Pub
.
Ma
.
UAB
No 21
Oc
.
1980
Ac es
VII
JMHL
SOBRE
EL
NOMBRE
DE
PUNTSFIXOS
PER
A
UNA
APLICACI6
D'UN
GRAF
CONNEX
FINIT
Jaume
Llib e,
Agus íRe en ós
Secció
de
Ma emá iques
Uni e si a
Au ónoma
de
Ba celona
Abs ac
.
Le
Fn
be
he
quocien space
o
[o,n)
ob ainedby
iden i ying
poin s o
in ege scoo dina es
o a
single
poin
.
We
ask he
ollowing
ques ion
:
i
:
F
n
;
F
n is
a
con inuous
map
wha
can be
said
abou
he
numbe
o
ixed
poin s o ? We
gi e
a
comple e
answe
o
his
ques ion
in
he
homo opy
classes
o
con inuous
maps o
F
n
in o i sel
.
Also,
we show
he
ela ions le
ween
ou
answe
and he
Nielsen
numbe
.
Fo
a
con inuous
map
:
K
->
K
.
whe e
K
is
a
ini e
connec ed
g aph,we gi e
a
pa ial
answe
o
he
abo e
ques ion
.
Resum
.
Sigui
F
n
1'espai
ob ingu
a
pa i
de
1'in e al
anca
CO,n]
i ican
o s
els
pun s
de
coo denada
en e a
a
un
únic
pun
p
.
Sigui
:

F

->

F

.
n
n
De ini em
aqui
un
núme om( )
acilmen
calculable
a
pa i
del
xemen
de
a
ni el]
de
len
g up
d'homo opia
i
de
sabe
si
p
és
o no
ix
de
.
Demos a em
que
é
com
a
minim
m( )
pun s
ixos,
i
elaciona em
m( )
amb
el
núme ode
Ñielsen
N( )
.
Donem
a
con inuació
un
minim
de
no ació
i
san s
.
Sigui
X j
1'espai
quocien
de
1'in e al
[
p
els
pun s
j-1
i
j,
i
sigui
T
j
:[j-1,jJ
->
X j
1'
a
iden i icació
.
Fnés
homeomo
a
la unió de
allen en un pun
p
i
només
en
aques
pun
.
El
g up onamen alde
F
n
amb
base
p,
n(F
n ,p), és
isomo
al
e de
n
gene ado s
.
Aques s
gene ado ses an
ep esen a s
pels
llanos
T j
.
iden-
conei-
pun
els
esul a s
més
in e e-
j-l
.j)
al
iden i ica
amb
aplicació
de inida
pe
aques-
n
ce cles
X
1
.
.
.X
n
que
es
g up
lliu-
10
3
Si :Fo
;
Fn
i

p~
(p)
e
X
j
deno em
pe

y
:[0,1]
-+
Xj
el
cami
al
que
Y(0)
=
p,
Y(1)
=
(p)
i
y(L013)
és
l'a c
anca
en e
p
i
(p)
eco egu
en
el
sen i
con a ia
les
agulles
del el1o ge
.
Pend em
com
a
gene ado s
de
n(F
n
, (p))
les
classes{Y-1
Tj y}

1
<j
<n
.
Lla o s
a
ni ell
d'homo opia,
queda coneguda
a
pa i
de
les
exp e-
sions
on
M
j
( )
=
104
n
E' M
j
( )
j=1
;
y
{
T
j
}
=
{
Y
-1
T~(1
'
1
)
..
.
Tj(m(j)j))Y)
}
on

*
:

n1(Fn
,p)

}
1,
1(Fn
, ,p))

és
1'aplicació

indu'ida

pe
,
T
j,K
e{T19
.
.
.,Tn},

i
dos
llagos
consecu ius
Tj,K
són
semp e
di e en s
.
j
se á
la
e acció
de Fna
X
j
que
en ía
F
n
-X
j
a
p
.
A
cada
aplicaci
.
ó
con inua
:
Fn
-
F
n
hi
associem
un
en e
no
nega iu
M( )
de ini
pe
M( )
=
JÉ1Mj( )
M(j)
k
.
E

