Pub
.
Ma
.
UAB
N° 20
Se
.
1980
Ac es
VII
JMHL
SOBRE
PRODUCTOS
TENSORIALES
DE
ANILLOS
REGULARES
Pe e
Menal
Secció
de
Ma emá iques
Uni e si a
Au ónoma
de
Ba celona
Abs ac
.-
Le
K
be
a
commu a i e
ield
and
R,S
be
K-algeb as
.
In
his
alkwe o e some
esul s
ela edwi h
he
ollowing
ques ion
:
Wha
can
be
said
abou
R
and
S
i
we assume
ha
R
0
K
S
is
a
egula
(Von
Neumann)
ing?
.
In
pa icula
we ob ain
ha
i
R
®
K
S
is
a
egula
ing hen
ei he
R
o
S is
algeb aic
o e
K,
hus
answe ing
a
ques ion
o
John
Law ence
.
De ailed
p oo s
o
some
esul s
gi en
he e will
appea
in
Communica ions
in
Algeb a
(1981)
.
Supond emos
que
odos
los
anillos
son
asocia i os
y poseen
unidad
.
Sea
K
un
dominio
de in eg idad
y
sean
R
y S
K-álgeb as
(es
deci ,
anillos
con
un
homomo ismo
de
K
en
el
cen o
del
ál
geb a)
.
Un elemen o
e
R
di emos
que
el
algeb aico
(
ascenden e
)
sob e
K
si el
homomo osmo
de
K-álgeb as
K[ ]
-
R,
K[ ] es el
anillo
de
polinomios,
de inido
po

no es
inyec i o
(inyec-
i o)
.
Di emos
que
R
es
algeb aico
sob e
K
si cadaelemen o
de
R
es
algeb aico
sob e
K
.
Nó ese
que
si
R
posee
elemen os
ascen-
den es
sob e
K
en onces
K
es de
hecho
un
subanillo
de
R
.
Empeza é
con
un
esul ado
de
ipo
écnico
que
se á
de u i-
lidad
en
lo
que
sigue,
debido
a
su
sencillez
oy
a
inclui
una
demos ación
.
Teo ema
1
.
Sean
R y S
K-algeb as
que
con ienen
a
K
.
Supon
-
gamos
que
a
eS
es
ascenden e
sob e
K
.
Si el
elemen o
sob e
K
.
x=1

®
1

+

1
®
a

+

. .
.

+

n
®
an

( i

e

R)
de
R
®
KS
es
alque
x(R
0)
K
S)
con ieneun
elemen o
de
la
o ma
1
OD
p(a),
donde
p(a)
es
un
polinomio
no
nulode
K[a],
en onces
(a)
exis e
un
polinomioq
e
K[ l,
.
.
.,
n
] al
que
q( i,
. .
., n)

31

0

y

n
q(
l
, . .
. .
n
)

e

K,
(b)
si
é
R
_
i e
K[ ]
con
n
g~
K,
en onces
.
es
algeb aico
.
Demos ación
:

(a)
E iden emen e
podemos
supone
que
n
3-0
.
Deno emosmedian e
K(a) el
cue po
de
cocien es
de
K[a]
.
Aho a
podemos
o ma
el
R
0
KK
[
a]

-módulo
(po 'la
izquie da)
R
00
K
(K
(a)
0K
K[a]S)
de la
mane a
ob ia
.
Dado
que
K(a)
0
K
[
a]
S
es
K(a)-lib e
(y
na u almen e
1
0
1
»
o ma
pa e
de
una
base)
e-
mosque
R
®
K
K(a)

es un
sumandodi ec o
de
R
®
K
(K(a)

®
K
[al
S)
como
R
0
K
K(a)-módulo
.
Teniendo
en
cuen a
la
aplicación
R
®
K
K[
a]
-lineal
:
R
®
KS
->
R
®
K
(K(a)
0
K
[
a] S)
ob enemos
ácil-
men e
que

1
®
p
(a)

e

x
(R
®
K
(a»
.

