Pub
.
Ma
.
UAB
N°20
Se
.
1980
Ac es
VII
JMHL
DEFORMACIO
SEMIUNIVERSAL
DEL
GERME
DELS
n
EIXOS
COORDENATS
DE
Cn
.
Josep
Fe e Llop
Dp
.
de
Ma emá iques,
E
.T
.S .E
.I
.B
.
Uni e si a
Poli écnica
de
Ba celona
ABSTRACT
Sigui
X
n
la
unió dels
n
eixos
coo dina s
Xn
The semi-uni e sal
de o ma ion
o
Xn
,
ge m
o
he
union
o
he
n
coo dina e
axes
o
C
n
,
is
p esen ed
he e
.
Fo
n>2,
he
ba-
se
is
a
singula
ge m
o
dimension
2n-3,
de-
e mined
;
by
he
in RIRe
1
5ion
o
ce ain
quad a ic
coces
in C
_
~
ij
(x)=x
i
x
j
=0
.
,
1<i,j-n1C
C
n
de

Cn
,

és

a

di
:
El
seu
ge me
a
1'o igen
1'esc iu em
ambé
Xn
.
Suposa em
sem-
p en>2
.
L'es udi
de
les
se es
de o macions
e
in e és
degu
a
que
és un
ge me
homogeni,
,
i
que
pe
n
g an
no
co espon
als
i
pus
ins
a a
més
es udia s
(in e seccions
comple es,
Cohen
-Macaulay
de
codimensió
2,
de e minan als,
Go ens ein
de
codi-
mensió
3,
. .
.)
.
Veieu,
pe
exemple,
els
casos
pa iculá s
n=3
i
n=4
a
(5)
i
(4)
espec i amen
.
No
coneixem
esul a s
gene-
als
pe
n
supe io
.
El
p incipal
esul a
si ió
6,
que
explici a
la
de o mació
qualse ol
n>2
.
Obse is
que
la base
no
Misa,
i
de
codimensió
ele ada
.
d'aques a
comunicació
és
la
p opo-
semiuni e sal
de
X n
,
pe
esul aésse homogánia,
I
.

-

Necessi a em
alguns
.
esul a s

sob e

1'espai

T
1
(X
n ),

que
ep oduim
de
(2)
.
Sigui
D
.
el
pun
doble
de
C,
de ini -
pe
¬
2
=0,

i

sigui

T
1
(X
n
)

1'espai

ec o ial

de

les
c
.lasses
d'iso-
mo isme
de les
de o macions
de
X n
in ini essimals
de
p ime
o d e,
és
a
di ,
sob e
D
.
Veieu,
pe
exemple
(1),
(4)
i
(7)
.
Lema
1
:
.
El
módul
de
elacions
de
{ és
gene a-
pe
les de
la
o ma
P oposició
2
:

Pe
cada¡#k,
1
;
i,k,<n,
sigui
T,1
el
ge me
a
1-'o igende la
a ie a
de
C n
xD
de inida
pe
jh(x)
= 0

si
(j,h)#(i,k)
Alesho es,

zkb
D
(p ojeccib)
és
u.na
de o macib
de
X n
.
P oposició
3
:
1)

Les
classes
zk
engend en
1'espai
ec o ial
T
1
(X
n
),
2)

Les
elacions
de
dependéncia
linealson
:
Doncs,
una
base
de T
1
(X
n )
es á
o mada
pe
( k),
amb
lsi,kcn,
kji,i+l
(ciclicamen ,
és
a
di ,,si
i=n,
kOn,l)
.
Co ola i

4
:

dim

T
1
(X
n
)

=

n(n-2)
.
II.-
De e minem
a a
la
de o macib
semiuni e sal
de
X
.
i

n

n
n-1
Sigui
u k
(9k,
14i,kin)
les
uncions
coo denades
de
C
(

) .
Pe k#i,j,
esc iu em
Conside em
S
n
,
i
n
,
ge mes
a
1
amen
:
x k ij -
xi
kj
=0
ik
(x)
-b
"
xk= 0
Esc iu em
ambé
Lk
la
classe
en T
1
(X
n
)
d'eixa
de o macib
.
z
:i
-1
+
¿i
11

Zñ
=0

lsi<n
Pij
=
u
i
u
3
i
u
j
ui
-u
i
u
j
k
j
k
i
k
k k
o igen
de les
a ie a s,
espec i-
pkj
= P kj

,

pe
. o kOi,j
;

k'~k,i,j~
C
Cn(n-1)
~x
i
xj 4
uj
x
i
i
u~
x
j1
PkJ
=
0,
1-i,jsn}c
C n.S
P oposició

5
:

Y
n
__1
n

(p ojecció)

és una
de o mació
de
X n
.
Demos ació
:

Pel
lema
1,
cal
només
comp o a
que
la
elació
s'ex en
a
la
(xk
-
uk)(xi
x j 4
.
ui
z
i
+
u~
z j
PkJ)
+
+( -
xi
-
u~)(xj
xk
+

. .
.

)
ui
+
uk)(xi
xk
+

. .
.

)
= 0
P oposició
6
:

La
es icció
*
n
--S
n
de
la
de o mació
an e io
a
S
n =
-
n
n
u2
=
u3
=

. .
.

=
un-1
= u n
=
es

la

de o mació

semiuni e sal

de

X n
.
Esquema
de
la
demos ació
:

Pe
la
p oposició
3,
1'espai
an-
gen

a

S n
és

T

(X
n
) .
Es
demos a
que
la
de o mació
*
n
_
S
n
co espon

a
la
cons uida
pe
Schlessinge
a
(6),
dones,
és
o malmen
quasi-uni e sal
.
Finalmen ,
de
(3)
es
dedueix
queaanali icamen
semi-uni e sal
.
Obse aci6
7
:

Rema quem
que
la
base
S n
és
una
in e secci6
de
cons
quad á ics
.
La
se a
dimensió
és
2n-3
.
BIBLIOGRAFIA
xk iJ
-
xi
jk
=
0
(1)
I
.F
.Donin
:
.
Comple e
ami1¡es
o
de o ma ions
o
ge ms
o
complex
spaces,
Ma h
.
USSR
Sb
.,
18
(1972),
397-406
.
(2)
J
.
Fe e
y F
.Pue a
:
De o maciones
in ini esimales
del
ge men
de los
n
ejes
coo denados
de
C
n
,
Ac as
VI
Jo n
.
Hisp
.-Lusi
.
San ande
(1980),penden
de
publicació
.
(3)
A
.Galligo
e
C
.Houzel
:

Dé o ma ions
semi-uni e selles
...
As é isque
n
.7-8
(1973),139-164
.
(4)
V
.P
.Palamodo
:
De o ma ion
o
Complex
Spaces,
Russian
Ma h
.
Su eys
31
:3,
129-197
(1976)
.
(5)
M
.Schaps
:
De o ma ions
o
Cohen-Macaulay
schemes
o
codi-
mension
2
and
non-singula
de o ma ions
o spacescu es,
Am.Jou
.
o
Ma h
.,
99
(1977),
669-685
.
(6)
M
.Schlessinge
:
Func o
o
A inRings,
T ans
.
.A .M
.S
.
130
(1968),
208-222
.
(7)
G
.N
.Tu ina
:
Locally
semiuni e sal
la
de o ma ions
o
isola ed
singula i ies
o
complexspaces,Ma h.USSR
Iz
.,
3
(1970),
967-999
.