Sobre álgebras de Nash

Pub . Ma . UAB N° 20 Se . 1980 Ac es VII JMHL SOBRE ALGEBRAS DE NASH Jesús Ma Ruiz Sancho Dp o_ d® Algeb a y Fundamen os Uni e sidad Complu ense de Mad id (32BO5 A .M.S . Subjec Classi ica ion) We ob ain some esul s (a Nulls ellensa z, a specializa ion heo em, 'á la E . A in') o Nash algeb as wi h an algeb aic me hod based on M . A in heo em (and easily gene alizable o he analy ic case) simpli ying, no ably known p oo s . El eo ema de los ce os pa a gé menes de Nash sob e R se puede ob ene como una consecuencia del eo ema homónimopa a unciones de Nash en un abie - o de R n [Bochnak ; E oymson, 1978] ;  asimismo el eo ema es álido pa a gé menes analí icos eales [Risle , 1976 . Es os esul ados han sido demos ados u ilizando de modo esencial la geome ía de R n aún cuando admi en una o mu- lación es ic amen e algeb aica . Lo mismoocu e con o os p oblemas de geome- ía eal y en pa icula nos e e imos a un eo ema de especialización 'á la E . A in' [Risle , 197,61 y a la solución del p oblema 17 de Hilbe (enunciado en [Mos owski, 1976 pe o no co ec amen ep obado has a [Bcchnak, 1978 ; éa se ambién [E oymson, 1974 aunque las demos aciones de es ano asólo ue on comple adas en [Bochnak, E oymson, 19781) . Los esul ados mencionados se pueden es ablece ambién pa a se ies o - males (el eo ema de los ce os y la solución del p oblema 17 de Hilbe se de- ben a [Me ien, 1973], el eo ema de especialización 'á la E . A in' a Lasalle, 1975] ; éase además [Robbin, 1979) pe o en es ecaso las demos a cionesdi ie en, pues son undamen almen e de ca ác e algeb aico . En esumen, hay cie os esul adosimpo an es que se e i ican en cual- quie a de los anillos 31 , B n , T n , de se ies de Nash, analí icas y o males . pe o cuyas demos aciones conocidasexigen mé odos dis in os en cada caso : a aen onces de desc ibi écnicas uni icado as que pe mi i án en pa icula la ob ención de nue os esul ados pa a álgeb as de Nash . 1 . Conside a emos el caso de los anillos  X , T n  sob e un cue po de ca ac e- ís ica ce o, eludiendo la adicional es icción a cue pos alo ados com- ple os de ca ac e ís ica ce o ( éase po ejemplo [Lazze i, Tognoli, 19701), median e la siguien e : (3 . .1) De inición . Sea k un cue no de ca ac e ís ica ce o . Una se ie de Nash sob e k es una se ie o mal algeb aica sob e el anillo de po- linomios . En es e con ex o es necesa iodemos a el (1 .2) Teo ema de dí isi6n de Weie s ass .Sea  1 6 36  egula de o den  p en  x n .  Pa acada  G 31  exis en  Q G i n ,  R 6  -1  con g a do de R < p,  ales que  = Ql +R . Es ascondiciones de e minan Q y R de modo único . Además, si 1 es un polinomio dis inguido en xn y si G 9% n-1 [x n ] , Q yR es án en Xn-1 E .J.- (donde las de inicionesomi idas son las usuales, éase po ejemplo [Touge on, 1972]) . Nues a p ueba de es e esul ado sigue écnicas habi uales, que sin e_m ba go ha . . debido adap a se . . es e ma co, pues la demos aci6n de T azze . ~ i, Tognoli, 1970 no se aplica, po ejemplo, a un cue po con la alo ación i- ial, ni al mismo Q, en el que no exis en alo es absolu oscomple os no i iales . Disponiendo de (1 .2) es posible ep oduci los a gumen os dados en 0 y x n  y ob ene el (1 .3) Teo ema de ap oximación de M . A in . Sea k un cue po de ca ac e í_s ica ce o y k<x,y> el anillo de se ies de Nash en x=(xl, . . .,xn), y=(y1 . . ., yp ) .  Sean  1 (x,y)_ . ., q (x,y) G k<x,y>  con  1 (0,0) = . . . . .= q (x,y) =0 . Sean  y1(x), .. .,yp(x) G klIXII una solución o_ mal del sis ema  1 (x,y) = ... = q (x,y) =0 .  y sea 6 N . En on- ces exis en  yl(x), ..... yV (x) 6 X n ,  solución de ese sis ema, ales p que y i (x) - yi(x) 6YP( . 1 , i=l, . . .p,  donde m es el ideal maximal de k[[?,]] . Es e eo ema, pa a se ies analí icas sob e un cue po alo ado de ca ac ee ís ica ce o se debe a [M . A in, 1968] . Véase ambién [Touge on, 19761, donde apa ecen- e inamien os pa a se ies de Nash y analí icas sob e R . 