Expresiones de p-recurrencia

Pub . Ma . UAB N° 21 Oc . 1980 Ac es VII JMHL EXPRESIONES DE p-RECURRENCIA En ique A encia de Bu gos, F ancisco Ma cellón Español Facul ad de Ciencias . Uni e sidad de Malaga E .T .S .I .I . Uni e sida d de Za agoza Abs ac :In his papé ;á gene aliza ion o he ecu ence ela ions o o hogonal polynomials c .^ . iemnisca es is gi en . Se e al ecu ence o mulas deduced o he descomposi ion : TnP ® K [APP n-HP(z )]--T n-1 p ® K [P n (z)] whe e T n,p is he o hogo 1 nal suplemen a y subspace om he subspace   n_ inlT a e ob ained .Finally, wo open p oblems in ela ionwi h h heo y o he n-ke nels and he de elopmen in Fou ie -Jacobi se ies o a ional unc ions, espec i ely,a e posed . En la eo ía de polinomios o ogonales sob e lem- nisca as ( éase[3])hemos p opo cionado una in e p e ación de ipo geomé ico pa a la elación de ecu encia que sa is acen dichos polinomios basada en la conside ación del complemen o o ogonal del subespacio ATñ-h espec o a n n ,donde i n es el espacio ec o ial de los polinomios de g ado meno o igual que n y JA(z)1= R es la ecuación de la lemnisca a conside ada,don- de A(z) es un polinomio de g ado h con aíces simples y coe i- cien e conduc o unidad . l n Rei e ando la descomposición 11 n =ATi i -h ©(ATi i -h ) esul a : TT =AP T  ®(A1T  ) 1n®A (A1T _  l n ~ .. . . . 1%P-1 (AT -  ) l n - (P - 1) h n  n-hp  n-h  n 2h  n ph (1) donde,a e ec os de no ación designa emos median e Tn ~ p la suma de los p úl imos subespacios . De  (1)  se sigue que iT =APTT  ®K[AP P  (z)] ®T  (2) nn-hp-1 n-hp n,p donde Pn-hP(z) es el polinomio o ogonal mónico de g ado n-hp ela i o a una dis ibución de inida sob e la cu a . Po o a pa e,si en la descomposición 1T n =1T n- ® K[P n (z)] aplicamos (1) al p ime sumando, esul a TT n =A p " n-hp-1®K CP n (z)] OTn-1 . p  (3) de Apn_ hp-1 espec o a TT n ,se sigue K[Ap Pn-hp(z)] 0 Tn,p=KIPn(z)] E> Tn - 1,P  (4) De (2) y (3),conside ando el complemen o o ogonal La exis encia de una base na u al de (AT n-h ) bn ha sido p obada en [3) .Dicha base es á o mada po los h n-nd- cleos Kn (z,a¡ i ) asociados a las aíces o( i i=1, . .h de A(z) .Asimis mo se ha ob enido o a base de dicho complemen o o ogonal,que designamos 0ni (z) i=1, . .h ca ac e izada po la condición geomé- ica siguien e :K n (z,o( i ) 0  (n (z)= S, ,j .Una in e p e ación de es a base en é minosde la eo ía de in e polación apa ece en [3] . Con es osaspec os p e ios,plan eamos a ias cues iones abie as de las que en el p esen e abajo damos so- lución a la p ime a de ellas : a)De la descomposición (4),ob ene exp esiones de ecu encia en e elemen os de cada uno de los sumandos .Apa ece una gene a- lización de las exp esiones de ecu encia ob enidas en[2]y[3] que deno"ina e os 6 ilulas de p- ecu encia . b)De la descomposición (1),es udia ó mulasanálogasde p-su- mación que gene alicen las ob enidas en_ [21 y [3) yanaliza consecuencias ela i asa la dis ibución de los ce osde los polinomios o ogonales . c)De acue do con la descomposición (1),es udia el desa ollo en se ie de Fou ie -Jacobi pa a unciones acionales del ipo P(z)  dóndeg adP(z)sh .Es a cues ión p esen a un g an in e (A(z))k  _ és desde un pun ode is a eó ico uncional dada su es echa elación conlos desa ollos en se iede Lau en -Jacobi( ease ]) .Algunos aspec osde es e p oblema han sidoes udiados en 11]pa a polinomios o ogonales sob