Reducción de la codimensión en inmersiones riemannianas con vector curvatura media paralelo

Pub . Ma . UAB N° 21 Oc . 1980 Ac es VII JMHL REDUCCION DE LA CODIMENSION EN INMERSIONES RIEMANNIANASCON VECTOR CURVATURA MEDIA PARALELO F.G . San os Dp o . d e Geome ía y Topología Uni e sidad de G anada Abs ac .- Le q . l be a connec edn-dimensional Ripian mani old inme sed o o an (n+p)-dimensional Rimw n+ an mani old q' 4 ` p (c) o cons an sec ional cu a u e c . In he p esen pape we p o e a heo em on educ ion o codimension o he imne sion in e ms o he no mal cu a u e enso when he mean cu a u e ec o o he inme sion is pa allel in he no mal bundle . This heo emex ends a esul o A . G . Cola es and M . P . do Ca mo [21 . §1 .-Fó mulas básicas .- Sea (9,g) una a iedad de Riemann y M una sub- a iedad do ada de la mé ica inducida, de dimensiones m y ,n espec i- amen e . Po ( esp . R) se deno a á la conexión de Le i-Ci i a ( esp . el enso de cu a u a) de M y con ( esp . R) la conexión de Le i- Ci i a ( esp . el enso de cu a u a ) inducida en la sub a iedad . Las ó mulas de Gauss y de Weinga en ienen dadas po X Y = XY + a(X,Y)  (1 .1) VXC =-A c X+ XY  (1 .2) pa a odo X,YeTM y EcT i M . A a se le llama la segunda o ma undamen al de M en M y la sub a iedad se dice o almen e geodésica si a=0, equí a- 7 5 len emen e,A,=Opa a odo IcT~M . ~ es una de i ación en el ib ado no maly po R1 se deno a el enso de cu a u a en el ib adono mal asociadoa I . Si R i =O se dice que el ib ado no mal es llano o que ~ es llana . Un campo de ec o es no males ~ es pa alelo en el ib ado no mal si XC = 0 pa a odo XcTM .Un sub ib ado p del ib ado no mal se dice pa alelo en el ib ado no mal si Xicppa a odo ccp, XcTM . Un ope- ado :S(T _ M)  S(T _ M) sob e el conjun o de seccionesno males se dicepa aleloen el ib ado no mal si ( X )9=9 X ~ - V X C=O (1 .3) pa a odo XcTM yCcT M . El ec o cu a u a media de M en M es á dado m-n  ' 9 po H  (T aza ' Á~ a )~ a donde  a =1, . . . .,m-n es una base de campos a=1 _ o ono males en T M . Si el espacio ambien e iene cu a u a seccionel cons an e c, en onces pa a cualesquie a camposde ec o es X ;Y,Z sob e M . La écuaci6n de Ricci iene dada po 1 .5 pa a odo X,YcTM y 1,ncT~M . Se de ine el p ime espaciono mal de M en M como el complemen o o ogonal en T i M de  ` N O ={ ieT I M/A E = 0} y se deno a á po N 1 . Una sub a iedad M de dimensión n de una a iedad de Riemann M de di- mensión n+p se dice de codimensión subs ancial k< p si exis e una sub- a iedad o almen e geodésica N de M de dimensión n+k con eniendo a M . 2 .- Resul ados .- 76 Lema I .- Sea Mn una sub a iedad, de dimensión n, en una a iedad de Riemann de dimensión n+p, M n+ p . Sea :S(T i M n )  S(T I M n ) un ope ado sob e el conjun o de las secciones del ib ado no mal de M n , pa alelo en el ib adono mal de Mn . Pa a cada m c M n sea p(m)={jcTm(Mn)/ (m)~=0} En onces p es un sub ib ado pa alelo en el ib ado no mal . Demos ación .