200 2 . Como consecuencias, ob enemos demos aciones b e es y áciles de : (2 .1) El eo ema de los ce os pa aálgeb as de Nash sob e un cue po alge- b aícamen e ce ado de ca ac e ís ica ce o . (2 .2) Un eo ema de especialízación 'á la E . A in' pa a algeb as de Nash sob e un cue po ealmen e ce ado . Además, (2 .2) implica au omá ícámen e : (2 .3) La solución del p oblema 17 de Hilbe pa a se ies de Nash sob e un cue po ealmen e ce ado . (2 .4) El eo ema de los ce os pa a álgeb as de Nash sob e un cue po eal- men e ce ado . Nos .ocupa emos aquí sólo de (2 .2), pues se á después e iden e como p o- ba (2 .1) . - Asimismo, no nos de end emos en la deducción de (2 .3) y (2 .4) a pa i de (2 .2), pues el a gumen o es conocido . Reco demosp ime o que un álgeb a de Nash ( esp . o mal) sob e un cue - po k es un álgeb a uni a ia A sob e k ; imagenpo un homomo ismo de ál geb as uni a ias de un 2 n ( esp T n ) . . En consecuencia un álgeb a de Nash A es local, y su comple ado pa a la opología de K ull, que no a emos A, es un álgeb a o mal . En odo lo que sigue suponemosque k es un cue po ealmen e ce ado . En onces los anillos M n y 15 n son o denables . En pa icula , ijamos en = k< >, 'F` 1 = k[[ ]] el o den o al cuyos elemen os >0 son las se ies an j  con  a n, > 0,  y obse emos que la opologíadel o den es la de n y n, K ull . Unicamen ep ecisamos un lemapa a p oba (2 .2) : (2 .5) Lema : Sea  A  un álgeb a sob e  k,  ín eg a y o denada . Sean  1 ,.. ., elemen os no nulos de A . En onces exis e un o den o al en A al que 1 ,.. . ,  ienen igual signo en  A  que en A . Demos ación : Podemossupone que  1,. . . ,  no son unidades y son  >O .  En p ime lu ga se cons uye un álgeb a de  Nash ín eg a o denable  B =) A  de la o ma B = A[g 1 , . ... g ]  donde  g 1 ,.. .,g  son soluciones de las ecuaciones : x 2- 1 = 0, . . .,x 2 - = 0 en un cue po o denado maximal que con enga A . Después se comp ueba que  ÁC B .  Pa a e mina bas a obse a que el comple- ado de un álgeb a de Nash o denable'es un álgeb a o malo denable (es una consecuencia de (1 .3)), y se elige un o den o al en B, cuya es icción a A esuel e el p oblema . Deducimos de (2 .5) el eo ema de especialización . El enunciado es : (2 .2) Sea A un álgeb a de Nash sob e k ín eg a y o denada . Sea l , ._, elemen os no nulos de A . Exis e un homomo ismo de álgeb as uni a ias T : A + k< > de modo que T( i )  es  10 y iene igual signo en k< > que i en , A (i=1, . . ., ), Demos ación . En i ud de (2 .5) y po se el esul ado cie o en el caso o mal ( éa- se Lasalle, 1975) exis e un homomo ismo Q : A -} k[MI al que ( i ) es ~0 y iene igualsigno en k[[ ]] que i en A (í=1,, . ., ) . Como la opo logia del o den es la de K ull, exis e G PT al que cadaelemen o de +1 Q( i ) +7M  es ¢0 y iene igual signo que Q( i ), donde Ta= .k[ Po úl imo, exis e un homomo ismo T : A , k< >  al que T( ) = o( )  (mod +1 %  ) pa a G A (es o aconsecuencia de (1 .3)) : Tes la solución . Te minamos es ano a enunciando (2 .3) y(2 .4) " (2 .3) Sea   un elemen o no nulo de % n . Las a i maciones siguien es son eqüi aién é$ : (c ) es suma de cuad ados en el cue po de acciones de 9Í . . n (B)  Pa a cada homomo ismo de álgeb as uni a ias T : %n -i k< >,  es T ( )  >_ 0 . (y) > 0 pa a oda elación de o den o al en JL . n (2 .4) Sean A un álgeb a de Nash sob e k, yS% el conjun o de odos los homomo ismo de álgeb as uni a ias de A en  k< > . Se e i ica I %  ke H = R~  donde  % es el nil adical eal de A (es o H 8# es,  el ideal de los  x G A  ales que  x 2n + x2 + --- + x = 0  pa a cie os x l , . .,,x G A, n > 1), Es inmedia o, a pa i de (2 .4) ob ene la o mulación habi ual del eo ema de los ce os pa a 1R ( éase [Touge on,1972]) . REFERENCIAS [A in, 1968 : On solu ions o analy ic equa ions . In en . Ma h ., Be lin .5 (1968) p . 277-291 . [Bochnak, J . 1978 :  Su le 17 eme p obleme de Hilbe pou les onc ions de Nash . P oc . A .M .S . 71, 2 (1978) . [Bochnak, J . ; E oymson, G . ; 1978 : Real algeb aic geome y and he 17 h HFilbe p oblem . Uni . o New Mexico . Dep . o Ma h . and S a is- ics . (1978) . [E oymson, G ., 1974 : A Nulls ellensa z o Nash ings . Pac . J . Ma h . 84 (1974), p . 101-112 . Lasalle, G ., 1975 : Su le héo eme des zé os dí é en iable . Singula í és d'Applica ions Di é en iables (1975) . Lec . No es,535 . Sp inge . [Lazze i, F . ; Togpoli, A ., 1970 : Alcune p op ie á degli spazi algeb aii . Ann . 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