Sobre productos tensoriales de anillos regulares

Pub . Ma . UAB N° 20 Se . 1980 Ac es VII JMHL SOBRE PRODUCTOS TENSORIALES DE ANILLOS REGULARES Pe e Menal Secció de Ma emá iques Uni e si a Au ónoma de Ba celona Abs ac .- Le K be a commu a i e ield and R,S be K-algeb as . In his alkwe o e some esul s ela edwi h he ollowing ques ion : Wha can be said abou R and S i we assume ha R 0 K S is a egula (Von Neumann) ing? . In pa icula we ob ain ha i R ® K S is a egula ing hen ei he R o S is algeb aic o e K, hus answe ing a ques ion o John Law ence . De ailed p oo s o some esul s gi en he e will appea in Communica ions in Algeb a (1981) . Supond emos que odos los anillos son asocia i os y poseen unidad . Sea K un dominio de in eg idad y sean R y S K-álgeb as (es deci , anillos con un homomo ismo de K en el cen o del ál geb a) . Un elemen o e R di emos que el algeb aico ( ascenden e ) sob e K si el homomo osmo de K-álgeb as K[ ] - R, K[ ] es el anillo de polinomios, de inido po  no es inyec i o (inyec- i o) . Di emos que R es algeb aico sob e K si cadaelemen o de R es algeb aico sob e K . Nó ese que si R posee elemen os ascen- den es sob e K en onces K es de hecho un subanillo de R . Empeza é con un esul ado de ipo écnico que se á de u i- lidad en lo que sigue, debido a su sencillez oy a inclui una demos ación . Teo ema 1 . Sean R y S K-algeb as que con ienen a K . Supon - gamos que a eS es ascenden e sob e K . Si el elemen o sob e K . x=1  ® 1  +  1 ® a  +  . . .  +  n ® an  ( i  e  R) de R ® KS es alque x(R 0) K S) con ieneun elemen o de la o ma 1 OD p(a), donde p(a) es un polinomio no nulode K[a], en onces (a) exis e un polinomioq e K[ l, . . ., n ] al que q( i, . . ., n)  31  0  y  n q( l , . . . . n )  e  K, (b) si é R _ i e K[ ] con n g~ K, en onces . es algeb aico . Demos ación :  (a) E iden emen e podemos supone que n 3-0 . Deno emosmedian e K(a) el cue po de cocien es de K[a] . Aho a podemos o ma el R 0 KK [ a]  -módulo (po 'la izquie da) R 00 K (K (a) 0K K[a]S) de la mane a ob ia . Dado que K(a) 0 K [ a] S es K(a)-lib e (y na u almen e 1 0 1 » o ma pa e de una base) e- mosque R ® K K(a)  es un sumandodi ec o de R ® K (K(a)  ® K [al S) como R 0 K K(a)-módulo . Teniendo en cuen a la aplicación R ® K K[ a] -lineal : R ® KS -> R ® K (K(a) 0 K [ a] S) ob enemos ácil- men e que  1 ® p (a)  e  x (R ® K (a» .  De ahíque en R[ a]  91 R ® K [ a] se ob iene una elación de la o ma co + c1 a + . . . + c a c = (1 + 1 a + . . . + nan )(S o + . . .4s m a m ) donde c i e K, i e R y s m 7É 0 . Se sigue inmedia amen e de es a elación que cada s i pe enece a .K[ i, . . ., n], en pa icula s m = q( l ,  , n )  y así nq( l, . ... n )  e  K . (b) Sigue inmedia amen e del apa ado (a) . Como consecuencia del Teo ema 1 ob enemos una demos ación ex emadamen e simple de un esul ado de Law ence [2, Theo em 4] pa a álgeb as sob e cue pos . La demos ación de Law ence se basa en eo ía de ex ensión de alo aciones y " alua ion modules" . Co ola io 2 . (Law ence) . Supongamos que R y S son ascen - den essob e K . , Si x e R, Y e S son ascenden es sob e K, en on - ces el elemen o 1 ® 1  al (x ® y)  . . . a n (x ® y) n iene un in e so po la de echa en R ® K S si y solo si a1 =a 2 . . . = a = 0 . n Demos ación : Sigue inmedia amen e de Teo ema 1(a) . O o co ola io de in e és es el siguien e : (ai  s  K) Co ola ió 3 . Sean R, S K-álgeb as de mane a que comoK-ál- geb as K( )c- S . Supongamos que cada elemen o que no es di iso de ce o, po la de echa, en R ® K S posee un in e so po la de e - cha . En oncesR es algeb aico sob e K . Demos ación : Podemos iden i ica K( ) con el co espon- dien esubcue po de S . Ya que S es KM-lib e po la de echa emos que R CD K S es R ® K KM-lib e .  