- P ime amen e se p ueba que la dimensión de u es local- men e cons an e . Pa a ello si mcM n y la dimensión de u(m) es se oma una base de campos o ono males en un en o nono malU de m ~l, . . . ..  E  1 1 +1' " ' " P .  ex endiendo una base o ono mal de TmM n ,  ampli , ada de una base de p(m), po desplazamien o pa alelo espec ode i a a és de las geodésicas de Mn que salen de m . Si ncU y s( ) es la geodésica queune m con n con B(0)=m, s(1)=n, se de ine h a( ) = g( (~a( )) . ( a( ))) .a=l, . . . .p 1( )(ha( )) = 2g( (Ea( )) . 21( )Ea( ))=0 luego h a es cons an e pa a odo  a =1, ... ., p,  a lo la gode  s( ) .  De ah! que h a(1)  = 0 si y sólo si h a (0) = 0,  equi alen emen e (~ a (1)) = 0 si y sólo si. (1 a (0)) = 0 que ocu ecuando a < , lo que p ueba que u es un sub ib ado del ib ado no mal . El e queu es pa alelo se deduce ácilmen e po la p opia de inición de u . Teo ema 2 .- Sea Mn una sub a iedad conexa de dimensión n, con ec o cu a u a medía pa alelo en el ib adono mal, de una a i e- dad - de Riemann de dimensión n+p, con cu a u a seccional cons an e c , M n+ p(c) . Si el enso de cu a u a de la conexión no mal es pa alelo en el ib a d o no maly el p ime espaciono mal de la sub a iedad ienedimensión cons an e k, en onces la sub a iedad mensión subs ancial k . ienecodi- Demos ación .- Se conside an dos casos : CASO I .-La conexión no mal i es llana . En es ecasoexis e en TM n una base de diagonalización simúl anea de odos los A 1 con CcT I Mn , que se deno a po {XI  . . .,Xn} . Si~cN O , de se el espacio ambien e de cu a u a seccional cons an e y ~ llana se sigue que A , Y - A , X = 0  (2 .1) V X E V Y C pa a odo X,YeTM n . De  (2 .1)  se sigue  que A  ,  X j = 0 pa a odo iqÉj,  i,j=l_ _ n . xi i Se a a de demos a que 51 0 es pa alelo en el ib adono mal,pa a lo cual bas a e que T aza A ,  =0 pa a odo i=l, . . . .,n y CEN O . 7X i El ec o cu a u a media H no iene componen e en N O y si VX .~ = i +s i ,  donde i ( esp .  si )  son las componen es de VX i1 en N l i ( esp . en NO) se sigue que A S =O=O y si i ~0, se puedeelegi una base en N 1 que con enga a i po lo que al se CEN O y H o ogonales y se Hpa alelo en el ib ado no mal se deduce que T aza A . =0 . Así 1 , A X i ~=O pa a odo i=l_ .,n y pa a odoCeN O po lo que VXieNOpa a odo&EN O , en consecuencia N O es pa alelo en el ib adono maly po an o N l ambién es pa alelo . El . esul ado del eo ema se . sigue, en es e caso, de un Teo emade J .E bache (12],pag .333) . CASO II .- La conexión no mal I no es llana . Sea ={ EcT~M n /R 1 (X,Y)J=0 pa a odo X,YETMn } Del Lema I se sigue que es un sub ib ado pa alelo en el ib adono mal .De (1 .4) y (1 .5) N O e y odos los A 1 con Ee pueden se diagonalizados simúl aneamen e Se aplicaaho a el a gumen o del Caso-I, donde el papel de T 1 M n lo hace aho a y se concluye el eo ema . . BIBLIOGRAFIA .- 11 .1A .G . Cola es y M .P . do Ca mo .-"0n minimal imme sions wi h pa allel no malcu a u e enso Lec u e no es in Ma hema ics n o - 597(1977) Sp inge Ve lag (1977) 12 .1 J .E bache .-"Reduc ion o he codimension o an isome ic imme - sion" . J .Di .Geom .5(1971),333-340 . 78