Deformació semiuniversal del germe dels n eixos coordenats de Cn

Pub . Ma . UAB N°20 Se . 1980 Ac es VII JMHL DEFORMACIO SEMIUNIVERSAL DEL GERME DELS n EIXOS COORDENATS DE Cn . Josep Fe e Llop Dp . de Ma emá iques, E .T .S .E .I .B . Uni e si a Poli écnica de Ba celona ABSTRACT Sigui X n la unió dels n eixos coo dina s Xn The semi-uni e sal de o ma ion o Xn , ge m o he union o he n coo dina e axes o C n , is p esen ed he e . Fo n>2, he ba- se is a singula ge m o dimension 2n-3, de- e mined ; by he in RIRe 1 5ion o ce ain quad a ic coces in C _ ~ ij (x)=x i x j =0 . , 1<i,j-n1C C n de  Cn ,  és  a  di : El seu ge me a 1'o igen 1'esc iu em ambé Xn . Suposa em sem- p en>2 . L'es udi de les se es de o macions e in e és degu a que és un ge me homogeni, , i que pe n g an no co espon als i pus ins a a més es udia s (in e seccions comple es, Cohen -Macaulay de codimensió 2, de e minan als, Go ens ein de codi- mensió 3, . . .) . Veieu, pe exemple, els casos pa iculá s n=3 i n=4 a (5) i (4) espec i amen . No coneixem esul a s gene- als pe n supe io . El p incipal esul a si ió 6, que explici a la de o mació qualse ol n>2 . Obse is que la base no Misa, i de codimensió ele ada . d'aques a comunicació és la p opo- semiuni e sal de X n , pe esul aésse homogánia, I .  -  Necessi a em alguns . esul a s  sob e  1'espai  T 1 (X n ),  que ep oduim de (2) . Sigui D . el pun doble de C, de ini - pe ¬ 2 =0,  i  sigui  T 1 (X n )  1'espai  ec o ial  de  les c .lasses d'iso- mo isme de les de o macions de X n in ini essimals de p ime o d e, és a di , sob e D . Veieu, pe exemple (1), (4) i (7) . Lema 1 : . El módul de elacions de { és gene a- pe les de la o ma P oposició 2 :  Pe cada¡#k, 1 ; i,k,<n, sigui T,1 el ge me a 1-'o igende la a ie a de C n xD de inida pe jh(x) = 0  si (j,h)#(i,k) Alesho es,  zkb D (p ojeccib) és u.na de o macib de X n . P oposició 3 : 1)  Les classes zk engend en 1'espai ec o ial T 1 (X n ), 2)  Les elacions de dependéncia linealson : Doncs, una base de T 1 (X n ) es á o mada pe ( k), amb lsi,kcn, kji,i+l (ciclicamen , és a di ,,si i=n, kOn,l) . Co ola i  4 :  dim  T 1 (X n )  =  n(n-2) . II.- De e minem a a la de o macib semiuni e sal de X . i  n  n n-1 Sigui u k (9k, 14i,kin) les uncions coo denades de C (  ) . Pe k#i,j, esc iu em Conside em S n , i n , ge mes a 1 amen : x k ij - xi kj =0 ik (x) -b " xk= 0 Esc iu em ambé Lk la classe en T 1 (X n ) d'eixa de o macib . z :i -1 + ¿i 11  Zñ =0  lsi<n Pij = u i u 3 i u j ui -u i u j k j k i k k k o igen de les a ie a s, espec i- pkj = P kj  ,  pe . o kOi,j ;  k'~k,i,j~ C Cn(n-1) ~x i xj 4 uj x i i u~ x j1 PkJ = 0, 1-i,jsn}c C n.S P oposició  5 :  Y n __1 n  (p ojecció)  és una de o mació de X n . Demos ació :  Pel lema 1, cal només comp o a que la elació s'ex en a la (xk - uk)(xi x j 4 . ui z i + u~ z j PkJ) + +( - xi - u~)(xj xk +  . . .  ) ui + uk)(xi xk +  . . .  ) = 0 P oposició 6 :  La es icció * n --S n de la de o mació an e io a S n = - n n u2 = u3 =  . . .  = un-1 = u n = es  la  de o mació  semiuni e sal  de  X n . Esquema de la demos ació :  Pe la p oposició 3, 1'espai an- gen  a  S n és  T  (X n ) . Es demos a que la de o mació * n _ S n co espon  a la cons uida pe Schlessinge a (6), dones, és o malmen quasi-uni e sal . Finalmen , de (3) es dedueix queaanali icamen semi-uni e sal . Obse aci6 7 :  Rema quem que la base S n és una in e secci6 de cons quad á ics . La se a dimensió és 2n-3 . BIBLIOGRAFIA xk iJ - xi jk = 0 (1) I .F .Donin : . Comple e ami1¡es o de o ma ions o ge ms o complex spaces, Ma h . USSR Sb ., 18 (1972), 397-406 . (2) J . Fe e y F .Pue a : De o maciones in ini esimales del ge men de los n ejes coo denados de C n , Ac as VI Jo n . Hisp .-Lusi . San ande (1980),penden de publicació . (3) A .Galligo e C .Houzel :  Dé o ma ions semi-uni e selles ... As é isque n .7-8 (1973),139-164 . (4) V .P .Palamodo : De o ma ion o Complex Spaces, Russian Ma h . Su eys 31 :3, 129-197 (1976) . (5) M .Schaps : De o ma ions o Cohen-Macaulay schemes o codi- mension 2 and non-singula de o ma ions o spacescu es, Am.Jou . o Ma h ., 99 (1977), 669-685 . (6) M .Schlessinge : Func o o A inRings, T ans . .A .M .S . 130 (1968), 208-222 . (7) G .N .Tu ina : Locally semiuni e sal la de o ma ions o isola ed singula i ies o complexspaces,Ma h.USSR Iz ., 3 (1970), 967-999 .