Pub
.
Ma
.
UAB
N° 21
Oc
.
1980
Ac es
VII
JMHL
REDUCCION
DE
LA
CODIMENSION
EN
INMERSIONES
RIEMANNIANASCON
VECTOR
CURVATURA
MEDIA
PARALELO
F.G
.
San os
Dp o
.
d
e
Geome ía
y
Topología
Uni e sidad
de
G anada
Abs ac
.-
Le
q
.
l
be
a
connec edn-dimensional
Ripian
mani old
inme sed o o
an
(n+p)-dimensional
Rimw
n+
an
mani old
q'
4
`
p
(c)
o
cons an
sec ional
cu a u e
c
.
In
he
p esen
pape
we
p o e
a
heo em
on
educ ion
o
codimension
o
he
imne sion
in
e ms
o
he no mal
cu a u e
enso
when
he
mean
cu a u e
ec o
o
he inme sion
is
pa allel
in
he
no mal
bundle
.
This
heo emex ends
a
esul
o
A
.
G
.
Cola es
and
M
.
P
.
do
Ca mo
[21
.
§1
.-Fó mulas
básicas
.-
Sea
(9,g)
una
a iedad
de
Riemann
y
M
una
sub-
a iedad
do ada
de
la
mé ica
inducida,
de
dimensiones
m
y
,n
espec i-
amen e
.
Po
( esp
.
R)
se
deno a á
la
conexión
de
Le i-Ci i a
( esp
.
el
enso de
cu a u a)
de
M
y
con
( esp
.
R)
la
conexión
de
Le i-
Ci i a
( esp
.
el
enso
de
cu a u a
)
inducida
en la
sub a iedad
.
Las
ó mulas
de
Gauss
y
de
Weinga en
ienen
dadas
po
X
Y
=
XY
+
a(X,Y)

(1
.1)
VXC =-A
c
X+
XY

(1
.2)
pa a odo
X,YeTM
y EcT
i
M
.
A
a
se
le
llama
la
segunda
o ma
undamen al
de
M
en
M
y
la
sub a iedad
se
dice o almen e
geodésica
si
a=0,
equí a-
7 5
len emen e,A,=Opa a
odo
IcT~M
. ~
es
una
de i ación
en
el
ib ado
no maly
po
R1 se
deno a
el
enso
de
cu a u a
en
el
ib adono mal
asociadoa
I
.
Si
R
i
=O
se
dice
que
el
ib ado
no mal
es
llano
o
que
~
es
llana
.
Un campo
de
ec o es
no males
~
es
pa alelo
en el
ib ado
no mal
si
XC
=
0
pa a
odo
XcTM
.Un
sub ib ado
p
del
ib ado
no mal
se
dice
pa alelo
en el
ib ado
no mal
si
Xicppa a
odo
ccp,
XcTM
.
Un
ope-
ado
:S(T
_
M)

S(T
_
M)
sob e
el
conjun o
de
seccionesno males
se
dicepa aleloen
el
ib ado
no mal
si
(
X
)9=9
X
~
- V
X
C=O
(1 .3)
pa a odo
XcTM
yCcT
M
.
El
ec o cu a u a
media
de
M
en
M
es á
dado
m-n

'
9
po
H

(T aza
'
Á~
a
)~
a
donde

a
=1,
. .
.
.,m-n
es
una
base
de
campos
a=1
_
o ono males
en
T
M
.
Si el
espacio
ambien e iene
cu a u a
seccionel
cons an e
c,
en onces
pa a
cualesquie a
camposde
ec o es
X
;Y,Z
sob e
M
.
La
écuaci6n
de
Ricci iene
dada
po
1
.5
pa a
odo
X,YcTM
y 1,ncT~M
.
Se
de ine
el
p ime espaciono mal
de
M
en
M
como
el
complemen o
o ogonal
en
T
i
M
de

`
N
O
={
ieT
I
M/A
E
=
0}
y
se
deno a á
po
N
1
.
Una
sub a iedad
M
de
dimensión
n
de
una
a iedad
de
Riemann
M
de
di-
mensión
n+p
se
dice
de
codimensión
subs ancial
k<
p
si
exis e
una
sub-
a iedad
o almen e
geodésica
N
de
M
de
dimensión
n+k
con eniendo
a
M
.
2
.-
Resul ados
.-
76
Lema
I
.-
Sea
Mn
una
sub a iedad,
de
dimensión
n,
en
una
a iedad
de
Riemann
de
dimensión
n+p,
M
n+
p
.
Sea
:S(T
i
M
n
)

S(T
I
M
n
)
un
ope ado
sob e
el
conjun o
de
las
secciones
del
ib ado
no mal
de
M
n
,
pa alelo
en
el
ib adono mal
de
Mn
.
Pa a
cada
m
c
M
n
sea
p(m)={jcTm(Mn)/ (m)~=0}
En onces
p
es
un
sub ib ado
pa alelo
en
el
ib ado
no mal
.
Demos ación
.-
P ime amen e
se
p ueba
que
la
dimensión
de
u
es
local-
men e
cons an e
.
Pa a
ello
si
mcM
n
y
la
dimensión
de u(m) es
se
oma
una
base
de
campos
o ono males
en un
en o nono malU
de
m
~l,
. .
.
..