De
ahíque
en
R[ a]

91
R
®
K
[
a]
se
ob iene
una
elación
de la
o ma
co
+ c1
a
+
. .
.
+
c
a
c =
(1
+
1
a +
. . .
+
nan
)(S
o +
. .
.4s
m
a
m
)
donde
c
i
e
K, i e
R
y
s
m
7É
0
.
Se
sigue
inmedia amen e
de es a
elación
que
cada
s
i
pe enece
a
.K[ i,
. .
., n],
en
pa icula
s
m
=
q(
l
,

,
n
)

y
así
nq( l,
.
...
n
)

e

K
.
(b)
Sigue
inmedia amen e
del
apa ado
(a)
.
Como
consecuencia
del
Teo ema
1
ob enemos
una
demos ación
ex emadamen e
simple
de
un
esul ado
de
Law ence
[2,
Theo em
4]
pa a
álgeb as
sob e
cue pos
.
La
demos ación
de Law ence
se
basa
en eo ía
de
ex ensión
de
alo aciones
y
" alua ion
modules"
.
Co ola io
2
.
(Law ence)
.
Supongamos
que
R y
S
son
ascen
-
den essob e
K
.
,
Si
x
e
R,
Y
e
S
son
ascenden es
sob e
K,
en on
-
ces
el
elemen o
1
®
1

al (x
®
y)

. .
. a
n
(x
®
y)
n
iene
un
in e so
po
la
de echa
en
R
®
K
S
si
y
solo
si
a1
=a
2
. . .
=
a =
0
.
n
Demos ación
:
Sigue
inmedia amen e
de
Teo ema
1(a)
.
O o
co ola io
de
in e és
es el siguien e
:
(ai

s

K)
Co ola ió
3
.
Sean
R, S
K-álgeb as
de
mane a
que
comoK-ál-
geb as
K( )c-
S
.
Supongamos
que
cada
elemen o
que
no
es
di iso
de
ce o,
po
la
de echa,
en
R
®
K
S
posee
un in e so
po
la
de e
-
cha
.
En oncesR
es
algeb
aico
sob e
K
.
Demos ación
:
Podemos
iden i ica
K( )
con
el
co espon-
dien esubcue po
de
S
.
Ya
que
S
es
KM-lib e
po
la
de echa
emos
que
R
CD
K
S
es
R
®
K
KM-lib e
.

Sea
e
R,
en oncesel-ele
men o
l
®
1
.
i
®
es
egula
en
R
0
K
K( )

y
en
consecuencia
es
egula
po
la
izquie da
en
R
®
K S,
po
an oposee
un
in e -
so
po
la
de echa
.
Se
sigue
del
Co ola io
2
que
es algeb aico
sob e
K
.
Sea
.
L
un
cue poy
sea
L
G
un
álgeb a
de g upo
( wis ed)
de inida
po
un
2-cociclo
:G
xG -
L {0}
.
Tenemos
Co ola io
4
.
Si
L
G
es
al
que
L
no es
algeb aicosob e
el
subcue pó
del
cociclo
(
que
es el
subcue po
gene ado
po
(G
x
G))
en onces
K
G
es
algeb aico
sob e
K p o is o
que
cada
elemen o
de
L
G
egul
a
po
la
izquie da
posea
un in e so
po
la
de echa
.
Demos ación
:
Se
sigue
del
Co ola io
3
y
del
hecho
que
L G=L
®K
K G
.
Lema
5
.
Sea
L
un
dominio
de
in eg idad
que
es además
K-ál-
geb a
y
sea
M
un L-
módulo
.
Pa a
cada
elemen o
egul
a
_po
la
iz-
quie da
x
de
la
L-
álgeb a
L
®
K
S,
el
anulado
po
la
izquie da
de
x
en el
L
©
K
S-
módulo
po
la
.de echa
M
®
K
S
es un L-
modulo
de o sión
(
de
hecho
To ,

