Sobre el nombre de punts fixos per a una aplicació d'un graf connex finit

Pub . Ma . UAB No 21 Oc . 1980 Ac es VII JMHL SOBRE EL NOMBRE DE PUNTSFIXOS PER A UNA APLICACI6 D'UN GRAF CONNEX FINIT Jaume Llib e, Agus íRe en ós Secció de Ma emá iques Uni e si a Au ónoma de Ba celona Abs ac . Le Fn be he quocien space o [o,n) ob ainedby iden i ying poin s o in ege scoo dina es o a single poin . We ask he ollowing ques ion : i : F n ; F n is a con inuous map wha can be said abou he numbe o ixed poin s o ? We gi e a comple e answe o his ques ion in he homo opy classes o con inuous maps o F n in o i sel . Also, we show he ela ions le ween ou answe and he Nielsen numbe . Fo a con inuous map : K -> K . whe e K is a ini e connec ed g aph,we gi e a pa ial answe o he abo e ques ion . Resum . Sigui F n 1'espai ob ingu a pa i de 1'in e al anca CO,n] i ican o s els pun s de coo denada en e a a un únic pun p . Sigui :  F  ->  F  . n n De ini em aqui un núme om( ) acilmen calculable a pa i del xemen de a ni el] de len g up d'homo opia i de sabe si p és o no ix de . Demos a em que é com a minim m( ) pun s ixos, i elaciona em m( ) amb el núme ode Ñielsen N( ) . Donem a con inuació un minim de no ació i san s . Sigui X j 1'espai quocien de 1'in e al [ p els pun s j-1 i j, i sigui T j :[j-1,jJ -> X j 1' a iden i icació . Fnés homeomo a la unió de allen en un pun p i només en aques pun . El g up onamen alde F n amb base p, n(F n ,p), és isomo al e de n gene ado s . Aques s gene ado ses an ep esen a s pels llanos T j . iden- conei- pun els esul a s més in e e- j-l .j) al iden i ica amb aplicació de inida pe aques- n ce cles X 1 . . .X n que es g up lliu- 10 3 Si :Fo ; Fn i  p~ (p) e X j deno em pe  y :[0,1] -+ Xj el cami al que Y(0) = p, Y(1) = (p) i y(L013) és l'a c anca en e p i (p) eco egu en el sen i con a ia les agulles del el1o ge . Pend em com a gene ado s de n(F n , (p)) les classes{Y-1 Tj y}  1 <j <n . Lla o s a ni ell d'homo opia, queda coneguda a pa i de les exp e- sions on M j ( ) = 104 n E' M j ( ) j=1 ; y { T j } = { Y -1 T~(1 ' 1 ) .. . Tj(m(j)j))Y) } on  * :  n1(Fn ,p)  } 1, 1(Fn , ,p))  és 1'aplicació  indu'ida  pe , T j,K e{T19 . . .,Tn},  i dos llagos consecu ius Tj,K són semp e di e en s . j se á la e acció de Fna X j que en ía F n -X j a p . A cada aplicaci . ó con inua : Fn - F n hi associem un en e no nega iu M( ) de ini pe M( ) = JÉ1Mj( ) M(j) k . E  M .( . k=1 j (P)~ p j (p)= P Els en e s MK( ) es ande ini s a la aul . a adjun a . La no ació E' signi ica : n 1 +  E M j ( )  si (p) = p j=l n E M .( )  si (p) ~ p j=1 J 1<j<n A con inuació demos emque si g és homo opa a , lla o s M(g)-M( ) e e {-2,-1,0,1 ;2} . Deno em pe m( ) 1'in im dels nomb es M(g), on,g és ho- mo opa a . Ob enim els seguen s esul a s : Teo ema A . Sigui : F n . + F n una aplicació con inua . Lla o s .a) é al menys m ( ) pun s ixos . b) Si  g és homo opa a , m(g) = m( ) . c) Exis eix g homo opa a i al que g é exac emen . m( ) pun s ixos . d) N( )< m( )  on N( ) és el núme o de Nielsen de . si * { T j } ~ {Y-1Y} si * {T j } = {Y -1 Y} i si * {T j } = { Y -1Y} i NOTA : Els pun s ixos de : F n + Fn es classi iquen segons la elació d'equi alencia següen : ic equi alen a y si i sols si exis eix un cami C : (011 - F n amb C(0) = x i C(1) =y al que C i C són homo ops . Aques es classes enenassocia un ce "index" i el núme o de Nielsen és el nomb e de classes d'equi alenciad'index ~0 . Teo ema B : Sigui : F 1  F 1 una aplicació con inua . Lla o s N( ) = m( ) . Exemple C : Exis eix una aplicació con inua : F 2  F 2 al que N( ) < m( ) Teo ema 0 : Sigui : F n i Fn una aplicació con inua . Suposem *{T j } = {y-1T~( )y}  pe a o j =1 . .n, on a(j) és un en e . Lla o s N( ) =m( ) . . Si K és un g a connex ini i : K  K és con inua, de inim de mane- a semblan un núme o M'( ) i demos em que é com a minim M'( ) pun s ixos i que si 9 és homo opa a , lla o s M'(g)= M'( ) . 106 a(j,k) Mk( ) > 2 I2-a(j,k) I . (p)=p 0,1,2 0 Tj»k = Ti < 0 la(j,k)j m=k=1 . (PW l1-a(j,k)I (p)OX . Ia(j,k)j . (p)~p 1 Tj,k~ Ti . (p)=p 0 (P) =P 0 I 1- a(j,k)I __ < 0 la(j,k)j TJ,k TJ . (P 9 P I1-a(j,k)I (P)OX . la(j,k)j . (P)~P 1 m > 1 Tj ~k~ Ti . (p)=P 0 , . I (P) =P > 0 I1-a(j,k)I k = m T .1 , k . T .1 o he wise Ia(j,k)I T " k~ T . 0 k l m} T i k=T la(j,k)j T jnk l T l 0