Pub
.
Ma
.
UAB
N°
20
Se
.
1980
Ac es
VII
JMHL
CALCULDELS
NÚMEROS
DE HODGE
DUNA
HIPERSUPERFICIE
LLISA
EN
ESPAIS
MULTIPROJECTIUS
F ancesc
Panyella
B us enga
Dp
.
d
e
Ma emá iques,
E
.T
.S .E .I .B
.
Uni e si a
Poli écnica
de
Ba celona
ABSTACT
.
Following
Hi zeb uch's
me hod
o
mul iplica i e
sequences,
knowing
he
Che n
class
o a
smoo hhype su -
ace,o
bideg ee
(a,b),
in
P
n
(C)XP
m
(C),
and
using
Riemann-
Roch's
heo em,
we
can
calcula e
he)C
y
cha ac e is ic
.
By
Le schb z's
heo em
on
hype planesec ions,
wich
also
holds
in
mul ip ojec i e
spaces,
we
calcúla e
he
Hodge
numbe s
o
ha
hype supe ace
.
Conside a emPn
(C)XP
m
(C)
comuna
a ie a
opológica
i
aplica em
els
me odes
de
1'homología
als
cicles
algeb aicsde PI(C)XP
m
(C)
.
No a em
pe
Li
la
classe
d'homologla
dels
subespaisp ojec ius
de
codimensió
i
de
P
n
(C)
que
engend en
H*(P
n
),
i L
j
les
co espo-
nen s
classes
de
H
*
(P
m
) .
,
Pe
Küne h
si
els
cicles_

(Li)O-Zi<n

_
o men
una
base
de
H
*
(Pn)

i
(Lj)Osjsm
una
base
de
H*(P
m
),
els
cicles
(
Li
XL
j)o,i<
.n,
Osj<
.m
o men
una
base
de H*(P
n
xP
M.
)
.
Lema
.-
Si
H(a,b) és`una
hipe supe icie
dé
Pn
xp
m
,
i
el
seu
ideal
es a
engend a
pe
un polinomi
bihomogeni
de
big aus
(a,b),
la
se a
classe
onamen al
d'homolog a
és
[H]

=

aL
1
XL
0

+

bL
O
XL
1

.
Si
h
i
k
són els
gene ado s
de
H
2
(P
n
)

i
H
2
(P
m
)

als
que
<_

h
n
,L
o
i
=
1
i<k
m
,L
o)=
1,
j
:H(a,b)~p
n
XP
m
1'inclussió
iTl
1
:P
n
Xp
m
--~p
n
T
_2
:P
n
*p
m
-

pp
m
les
*
coo esponen s
p ojeccions
_
no a em
h
=
j
TT
1
h
i
k
=
j
2
k
P oposició
.-
Si
H(a,b)
és
una
hipe supe icie
llisa de
p
n
Xp
m
de
big aus
(a,b),
la
se a
classe o al
de
Che n e donada
pe
c(H(a
,
b)
=
(l+h)
n+l
(l+k)
m+l
(l+ah+bk)
-1
P oposició
.-
Ambles
no aciós
an e io s
(l+uY)-l(1+ y)
-l

~
(l+uy)a(1+ x)1-(1-u)
a
(1_ )
b
5-
.X
y(H(a,b)un m
n,m

(l-u)(l- )
(1+uy)a(l+ y)b+y(1_u)a(1- )b
P oposició
.-
Amb
les
no acions
an e io s
i
conside an
nm
hpq(H(a,b))
=
0
si
p
~
q
i
p+
q Y
n+m-1
h
PP
(H(a,b))
=
p+1
si
05psn
h
PP
(H(a,b))
=
n+1
si
n4~-1
i
2pY
n+m-1
hPP(H(a,b))
=
m+n-p
si
m-1<p_
.
;n+m-1
si
2p=m+n-1
~
.p(H(a,b))
_
(-1)n+m-1-PhP'(n+m-l)-P
+
(-1)p(p+1)
si
p<n
P
Y
(H(a,b))

(-1)p(n+1)
n6pbm-1
j~P(H(a,b))

°

(-1)n+m-1
_PhP,(n+m-l)-P
+

(_1)P(m+n-P),
m-l
.,p4n+m-1
)(p(H(a,b))
_
(-1)PhPP
si
2p=m+n-1
Demos ació
.-
Es
oba
el
diaman
de
Hodge
de
p
n
Xp
m
i
s'aplica
el
eo emade
les
seccions
hipe planes
de
Le sche z
en
espais
mul i-
p ojec ius
.
Bibliog a ía
.
(1)
And eo i
and
F ankel
.
The
Le sche z
Theo em
on
Hype plane
sec ions
.
Ann
.
od
Ma h
.
69
(1959)
713-717
(2)
J
.
Fe e
y
F
.
Panyella
.
Sob e
el
Teo ema
de Le sche z
en
espacios
mul ip oyec i os
(a
apa ece )
U .P
.B
.
(3)
J
.
W
.
Milno
and
J
.D
.S ashe
.
Cha ac e is ic
Casses
P ince onU
.P
.
1974
.
(4) F
.
Hi zeb uch
.
Topologii al
Me hods
in
Algeb aic
Geome y
Sp inge -Ve lag-1978
.