(M,

(L
®K
S)/(L
CK
S)x))
.
Aho a
podemos
enuncia
y p oba
el
esul ado
más
impo an-
e de
es a
comunicación
:
Teo ema
6
._Si
R
®
K
S
es
alque
pa a
cadaelemen o
x
exis-
e un
en e o
posi i o
n
alque
xn
(R
®
K
S)

es el
anulado
po
la
de echa
de un
subconjun o
ini ode
R
®
K
S,
en onces
o
bien
R
o
bien
S
es
alg
eb aico
sob e
K
.
D2m S aCióii
:
P ocede nos
po
educci ü
al
absu do
.
Jean,
pues,
o
e
R, s
o
e S
ascenden es
sob e
K
.
Conside emos
el
ele-
men o
xo =
1
«)
1

-F
.
o
Os
o
en
R
®
yS
.

Po
hipó esis
exis eun
en e o
posi i on
al
que
xn(P
®K
S)
es el
anulado
po
la
de e-
cha
de un
subconjun o
ini o,
C,
de
R
®
K
S
.
Conside emos
el
sub-
anillo
L
=
K[
o
]

de
R
.
En
el
isomo ismo
L
®K
S
~
5
S[ ]

de
L-ál-
geb as,
xo
se
co esponde
con
1
s
o
y
po
an o
xn
es
egula
en
L
®
K
S,
po
el
Lema
5
el
anulado
po
la
izquie da
de xó en
R
-
0
K
S
es un
K[
o]-modulo
(po la
de echa)
de
o sión
que
con ie-
ne
áC
.
Dado
que
C
es
ini oy
K[
o
]
es un
dominio
de in eg idad,
exis e
un
polinomio
no
nulo
p(
o
)
al
que
Cp(
o
)
=
0
.
Es
deci ,
1
®p(
o
)

ex
n
(R
®
K
S)

y
a
o io i
1
®
p(
o
)

e
®
o (R
®
K
S)
.

Pe o
es aúl ima elación
con adice,
eniendo
en
cuen aTeo ema
1(b),

el
hecho
que
ambos
o
y
s
o
sean
ascenden es
sob e
K
.
Los
anillos
que
apa ecen
en
el
Teo ema
6
son
anillos
que
sa is acen
la
siguien ep opiedad
U
:
exis e
un
en e o
n>1
al
"Pa a
cada
x
e
R
anulado
po
la
de echade
un
subconjun o
En
la
na u aleza
la
p opiedad
.
Veamos
algunos
que
son
impo an es
;
sa is acen
1
.
Anillos
sen ido
de
men e
:
pa a
cada
a
e
uacidn
es
ácil
e
echa
es
(1-ba)R
.
En
ce a
la
p opiedad
J
.
(es
deci
anillos
en
b
e
R
ales
que
a
a
=
ce a
la
p opiedad
2
.
Anillos
au o-i
nyec i os
exis en
muchos
ejemplosde anillos
que
egu
la es
.
Un
anillo
R
se
dice
que
es
egula
(en
el
Von
Neumann)
si
cada
R-módulo
es
R
exis e
b
e
R
al
que
que
pa acada
ae
R
su
pa icula
los
anillos
Más
gene almen e,
los
los
que
pa a
cada
a
a
a
ba
n
)
son
ejemplos
de
que
xnR
es
el
ini ode
R"
.
plano
oequi alen e-
a
=
aba
.
En es a
si-
anulado
po
la
de-
egula es
sa is a
anillos
7- egula es
e
R exis en
n
>
1
y
anillos
que
sa is a-
po
la
izquie da
que
son
cohe en es
.
Es
bien
conocido
que
en
un
anillo
au o-inyec i opo
la
izquie da
odo
ideal
po
la
de echa
ini amen e
gene ado
es un
anulado
y, si
suponemos
que
R
es
cohe en e
po
la
izquie da,
R sa is ace
la
p opiedad
~
.
3
.
IF-anillos
.
Un anillo
R
se
dice
que
es un
IF-anillo
(po la
de echa)
sí
odomódulo
(po
la
de echa)
inyec i o
es
plano
.
Los
IF-anillos
apa ecen
de
mane a
na u al
al
conside a
ex en-
siones
de
K-álgeb as
egula esinducidas
po
ex ensiones
alge-
b aicas
del
cue po
K
.
El
esul ado
siguien e
es,
po
cuan o
hemos
dicho,
consecuencia
del
Teo ema
6
y
da
una
espues a
a i ma i a
p egun a
de
John
Law ence
[1,
P oblem
43]
:
una
a
una

