Càlcul dels números de Hodge d'una hipersuperficie llisa en espais multiprojectius

Pub . Ma . UAB N° 20 Se . 1980 Ac es VII JMHL CALCULDELS NÚMEROS DE HODGE DUNA HIPERSUPERFICIE LLISA EN ESPAIS MULTIPROJECTIUS F ancesc Panyella B us enga Dp . d e Ma emá iques, E .T .S .E .I .B . Uni e si a Poli écnica de Ba celona ABSTACT . Following Hi zeb uch's me hod o mul iplica i e sequences, knowing he Che n class o a smoo hhype su - ace,o bideg ee (a,b), in P n (C)XP m (C), and using Riemann- Roch's heo em, we can calcula e he)C y cha ac e is ic . By Le schb z's heo em on hype planesec ions, wich also holds in mul ip ojec i e spaces, we calcúla e he Hodge numbe s o ha hype supe ace . Conside a emPn (C)XP m (C) comuna a ie a opológica i aplica em els me odes de 1'homología als cicles algeb aicsde PI(C)XP m (C) . No a em pe Li la classe d'homologla dels subespaisp ojec ius de codimensió i de P n (C) que engend en H*(P n ), i L j les co espo- nen s classes de H * (P m ) . , Pe Küne h si els cicles_  (Li)O-Zi<n  _ o men una base de H * (Pn)  i (Lj)Osjsm una base de H*(P m ), els cicles ( Li XL j)o,i< .n, Osj< .m o men una base de H*(P n xP M. ) . Lema .- Si H(a,b) és`una hipe supe icie dé Pn xp m , i el seu ideal es a engend a pe un polinomi bihomogeni de big aus (a,b), la se a classe onamen al d'homolog a és [H]  =  aL 1 XL 0  +  bL O XL 1  . Si h i k són els gene ado s de H 2 (P n )  i H 2 (P m )  als que <_  h n ,L o i = 1 i<k m ,L o)= 1, j :H(a,b)~p n XP m 1'inclussió iTl 1 :P n Xp m --~p n T _2 :P n *p m -  pp m les * coo esponen s p ojeccions _ no a em h = j TT 1 h i k = j 2 k P oposició .- Si H(a,b) és una hipe supe icie llisa de p n Xp m de big aus (a,b), la se a classe o al de Che n e donada pe c(H(a , b) = (l+h) n+l (l+k) m+l (l+ah+bk) -1 P oposició .- Ambles no aciós an e io s (l+uY)-l(1+ y) -l  ~ (l+uy)a(1+ x)1-(1-u) a (1_ ) b 5- .X y(H(a,b)un m n,m  (l-u)(l- ) (1+uy)a(l+ y)b+y(1_u)a(1- )b P oposició .- Amb les no acions an e io s i conside an nm hpq(H(a,b)) = 0 si p ~ q i p+ q Y n+m-1 h PP (H(a,b)) = p+1 si 05psn h PP (H(a,b)) = n+1 si n4~-1 i 2pY n+m-1 hPP(H(a,b)) = m+n-p si m-1<p_ . ;n+m-1 si 2p=m+n-1 ~ .p(H(a,b)) _ (-1)n+m-1-PhP'(n+m-l)-P + (-1)p(p+1) si p<n P Y (H(a,b))  (-1)p(n+1) n6pbm-1 j~P(H(a,b))  °  (-1)n+m-1 _PhP,(n+m-l)-P +  (_1)P(m+n-P), m-l .,p4n+m-1 )(p(H(a,b)) _ (-1)PhPP si 2p=m+n-1 Demos ació .- Es oba el diaman de Hodge de p n Xp m i s'aplica el eo emade les seccions hipe planes de Le sche z en espais mul i- p ojec ius . Bibliog a ía . (1) And eo i and F ankel . The Le sche z Theo em on Hype plane sec ions . Ann . od Ma h . 69 (1959) 713-717 (2) J . Fe e y F . Panyella . Sob e el Teo ema de Le sche z en espacios mul ip oyec i os (a apa ece ) U .P .B . (3) J . W . Milno and J .D .S ashe . Cha ac e is ic Casses P ince onU .P . 1974 . (4) F . Hi zeb uch . Topologii al Me hods in Algeb aic Geome y Sp inge -Ve lag-1978 .