Pub
.
Ma
.
UAB
N°
20
Se
.
1980
Ac es
VII
JMHL
SOBRE
ALGEBRAS
DE
NASH
Jesús
Ma Ruiz
Sancho
Dp o_
d®
Algeb a
y
Fundamen os
Uni e sidad
Complu ense
de Mad id
(32BO5
A .M.S
.
Subjec
Classi ica ion)
We
ob ain
some
esul s
(a
Nulls ellensa z,
a
specializa ion
heo em,
'á la E
.
A in')
o
Nash
algeb as
wi h
an
algeb aic
me hod
based
on
M
.
A in
heo em
(and easily
gene alizable
o
he
analy ic
case)
simpli ying,
no ably
known
p oo s
.
El
eo ema
de
los
ce os
pa a
gé menes
de
Nash
sob e
R
se
puede
ob ene
como
una
consecuencia
del
eo ema
homónimopa a
unciones
de
Nash
en un
abie -
o de
R
n
[Bochnak
;
E oymson,
1978]
;

asimismo
el
eo ema
es
álido
pa a
gé
menes
analí icos
eales
[Risle ,
1976
.
Es os
esul ados
han
sido demos ados
u ilizando
de
modo esencial
la
geome ía
de
R
n
aún
cuando
admi en
una o mu-
lación
es ic amen e
algeb aica
.
Lo
mismoocu e
con
o os
p oblemas
de
geome-
ía eal
y
en
pa icula
nos
e e imos
a
un
eo ema
de
especialización
'á la
E
.
A in'
[Risle ,
197,61
y a
la solución
del
p oblema
17 de
Hilbe
(enunciado
en
[Mos owski,
1976 pe o
no
co ec amen ep obado
has a
[Bcchnak,
1978
;
éa
se
ambién
[E oymson,
1974
aunque
las
demos aciones
de
es ano asólo
ue on
comple adas
en
[Bochnak,
E oymson,
19781)
.
Los
esul ados
mencionados
se
pueden
es ablece ambién
pa a
se ies
o -
males
(el
eo ema
de
los
ce os
y
la
solución
del
p oblema
17
de
Hilbe
se
de-
ben
a
[Me ien,
1973], el
eo ema
de
especialización
'á
la
E
.
A in'
a
Lasalle,
1975]
;
éase
además
[Robbin,
1979)
pe o en
es ecaso
las
demos a
cionesdi ie en,
pues
son
undamen almen e
de
ca ác e
algeb aico
.
En
esumen,
hay
cie os
esul adosimpo an es
que
se
e i ican
en
cual-
quie a
de
los
anillos
31
,
B
n
,
T
n
,
de
se ies
de
Nash,
analí icas
y
o males
.
pe o
cuyas
demos aciones
conocidasexigen
mé odos
dis in os
en
cada
caso
:
a aen onces
de
desc ibi
écnicas
uni icado as
que
pe mi i án
en
pa icula
la
ob ención
de
nue os esul ados
pa a
álgeb as
de
Nash
.
1
.
Conside a emos
el
caso
de
los
anillos

X
,
T
n

sob e
un
cue po
de
ca ac e-
ís ica
ce o,
eludiendo
la
adicional
es icción
a
cue pos
alo ados
com-
ple os
de
ca ac e ís ica
ce o
( éase po
ejemplo
[Lazze i,
Tognoli,
19701),
median e
la
siguien e
:
(3
.
.1)
De inición
.
Sea
k
un
cue no
de
ca ac e ís ica
ce o
.
Una
se ie
de
Nash
sob e
k
es
una
se ie
o mal
algeb aica
sob e
el
anillo
de
po-
linomios
.
En es e
con ex o
es
necesa iodemos a
el
(1
.2)
Teo ema
de
dí isi6n
de
Weie s ass
.Sea

1 6
36

egula
de
o den

p
en

x
n
.

Pa acada

G
31

exis en

Q
G
i
n
,

R
6

-1

con g a
do de
R
< p,

ales
que

=
Ql
+R
.
Es ascondiciones
de e minan
Q
y R
de
modo
único
.
Además,
si
1
es un
polinomio
dis inguido
en
xn y
si
G
9%
n-1
[x
n
] ,
Q
yR
es án
en
Xn-1
E
.J.-
(donde
las
de inicionesomi idas
son
las
usuales,
éase
po
ejemplo
[Touge on,
1972])
.
Nues a
p ueba
de
es e
esul ado
sigue écnicas
habi uales,
que sin
e_m
ba go
ha
.
.
debido
adap a se
.
.
es e
ma co,
pues
la
demos aci6n
de
T
azze
.
~
i,
Tognoli,
1970
no se
aplica,
po
ejemplo,
a
un
cue po
con
la
alo ación
i-
ial,
ni al
mismo
Q,
en
el
que
no
exis en alo es
absolu oscomple os
no
i iales
.
Disponiendo
de
(1
.2)
es
posible
ep oduci
los
a gumen os
dados
en
0
y
x
n

y
ob ene
el
(1
.3)
Teo ema
de
ap oximación
de
M
.
A in
.
Sea
k
un
cue po
de
ca ac e í_s
ica ce o
y
k<x,y>
el
anillo
de
se ies
de
Nash
en x=(xl,
.
.
.,xn),
y=(y1
. .
.,
yp
)
.

