Pub
.
Ma
.
UAB
N° 21
Oc
.
1980
Ac es
VII
JMHL
EXPRESIONES
DE
p-RECURRENCIA
En ique
A encia
de
Bu gos,
F ancisco
Ma cellón Español
Facul ad de
Ciencias
.
Uni e sidad
de
Malaga
E
.T .S .I .I
.
Uni e sida
d
de
Za agoza
Abs ac
:In
his
papé
;á
gene aliza ion
o
he
ecu ence
ela
ions o
o hogonal
polynomials
c
.^
.
iemnisca es
is
gi en
.
Se e al ecu
ence o mulas
deduced
o
he
descomposi ion
:
TnP
®
K
[APP
n-HP(z
)]--T
n-1 p
®
K
[P
n
(z)]
whe e
T
n,p
is
he
o hogo
1
nal
suplemen a y
subspace om
he
subspace


n_
inlT
a e
ob ained
.Finally, wo open p oblems
in
ela ionwi h
h
heo y
o he
n-ke nels
and
he
de elopmen
in
Fou ie -Jacobi
se ies o a ional
unc ions, espec i ely,a e
posed
.
En
la
eo ía
de
polinomios o ogonales
sob e
lem-
nisca as
( éase[3])hemos p opo cionado
una
in e p e ación
de
ipo
geomé ico
pa a
la
elación
de
ecu encia
que
sa is acen
dichos
polinomios
basada
en la
conside ación
del
complemen o
o ogonal
del
subespacio
ATñ-h
espec o
a
n
n
,donde
i
n
es el
espacio
ec o ial
de
los
polinomios
de
g ado
meno
o
igual
que
n y JA(z)1=
R
es la
ecuación
de
la
lemnisca a
conside ada,don-
de
A(z)
es un
polinomio
de
g ado h con
aíces
simples
y coe i-
cien e
conduc o
unidad
.
l
n
Rei e ando
la
descomposición
11
n
=ATi i
-h
©(ATi i
-h
)
esul a
:
TT
=AP
T

®(A1T

)
1n®A
(A1T
_

l
n
~
.. .
.
.
1%P-1
(AT
-

)
l
n
-
(P
-
1)
h
n

n-hp

n-h

n
2h

n ph
(1)
donde,a e ec os
de no ación
designa emos
median e Tn
~
p
la
suma
de
los
p
úl imos
subespacios
.
De

(1)

se
sigue
que
iT
=APTT

®K[AP
P

(z)]
®T

(2)
nn-hp-1
n-hp
n,p
donde
Pn-hP(z)
es el
polinomio
o ogonal
mónico
de
g ado n-hp
ela i o a una
dis ibución
de inida sob e
la
cu a
.
Po
o a
pa e,si
en la
descomposición
1T
n
=1T
n-
®
K[P
n
(z)]
aplicamos
(1)
al
p ime
sumando, esul a
TT
n
=A
p
"
n-hp-1®K
CP
n
(z)]
OTn-1
.
p

(3)
de
Apn_
hp-1
espec o
a
TT
n
,se
sigue
K[Ap
Pn-hp(z)]
0
Tn,p=KIPn(z)]
E>
Tn
-
1,P

(4)
De
(2)
y
(3),conside ando
el
complemen o
o ogonal
La exis encia
de
una
base
na u al
de
(AT
n-h
)
bn
ha
sido
p obada
en
[3)
.Dicha
base
es á
o mada
po
los
h
n-nd-
cleos
Kn
(z,a¡
i
)
asociados
a
las
aíces
o(
i
i=1,
.
.h
de
A(z)
.Asimis
mo
se
ha
ob enido
o a
base
de
dicho
complemen o
o ogonal,que
designamos
0ni
(z)
i=1,
.
.h
ca ac e izada
po
la
condición
geomé-
ica
siguien e
:K
n
(z,o(
i
)
0

(n
(z)=
S,
,j
.Una
in e p e ación
de
es a
base
en
é minosde
la
eo ía
de
in e polación
apa ece
en
[3]
.
Con
es osaspec os
p e ios,plan eamos
a ias
cues iones
abie as
de
las
que
en
el
p esen e abajo
damos
so-
lución
a
la
p ime a
de
ellas
:
a)De
la
descomposición
(4),ob ene
exp esiones
de
ecu encia
en e
elemen os
de cada
uno
de
los
sumandos
.Apa ece
una
gene a-
lización
de
las
exp esiones
de
ecu encia
ob enidas
en[2]y[3]
que
deno"ina e os
6 ilulas
de
p- ecu encia
.
b)De
la
descomposición
(1),es udia ó mulasanálogasde p-su-
mación
que
gene alicen
las
ob enidas
en_ [21
y
[3)
yanaliza
consecuencias
ela i asa
la
dis ibución
de
los
ce osde
los
polinomios
o ogonales
.
c)De
acue do
con
la
descomposición
(1),es udia
el
desa ollo
en
se ie
de
Fou ie -Jacobi
pa a
unciones
acionales
del
ipo
P(z)

dóndeg adP(z)sh
.Es a
cues ión
p esen a
un
g an
in e
(A(z))k

_
és
desde
un
pun ode
is a
eó ico
uncional
dada
su
es echa
elación
conlos
desa ollos
en se iede
Lau en -Jacobi( ease
])
.Algunos
aspec osde
es e
p oblema
han
sidoes udiados
en
11]pa a
polinomios
o ogonales
sob e
la
ci cun e encia
unidad
.
As¡
pues,en
los
é minos
plan eados
en
a),nues-
o
p oblema
se
cen aen
el
es udiode
los
siguien esdesa o
llos
:

-1
h
i)
A(z)P
Pn-hp(z)=-~
Z
B
jI¡
A(z)
3
K
n-hj-1
(z,ol
i
)+
BnPn
(z)
La
de e minación
de
los
coe icien es
se
e ec Ua
conside ando
p oduc osescala esy
aplicando
el
hecho
de
quelos
pa9sumandos
150
son
o ogonales,de
o ma
que
ll~1
h

~
A(z)p
Pn-hP(z)=

A(z)3(q
lpn-hj(a(q)
Y'nghj-1(z))+Pn(z)
En
el
caso
p=1 po
no malización
de
los
polinomios
o ogona-
les,se
ob iene
la
exp esión
R-II
de
[3]
.En
el
casoA(z)=z
apa-
_ce
la
exp esión
I-14
de
[21
.
De o maanáloga
esul a
:

°
A(Z)
1K
n-hl
(z
'
a
)=A(z)1K
n-hl-1
(z,«
)+Pn-hl(°l )
pn(z)

+
+
P

(~i
)

A(z)
~

h P

(a
)~(k

(
.z),
~l
n-hl

j<1

k=1
n-hj
k
n-hj-1

0<l!5p-1
1i
:$h
E ec uando
cálculossencillos
se
p ueba
que
i
ii
.
iii)

_1

p

(z)=
Z

1

A
(z)
3

y
P
n
-hj
(e q)In-hj
(z)

+
e

n

j=0

e

R
2j

q=1
n

n-hj
+
e
l

R
2p
A(z)p
Pn-hp(z)
n-hp
De
nue o,como
casos
especialmen e
in e esan es,ob e-
nemospa a
p=1
y
po
no malización
de
los
polinomios
o ogona-
les,la
exp esión
R-I
de
[3]
.En
el
caso
A(z)=z
apa ece
la
ela
ción I-15
de
[2]
.Hemos
de señala
el
ca ac e
independien e
de
es a
exp esión espec oa
i)
h
i )

A(z)
l
K

(z,
«
)
=

2
:
K

(«k,
<)A(z)l,l(k

(z)
n-hl-1

k=1
n-hl-1


Ylo
1

h
:
~
-P
n-hl
(`( )
C

R21

A(z)pP

(z)+

R21
A(z)
3
~
p
n-hj
(~
k
)`Pn
k
hj
(z)~
R
2p
e
n-hp

n-hp

j>1
R
23
e
n-hj
k=1
donde
O&1<p-1
lj $h
.
esul a
una
nue a
exp esión
de
ecu encia
que
es
equi alen e
*(z)
1p
n-hl
(z)
=
A(z)
P
Pn
-hp
(z)

+

~
A(z)3

(~
pn
-h
3
(
0
(

(k
hj
(z))
k

n-
R
21

2p

2j
e
n-hl

R
e
n-hp

j>,l
R
e
n-hj
k=1
donde
0
:1%p-1 l* jh
.
E ec uando
un
desa ollo
pa a
el
p ime
sumando,
De
la
conside ación
de
i)-
.
.-i )
su gen
2(hp+1)exp esio
nes
de
p- ecu encia
que
en
esencia
se educen
a
dos
modelos
.
Como
aplicación
in e esan e,de
¡)se
sigue
que
Eip
n
(z)-A(z)
P
P'
n-h
(z)U?
=R
2p
e
n-h
-e
n
.Teniendo
p esen e
que
las
h
sucesiones
ep

2k

p
kh+i/R

donde
Oái*h-1
son
con e gen es( éase
g3])
podemosenuncia
él
siguien e
esul ado
P oposición
.
-La
sucesión
de
polinomios
Q
n-1
(z)=P
n
(z)-A(z)Pn-hp(z)
con e ge
a
la
unción
ce o
a
.e
.
sob ela lemnisca a
si
y
s61o
15
2
si
las
h
sucesiones
a=
ei2k
k
dondeip-1
sa is acen
la
con-
k

064
1
dici6n
(
-
®)a
k
=o(
(2k)
R
Obse amos
que
la
condición
de
con e gencia
a
ce o ienede e -
minada
po
la
con igu ación
geomé ica
de la
cu a
.
Si
R
es
su icien emen e
g ande,es
un
hecho
conocido( ease
£51)
que
el
ecin o
in e io
a
la
lemnisca a
es
simplemen e
conexo,
en cuyo
caso
y
de acue do
con
un
esul ado
que
igu aen
[4],
las
aicesde
los
polinomios
se
encuen an
en el
in e io
de
la
en ol u a
con exa
del- ecin q,po
lo
que
pa ece azonable
enuncia
la
siguien econje u a
:
P
(z)
lim

n

=
A(z)
si
y
solo
.si

e
l+hk
-o(
1
1
)
'
p
n-h
(z)

R
.Es e
esul ado
es la
gene alización
de
uno
clásicopa a
la
.
ci -
cun e encia
unidad,que
casode
e i ica se
pa a
lemnisca as
ex ende ía
la
in o mación
sob e
p opiedades
de
con e gencia
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