Co ola io
7
.
Si
R y
S
son
K-álgeb as
ascenden es
en on
-
ces
R
«
KS
no es
un anillo
egula
.
Nó ese
que
un
anillo
que
sa is ace
la
p opiedad
9
cumple
que
odo
elemen o
es
o
bienun
di iso
de
ce o
po
la
de echa
o
posee
un in e so
po
la
de echa
.
Se ia
in e esen e
conoce
la
espues a
a
la
p egun a
si
guíen e
:
P egun a
.
I
:
Supongamos
que
R
_y
S
son
K-
álgeb as
ales
que
cadaelemen o
de
R
®
K
S
es
ó
bien
un
di iso
de
ce o
po
la
de
-
echa
o
bien
osee
.un
in e so
po
la
de echa
.
Se
puede
conclui
que
o

bien
Ro
bien
S
es
algeb aico
sob e
K?
.
Obse emos
que
en
las
hipó esis
de
la
p egun a
I
podemos
conclui ,
u ilizando
el
co ola io
3,
que
si
R
es
ascenden e
sob e
K en onces
odo
subcue po
de
S
que
con iene
al
cue po
K
es
algeb aico
sob e
K
.
Una
K-álgeb a
R
se
dice
que
es localmen e
ini a
si
cada
subconjun o
ini ode
R
se
puede
inclui
en
una
subálgeb a
de
R
de
dimensión
ini a
.
Es
cla o
que
si
R
es un
anillo
conmu a i o
y
algeb aico
sob e
K
en onces
R
es
una
K-álgeb a
localmen e
i-
ni a,
si
es e
esul ado
siguesiendo álidopa acue posno con-
mu a i os
cons i uye
una
p egun a
abie a
muy
amosa
.
En
ela-
ción
con
es o
pa ecena u al
p egun a
:

.
P egun a
II
:
Si
R
®K,S
es
un
anillo egula
es
R
oS
una
K-
.álgeb a
localmen e ini a?
.
Finalmen e
oy
a
ci a
(sin
p ueba)
un
esul ado
quede-
mues a
la
es icción
que
supone
el
hecho
que
el
p oduc o
en-
so ialde
dos
álgeb as
sea
un
anilloau o-inyec i o
:
Teo ema
8
[3,
Theo em
2
.2,
P oposi ion
2
.3],
Supongamos
que
R0
KS
sea
un
anillo
au o-inyec i o
(
po
la
izquie da
)
y
que
S
sea
ascenden e
sob e
K
.
En oncesR
es
a
lgeb aico
sob e
K
Y
R/J(R)
ieneíndicede
nilpo encia
aco ado
;
si
además
K
es
-
in i-
ni oen onces
R/J(R)
es
a iniano
(
donde
J(R)
deno a
el
adica
l
de Jacobson
de
R)
.
Re e encias
1
.
K
.R
.
Goodea l,
Von
Neu
mann
egula
ings
(Pi man,
London,
San
F ancisco,
Melbou ne,
1979)
.
2
.
J
.
Law ence,Semiloc
al
g oup
ings
and
enso
p oduc
s,
Mich
.
Ma h
.
J
.
22(1975)
;
309-313
.
3
.
P
.
Menal,
On
enso p oduc s
o
algeb as
being
Von
Neumann
egula
o
sel -injec i e
,
Comm
.i
n
Algeb a
(1981)
.