Sean

1
(x,y)_
.
., q
(x,y)
G
k<x,y>

con

1
(0,0)
=
.
.
. .
.=
q
(x,y)
=0
.
Sean

y1(x),
..
.,yp(x)
G
klIXII
una
solución
o_
mal
del
sis ema

1
(x,y)
=
...
= q
(x,y)
=0
.

y
sea
6
N
.
En on-
ces
exis en

yl(x),
.....
yV
(x)
6
X
n
,

solución
de
ese
sis ema, ales
p
que
y
i
(x)
-
yi(x)
6YP(
.
1
,
i=l,
.
.
.p,

donde
m
es
el
ideal
maximal
de
k[[?,]]
.
Es e
eo ema,
pa a
se ies
analí icas
sob e
un
cue po
alo ado
de
ca ac ee
ís ica
ce o
se
debe
a
[M
.
A in,
1968]
.
Véase
ambién
[Touge on, 19761,
donde
apa ecen- e inamien os
pa a
se ies
de
Nash
y
analí icas
sob e
R
.
200
2
.
Como
consecuencias,
ob enemos
demos aciones
b e es
y
áciles
de
:
(2
.1)
El
eo ema
de
los
ce os
pa aálgeb as
de
Nash
sob e
un
cue po
alge-
b aícamen e
ce ado
de
ca ac e ís ica
ce o
.
(2
.2)
Un
eo ema
de
especialízación
'á
la
E
.
A in' pa a
algeb as
de
Nash
sob e
un
cue po
ealmen e
ce ado
.
Además,
(2
.2)
implica
au omá ícámen e
:
(2
.3)
La
solución
del
p oblema
17
de
Hilbe
pa a
se ies
de
Nash
sob e
un
cue po
ealmen e
ce ado
.
(2
.4)
El
eo ema
de
los
ce os
pa a
álgeb as
de
Nash
sob e
un
cue po
eal-
men e
ce ado
.
Nos
.ocupa emos
aquí
sólo
de
(2
.2),
pues
se á
después
e iden e
como
p o-
ba
(2
.1)
.
-
Asimismo,
no
nos
de end emos
en
la
deducción
de
(2 .3) y (2
.4)
a
pa i
de
(2
.2),
pues
el
a gumen o
es
conocido
.
Reco demosp ime o
que
un
álgeb a
de
Nash
( esp
.
o mal)
sob e
un
cue -
po
k
es
un
álgeb a
uni a ia
A
sob e
k
;
imagenpo
un
homomo ismo
de ál
geb as
uni a ias
de
un
2
n
( esp
T
n
)
.
.
En
consecuencia
un
álgeb a
de
Nash
A
es
local,
y
su
comple ado
pa a la
opología
de K ull,
que
no a emos
A,
es un
álgeb a
o mal
.
En odo lo
que
sigue
suponemosque
k es
un
cue po
ealmen e
ce ado
.
En onces
los
anillos
M
n
y
15
n
son
o denables
.
En
pa icula ,
ijamos
en
=
k< >,
'F`
1
=
k[[ ]] el
o den
o al cuyos
elemen os
>0
son las
se ies
an
j

con

a
n,
> 0,

y
obse emos
que
la
opologíadel
o den
es
la
de
n
y
n,
K ull
.
Unicamen ep ecisamos
un
lemapa a
p oba
(2
.2)
:
(2
.5)
Lema
:
Sea

A

un
álgeb a
sob e

k,

ín eg a
y
o denada
.
Sean

1
,..
.,
elemen os
no
nulos
de
A
.
En onces
exis e
un
o den o al
en
A
al
que
1
,..
.
,

ienen
igual signo
en

A

que
en
A
.
Demos ación
:
Podemossupone
que

1,.
.
.
,

no
son
unidades
y
son

>O
.

En
p ime
lu
ga
se
cons uye
un
álgeb a
de

Nash
ín eg a
o denable

B
=)
A

de
la
o ma
B
=
A[g
1
, .
...
g
]

donde

g
1
,..
.,g

son
soluciones
de
las
ecuaciones
:
x
2-
1
= 0,
. .
.,x
2
- = 0
en
un
cue po
o denado
maximal
que
con enga
A
.
Después
se
comp ueba
que

ÁC
B
.