E

1
1
+1'
"
'
"
P
.

ex endiendo
una
base
o ono mal
de
TmM
n
,

ampli
,
ada
de
una
base
de
p(m),
po
desplazamien o
pa alelo
espec ode
i
a
a és
de
las
geodésicas
de Mn
que
salen
de
m
.
Si
ncU
y
s( ) es la
geodésica
queune
m
con
n
con
B(0)=m, s(1)=n,
se
de ine
h
a( )
=
g( (~a( ))
. (
a( )))
.a=l,
.
. .
.p
1( )(ha( ))
=
2g( (Ea( ))
. 21( )Ea( ))=0
luego
h
a
es
cons an e
pa a
odo

a
=1,
...
.,
p,

a
lo
la gode

s( )
.

De
ah!
que
h
a(1)

= 0
si
y
sólo
si
h
a
(0)
=
0,

equi alen emen e
(~
a
(1))
=
0
si
y
sólo
si. (1
a
(0))
= 0
que
ocu ecuando
a
<
,
lo
que
p ueba
que
u
es
un
sub ib ado
del
ib ado
no mal
.
El
e
queu
es
pa alelo
se
deduce ácilmen e
po
la
p opia
de inición
de
u
.
Teo ema
2 .-
Sea
Mn
una
sub a iedad
conexa
de
dimensión
n,
con
ec o cu a u a
medía
pa alelo
en
el
ib adono mal,
de
una
a i
e-
dad
-
de
Riemann
de
dimensión
n+p,
con
cu
a u a
seccional
cons an e
c
,
M
n+
p(c)
.
Si
el
enso
de
cu a u a
de la
conexión
no mal
es
pa alelo
en el
ib a
d
o
no maly
el
p ime
espaciono mal
de la
sub a iedad
ienedimensión
cons an e
k,
en onces
la
sub a iedad
mensión
subs ancial
k
.
ienecodi-
Demos ación
.-
Se
conside an
dos
casos
:
CASO
I
.-La
conexión
no mal
i
es
llana
.
En es ecasoexis e
en
TM
n
una
base
de
diagonalización
simúl anea
de
odos
los
A
1
con
CcT
I
Mn
,
que
se
deno a
po
{XI

. .
.,Xn}
.
Si~cN
O
,
de
se
el
espacio
ambien e
de
cu a u a
seccional
cons an e
y
~
llana
se
sigue
que
A
,
Y
-
A
,
X =
0

(2
.1)
V
X
E
V
Y
C
pa a odo
X,YeTM
n
.
De

(2 .1)

se
sigue

que
A

,

X
j
=
0
pa a
odo
iqÉj,

i,j=l_
_
n
.
xi
i
Se a a
de
demos a
que
51
0
es
pa alelo
en el
ib adono mal,pa a
lo
cual
bas a
e
que
T aza
A
,

=0
pa a
odo
i=l,
.
. .
.,n
y
CEN
O
.
7X
i
El ec o
cu a u a
media
H
no iene
componen e
en
N
O
y
si
VX
.~
=
i
+s
i
,

donde
i
( esp
.

si
)

son
las
componen es
de
VX
i1
en
N
l
i
( esp
.
en
NO)
se
sigue
que
A
S
=O=O
y
si
i
~0,
se
puedeelegi
una
base
en
N
1
que
con enga
a
i
po
lo
que
al
se
CEN
O
y H
o ogonales
y
se
Hpa alelo
en el
ib ado
no mal
se
deduce
que
T aza
A
.
=0
.
Así
1
,
A X
i
~=O
pa a
odo
i=l_
.,n
y
pa a
odoCeN
O
po
lo
que
VXieNOpa a
odo&EN
O
,
en
consecuencia
N
O
es
pa alelo
en el
ib adono maly
po
an o
N
l
ambién
es
pa alelo
.
El
.
esul ado
del
eo ema
se
.
sigue,
en
es e
caso,
de un Teo emade
J
.E bache (12],pag
.333)
.
CASO
II
.-
La
conexión
no mal
I
no
es
llana
.
Sea
={
EcT~M
n
/R
1
(X,Y)J=0
pa a
odo
X,YETMn
}
Del
Lema
I
se
sigue
que
es un
sub ib ado
pa alelo
en el
ib adono mal
.De
(1 .4)
y
(1
.5)
N
O
e
y
odos
los
A
1
con
Ee
pueden
se
diagonalizados
simúl aneamen e
Se
aplicaaho a
el
a gumen o
del
Caso-I,
donde
el
papel
de
T
1
M
n
lo
hace
aho a
y
se
concluye
el
eo ema
. .
BIBLIOGRAFIA
.-
11
.1A
.G
.
Cola es
y
M
.P
.
do
Ca mo
.-"0n
minimal
imme sions
wi h
pa allel
no malcu a u e
enso
Lec u e
no es
in
Ma hema ics
n
o
-
597(1977)
Sp inge Ve lag
(1977)
12
.1
J
.E bache .-"Reduc ion
o
he
codimension
o an isome ic
imme -
sion"
.
J
.Di .Geom
.5(1971),333-340
.
78