Pub
.
Ma
.
UAB
N° 20
Se
.
1980
Ac es
VII
JMHL
NUEVA
DEMOSTRACION
DE
LA
FORMULA
DE
AUSLANDER-BUCHSBAUM
Fe nando
Se ano
Ga cía
Dp o
.
de
Algeb a
y
Fundamen os
Uni e sidad
de
Ba celona
Abs ac
:
A
new
and
simple
p oo
o
a
o mula
o
Auslande -Buchsbaum
sean
A
un
anillo
local
noe he iano
,
m
su
ideal
maximal
,
k
el cue po
esidual
de A
,
M
un
A-módulo
ini ogene ado
.
Llamemos
dp
A
M
a
la
dimensión
p oyec i a
de
M y
G(M)
al
g ado
de
P4
.
Se a
a
da
una
nue a
demos ación
de
la
siguien e
P oposición
:
Si dp
AM
es
ini a
se
e i ica
dp
A
M
+
G(M)
=G(A)
(
Ve
,
po
ejemplo
,
(*)
eo ema
173
)
.
Demos ación
Es sabido
que
si
x
Em

no
di ide
a
ce o
en
M
en onces
(a)
G(
M/xM
)
=
G(M) -
1
(b)

dp
A
M/xM
=
dpA
M +
1
Sea
x1,
. .
.,XG(M)
una
M-sucesiónmaximal
.
Usando
(a)
y
(b)
ei e adamen e
se
ob iene
G(
M/(x1,
. .
.,xG(M))M
)
= 0
dp
A
(
M/(x1,
. .
.,xG(M))M
)
= dp
A
M
+
G(M)
Igualmen e
,
si
y1,
.
.
..
yG(A)
es
una
A-sucesión
maximal
esul a
G(
A/(yl
.
.
. yG(A))
)
=
0
dp
A
(
A/(y
1
. . . .
YG(A)
)

)

= G(A)
Bas a á
,
pues
,
p oba
lo
siguien e
:
si
R
y S
son dos
A-módulos
ini ogene-
ados
de
g ado
0
y
dimensión
p oyec i a
ini a en onces
dpAR =
dp
A
S
Sean
=
dpAR
,
s =
dp
A
S
.
Si
,Y
s se
puede
supone
,
po
ejemplo
,
<
s
.
Como
G(R)
= 0
,
m
es un
p imo
asociado
aR y
exis e un
monomo ismo
0
-->
k
-->
R

.
Sea
C
su
conúcleo
.
Tenso ializandopo
Sla
sucesión
exac a
0
-1
k
-i
R
-->
C
-D
0

se
ob iene
la
sucesión
exac a
To
A
(S,C)
-8
To
A
(S,k)
--->To A(S,R)
S+1

s

s
To s+1(S,C)
= 0
po que
dp
A
S =
s
.
To S(S,R)
= 0
po que
dp
AR =
<
s
.
Po
lo
an o
To
A
(S,k)
= 0
,
lo cual se
con adice
con
el
hecho
de
se
s=dp
A
S
.
la
de
se
,
pues
,
=
s
Bibliog a ía
(*)
i
.
Kaplansky
:
Commu a i e
Rings
.
Uni
.
o
Chicago
P ess
,
1974
.