abie os la ca ac e- ización de los conjun os de pico pa a A s con 0<s< 1  y la de los conjun os de in e polación pa a AP con p en e o y bosi i o . Respec o al p ime p oblema di emos an sólo que exis euna conje u a en el sen ido de que son aquellos conjun os ales que p-s e 1 1 (T) ; noso os c eemos que es a conje u a no es muy buena en el sen ido apun ado más a i ba, de que es és a una condición absolu a y no depende de la si uación ela- i a de las componen es del complemen a io de E . Respec o la segunda, quizá sea bueno el comen a cuales son las éc- nicas en los o os casos pa a e así donde adican las di icul ades . Pa a A, las écnicas son las de las álgeb asuni o mes, con el uso de las medidas o ogonales . En el caso A' se p ocede po dualidad, haciendo uso de que se iene una ans o mación de Bo el T(z) =T(w } wlz)  Z¢ D ,  Te (A ) que ep esen a el dual de A ¢ en un espacio de unciones holomo as en el ex e io del disco . Finalmen e, pa a AS, la p opiedad esencial es su es abi- lidad po conjugación (la análoga de la ans o mada de Hilbe en la ci - cun e encia) . No exis en esul adosanálogos a és os en el caso Ap y ello es la azón po la cual es os esul ados no se ex ienden a es e caso . Nues a apo ación es la ca ac e ización, median e écnicas cons uc- i as, de los conjun os de in e polación pa a AP . Nues os esul ados pueden sin e iza se en el eo ema que sigue . De él quisié amos des aca la conexión que es ablece con el conocido espacio BMO de las unciones con oscilación media aco ada . Teo ema .- Un conjun o ce ado E C T es de in e polación Ap si .y sólo si cumple las siguien esp opiedades que son equi alen es (a) E es un K-conjun o . (b) pa a odo I C T,  u T]  log p< log ¡Il-cons I (c) exis e 0 < a < 1  al  que  p -° ` <-cons  I _« I (d) exis e 0<  <1  al que  1  pa=cons I la . . TIT I (e) exis e 0 < a <1  al que pa a odo I 15 6 1{xeI :p(x)< )I<cons II1(m )", >0 ( ) l09 peL l (i) y P[logp1(z) > log(1-1z1)--cons '(g) 1og p e L' (T) y I P[log pl(z)-log ~z),  cons . Cada una de es as condiciones implica que log pe BMO . // Comen a ios a hace sob e el mismo son los siguien es : en p ime lu- ga , la condición no depende de p, y es la misma que pa a los A s . Es o úl i- mo es na u al y e a lógico de espe a . En segundo luga , y a la is a de la condición (b), hay conjun os de in e polación pa a A' ° que no lo son pa a Ap, lo cual ya es algo más so p enden e . Un ejemplo es  E= {exp ñ U1 . Dejando apa e la demos ación de la equi alencia de las condiciones asi como de la necesidad de las mismas, la écnica en la demos ación de la su iciencia es como sigue : 1°Cons ui unciones ex e nas F(z) que se anulen,ella y sus de i a- , das en los pun os de E . 2°Dada O e CP(T), ex ende la a D, esol e  5p=  5~~/F en D y pone =  - wF . En onces  5 = 50- - 5(1J) = 5~ ~ -(5u)F = 0 .  . El p oblemaes á en con ola el c ecimien o de 0 y de F a in de que sa is aga odos los eque imien os . 3 ° El c ecimien o (óp imo) de 1 puede consegui se con el eo ema de ex ensión de Whi ney . El c ecimien o óp imo de F se ia del ipo IF(z)I~p(z) p IF(n) (z)J< cons p(z) p-n , n = 0, . . .,p . La cons ucción de es as F con es e c ecimien o óp imo es una de las pa es écnicas di iciles y ya ue esuel a po Dynkin en el caso A` . Nues a con- ibución aqui es cons ui es as uncionesusandop ecisamen e las écnicas de BMO . 4°Con F .de es e es ilo adecuadas, demos a las es imaciones siguien- es pa a ~(j) (z) I = o(p(z) ` -e ,  j = 0, .. ., . Pa a más de alles nos e e imos a[21 . REFERENCIAS [1] H . Alexande - B .A .Taylo - D .L .Williams,"The in e polacióg se s o A , " J . Ma h . Anal . Appl ., 36,1(1971), 556-568 . 121 . .J . B una, "Bounda y in e pola ion se s o holomo phic unc ionssmoo h a he bounda y and BMO" . Apa ece á en T ansac ions o he A .M .S . (El anuncio del esul ado p incipal en Comp es Rendus Acad . Sci . Pa is, 1980, le Semes e, T .290, N°1) 131 . E .M . Dynkin, "Se s o ee in e pola ion o Holde classes, Ma . Sbo nik, 1979, 109(151), 1(5) .