e la ci cun e encia unidad . As¡ pues,en los é minos plan eados en a),nues- o p oblema se cen aen el es udiode los siguien esdesa o llos :  -1 h i) A(z)P Pn-hp(z)=-~ Z B jI¡ A(z) 3 K n-hj-1 (z,ol i )+ BnPn (z) La de e minación de los coe icien es se e ec Ua conside ando p oduc osescala esy aplicando el hecho de quelos pa9sumandos 150 son o ogonales,de o ma que ll~1 h  ~ A(z)p Pn-hP(z)=  A(z)3(q lpn-hj(a(q) Y'nghj-1(z))+Pn(z) En el caso p=1 po no malización de los polinomios o ogona- les,se ob iene la exp esión R-II de [3] .En el casoA(z)=z apa- _ce la exp esión I-14 de [21 . De o maanáloga esul a :  ° A(Z) 1K n-hl (z ' a )=A(z)1K n-hl-1 (z,« )+Pn-hl(°l ) pn(z)  + + P  (~i )  A(z) ~  h P  (a )~(k  ( .z), ~l n-hl  j<1  k=1 n-hj k n-hj-1  0<l!5p-1 1i :$h E ec uando cálculossencillos se p ueba que i ii . iii)  _1  p  (z)= Z  1  A (z) 3  y P n -hj (e q)In-hj (z)  + e  n  j=0  e  R 2j  q=1 n  n-hj + e l  R 2p A(z)p Pn-hp(z) n-hp De nue o,como casos especialmen e in e esan es,ob e- nemospa a p=1 y po no malización de los polinomios o ogona- les,la exp esión R-I de [3] .En el caso A(z)=z apa ece la ela ción I-15 de [2] .Hemos de señala el ca ac e independien e de es a exp esión espec oa i) h i )  A(z) l K  (z, « ) =  2 : K  («k, <)A(z)l,l(k  (z) n-hl-1  k=1 n-hl-1   Ylo 1  h : ~ -P n-hl (`( ) C  R21  A(z)pP  (z)+  R21 A(z) 3 ~ p n-hj (~ k )`Pn k hj (z)~ R 2p e n-hp  n-hp  j>1 R 23 e n-hj k=1 donde O&1<p-1 lj $h . esul a una nue a exp esión de ecu encia que es equi alen e *(z) 1p n-hl (z) = A(z) P Pn -hp (z)  +  ~ A(z)3  (~ pn -h 3 ( 0 (  (k hj (z)) k  n- R 21  2p  2j e n-hl  R e n-hp  j>,l R e n-hj k=1 donde 0 :1%p-1 l* jh . E ec uando un desa ollo pa a el p ime sumando, De la conside ación de i)- . .-i ) su gen 2(hp+1)exp esio nes de p- ecu encia que en esencia se educen a dos modelos . Como aplicación in e esan e,de ¡)se sigue que Eip n (z)-A(z) P P' n-h (z)U? =R 2p e n-h -e n .Teniendo p esen e que las h sucesiones ep  2k  p kh+i/R  donde Oái*h-1 son con e gen es( éase g3]) podemosenuncia él siguien e esul ado P oposición . -La sucesión de polinomios Q n-1 (z)=P n (z)-A(z)Pn-hp(z) con e ge a la unción ce o a .e . sob ela lemnisca a si y s61o 15 2 si las h sucesiones a= ei2k k dondeip-1 sa is acen la con- k  064 1 dici6n ( - ®)a k =o( (2k) R Obse amos que la condición de con e gencia a ce o ienede e - minada po la con igu ación geomé ica de la cu a . Si R es su icien emen e g ande,es un hecho conocido( ease £51) que el ecin o in e io a la lemnisca a es simplemen e conexo, en cuyo caso y de acue do con un esul ado que igu aen [4], las aicesde los polinomios se encuen an en el in e io de la en ol u a con exa del- ecin q,po lo que pa ece azonable enuncia la siguien econje u a : P (z) lim  n  = A(z) si y solo .si  e l+hk -o( 1 1 ) ' p n-h (z)  R .Es e esul ado es la gene alización de uno clásicopa a la . ci - cun e encia unidad,que casode e i ica se pa a lemnisca as ex ende ía la in o mación sob e p opiedades de con e gencia . BIBLIOGRAFIA [11ALFARO M . :"Desa ollo en se iede Fou ie -Toepli z de 1h" Re is a de la Academia de Ciencias (1-2) 32 z pag 11-23 .Za agoza .1977 e2,ALFARO M .P . :"Polinomios o ogonales sob ela ci cun e en- cia unidad .Es udio del caso C" .Tesis Doc o al . Publicaciones Depa amen o de Teo ía de Funciones . Za agoza .1978 . 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