M
.(
.
k=1
j (P)~
p
j
(p)=
P
Els en e s
MK(
)
es ande ini s
a la aul
.
a
adjun a
.
La
no ació
E'
signi ica
:
n
1
+

E
M
j
( )

si
(p)
=
p
j=l
n
E
M
.( )

si
(p)
~
p
j=1
J
1<j<n
A
con inuació
demos emque
si
g
és
homo opa
a ,
lla o s
M(g)-M( )
e
e
{-2,-1,0,1
;2}
.
Deno em
pe
m( )
1'in im
dels
nomb es
M(g),
on,g
és
ho-
mo opa
a
.
Ob enim
els
seguen s
esul a s
:
Teo ema
A
.
Sigui
:
F
n
.
+
F
n
una
aplicació
con inua
.
Lla o s
.a)
é
al
menys
m ( )
pun s
ixos
.
b) Si

g
és homo opa
a ,
m(g)
=
m( )
.
c)
Exis eix
g
homo opa
a
i
al
que
g é
exac emen
.
m( )
pun s
ixos
.
d)
N( )<
m( )

on
N( )
és
el
núme o
de
Nielsen
de
.
si
*
{ T
j
}
~
{Y-1Y}
si
*
{T
j
}
=
{Y
-1
Y}
i
si
*
{T
j
}
=
{
Y
-1Y}
i
NOTA
:
Els
pun s
ixos
de
:
F
n
+
Fn es
classi iquen
segons la
elació
d'equi alencia
següen
:
ic
equi alen
a y
si
i
sols
si
exis eix
un
cami
C
:
(011
-
F
n
amb
C(0)
= x
i
C(1)
=y
al
que
C
i
C
són
homo ops
.
Aques es
classes
enenassocia
un
ce
"index"
i
el
núme o de
Nielsen
és
el
nomb e
de
classes
d'equi alenciad'index
~0
.
Teo ema
B
:
Sigui
:
F
1

F
1
una
aplicació
con inua
.
Lla o s
N( )
=
m( )
.
Exemple
C
:
Exis eix
una
aplicació
con inua
:
F
2

F
2
al
que
N( )
<
m( )
Teo ema
0
:
Sigui
:
F
n
i
Fn una
aplicació
con inua
.
Suposem
*{T
j
}
=
{y-1T~( )y}

pe
a o j
=1
.
.n,
on
a(j)
és
un
en e
.
Lla o s
N( )
=m( )
.
.
Si
K
és
un
g a
connex
ini
i
:
K

K
és
con inua,
de inim
de
mane-
a
semblan
un
núme o
M'( )
i
demos em
que
é
com
a
minim
M'( )
pun s
ixos
i
que
si
9 és
homo opa
a
,
lla o s
M'(g)=
M'( )
.
106
a(j,k)
Mk( )
> 2
I2-a(j,k)
I
.
(p)=p
0,1,2
0
Tj»k
=
Ti
< 0
la(j,k)j
m=k=1
. (PW
l1-a(j,k)I
(p)OX
.
Ia(j,k)j
. (p)~p
1
Tj,k~
Ti
. (p)=p
0
(P)
=P 0
I
1-
a(j,k)I
__
<
0
la(j,k)j
TJ,k
TJ
. (P
9
P
I1-a(j,k)I
(P)OX
.
la(j,k)j
. (P)~P
1
m
>
1
Tj
~k~
Ti
. (p)=P
0
,
. I
(P)
=P > 0
I1-a(j,k)I
k =
m
T
.1
,
k
.
T
.1
o he wise
Ia(j,k)I
T
"
k~
T
.
0
k l
m} T
i
k=T
la(j,k)j
T
jnk
l T
l
0