Pa a e mina
bas a
obse a
que
el
comple-
ado de un
álgeb a
de
Nash o denable'es
un
álgeb a
o malo denable
(es
una
consecuencia
de
(1
.3)),
y
se
elige
un
o den
o al
en
B,
cuya
es icción
a
A
esuel e
el
p oblema
.
Deducimos
de
(2
.5)
el
eo ema
de
especialización
.
El
enunciado
es
:
(2
.2)
Sea
A
un
álgeb a
de
Nash
sob e
k
ín eg a
y
o denada
.
Sea
l
,
._,
elemen os
no
nulos
de
A
.
Exis e
un
homomo ismo
de
álgeb as
uni a ias
T
:
A
+
k< >
de
modo
que T(
i
)

es

10 y
iene igual signo
en
k< >
que
i
en
,
A
(i=1,
. .
., ),
Demos ación
.
En
i ud
de
(2 .5) y
po
se
el
esul ado
cie o en
el
caso
o mal
( éa-
se
Lasalle,
1975)
exis e
un
homomo ismo
Q
:
A
-}
k[MI
al que
(
i
)
es
~0
y
iene igualsigno
en
k[[ ]]
que
i
en
A
(í=1,,
.
., )
.
Como
la opo
logia
del
o den
es la de K ull,
exis e
G
PT
al
que
cadaelemen o
de
+1
Q(
i
)
+7M

es
¢0 y
iene
igual
signo
que
Q(
i
),
donde
Ta=
.k[
Po
úl imo,
exis e
un
homomo ismo
T
:
A
,
k< >

al
que
T( )
=
o( )

(mod
+1
%

)
pa a
G A
(es
o aconsecuencia
de
(1
.3))
:
Tes la
solución
.
Te minamos
es ano a
enunciando
(2
.3)
y(2
.4)
"
(2
.3)
Sea


un
elemen o
no nulo de
%
n
.
Las
a i maciones
siguien es
son
eqüi aién é$
:
(c )
es suma de
cuad ados
en el
cue po
de
acciones
de
9Í
. .
n
(B)

Pa a
cada
homomo ismo
de
álgeb as
uni a ias
T
:
%n
-i
k< >,

es
T
( )

>_
0
.
(y)
>
0
pa a
oda elación
de
o den
o al
en
JL
.
n
(2
.4)
Sean
A
un
álgeb a
de
Nash
sob e
k,
yS% el
conjun o
de
odos
los
homomo ismo
de
álgeb as
uni a ias
de
A
en

k< >
.
Se
e i ica
I
%

ke
H
=
R~

donde

%
es el
nil adical
eal
de
A
(es o
H
8#
es,

el
ideal
de
los

x G
A

ales
que

x
2n
+
x2
+
---
+
x = 0

pa a
cie os
x
l
, .
.,,x
G
A,
n
> 1),
Es
inmedia o,
a
pa i
de
(2
.4)
ob ene
la
o mulación
habi ual
del
eo ema
de
los
ce os
pa a
1R
( éase [Touge on,1972])
.
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Su
le
héo eme
des
zé os
dí é en iable
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Singula í és
d'Applica ions
Di é en iables
(1975)
.
Lec
.
No es,535
.
Sp inge
.
[Lazze i,
F
. ;
Togpoli,
A
.,
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:
Alcune
p op ie á
degli
spazi
algeb aii
.
Ann
.
Sc
.
No m
.
Sup
.
D
i
Pisa
24,
(1970)
p
.
597-632
.
[Me ien,J
.,1973]
:
Un
héo eme
des
zé os
pou
les
idéaux
de
se ies o melles
a
coe icien s
éels
.
C .R
.
Acad
.
Sc
.
Pa ís
.
.
27
6
(1973)
se ie
A p
.
1055-1059
.
[Mos owski,
.T
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1976
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Some
p ope ies
o
he
ing o
Nash
unc ions
.
Ann
.
Sc
.
No m
.
Sup
.
d
i
Pisa
III

2
(1976)
.
p
243-266
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[Risle ,
J .J
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1976
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Le
héo eme
des
zé os
en
géome ies
algeb ique
e
ana-
ly ique
éelles
.
Bull
.
Soc
.
Ma h
.
F ance,
104
(1976),
p
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113-127
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[Robbin,
J .W
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1979
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E alua ion
ields
o
powe
se ies
II
.
The
Reelnulls-
ellensa z
.
J
.
o
Algeb a,
57 (1979)
p
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211-222
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[Touge on,
J.C
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1972
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Idéaux
de
onc íons
di é en iables
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E gebnisse
de
Ma hema ik
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Band
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sis eme
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Ins
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Fou ie ,
G enoble
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