Sea e R, en oncesel-ele men o l ® 1 . i ® es egula en R 0 K K( )  y en consecuencia es egula po la izquie da en R ® K S, po an oposee un in e - so po la de echa . Se sigue del Co ola io 2 que es algeb aico sob e K . Sea . L un cue poy sea L G un álgeb a de g upo ( wis ed) de inida po un 2-cociclo :G xG - L {0} . Tenemos Co ola io 4 . Si L G es al que L no es algeb aicosob e el subcue pó del cociclo ( que es el subcue po gene ado po (G x G)) en onces K G es algeb aico sob e K p o is o que cada elemen o de L G egul a po la izquie da posea un in e so po la de echa . Demos ación : Se sigue del Co ola io 3 y del hecho que L G=L ®K K G . Lema 5 . Sea L un dominio de in eg idad que es además K-ál- geb a y sea M un L- módulo . Pa a cada elemen o egul a _po la iz- quie da x de la L- álgeb a L ® K S, el anulado po la izquie da de x en el L © K S- módulo po la .de echa M ® K S es un L- modulo de o sión ( de hecho To ,  (M,  (L ®K S)/(L CK S)x)) . Aho a podemos enuncia y p oba el esul ado más impo an- e de es a comunicación : Teo ema 6 ._Si R ® K S es alque pa a cadaelemen o x exis- e un en e o posi i o n alque xn (R ® K S)  es el anulado po la de echa de un subconjun o ini ode R ® K S, en onces o bien R o bien S es alg eb aico sob e K . D2m S aCióii : P ocede nos po educci ü al absu do . Jean, pues, o e R, s o e S ascenden es sob e K . Conside emos el ele- men o xo = 1 «) 1  -F . o Os o en R ® yS .  Po hipó esis exis eun en e o posi i on al que xn(P ®K S) es el anulado po la de e- cha de un subconjun o ini o, C, de R ® K S . Conside emos el sub- anillo L = K[ o ]  de R . En el isomo ismo L ®K S ~ 5 S[ ]  de L-ál- geb as, xo se co esponde con 1 s o y po an o xn es egula en L ® K S, po el Lema 5 el anulado po la izquie da de xó en R - 0 K S es un K[ o]-modulo (po la de echa) de o sión que con ie- ne áC . Dado que C es ini oy K[ o ] es un dominio de in eg idad, exis e un polinomio no nulo p( o ) al que Cp( o ) = 0 . Es deci , 1 ®p( o )  ex n (R ® K S)  y a o io i 1 ® p( o )  e ® o (R ® K S) .  Pe o es aúl ima elación con adice, eniendo en cuen aTeo ema 1(b),  el hecho que ambos o y s o sean ascenden es sob e K . Los anillos que apa ecen en el Teo ema 6 son anillos que sa is acen la siguien ep opiedad U : exis e un en e o n>1 al "Pa a cada x e R anulado po la de echade un subconjun o En la na u aleza la p opiedad . Veamos algunos que son impo an es ; sa is acen 1 . Anillos sen ido de men e : pa a cada a e uacidn es ácil e echa es (1-ba)R . En ce a la p opiedad J . (es deci anillos en b e R ales que a a = ce a la p opiedad 2 . Anillos au o-i nyec i os exis en muchos ejemplosde anillos que egu la es . Un anillo R se dice que es egula (en el Von Neumann) si cada R-módulo es R exis e b e R al que que pa acada ae R su pa icula los anillos Más gene almen e, los los que pa a cada a a a ba n ) son ejemplos de que xnR es el ini ode R" . plano oequi alen e- a = aba . En es a si- anulado po la de- egula es sa is a anillos 7- egula es e R exis en n > 1 y anillos que sa is a- po la izquie da que son cohe en es . Es bien conocido que en un anillo au o-inyec i opo la izquie da odo ideal po la de echa ini amen e gene ado es un anulado y, si suponemos que R es cohe en e po la izquie da, R sa is ace la p opiedad ~ . 3 . IF-anillos . Un anillo R se dice que es un IF-anillo (po la de echa) sí odomódulo (po la de echa) inyec i o es plano . Los IF-anillos apa ecen de mane a na u al al conside a ex en- siones de K-álgeb as egula esinducidas po ex ensiones alge- b aicas del cue po K . El esul ado siguien e es, po cuan o hemos dicho, consecuencia del Teo ema 6 y da una espues a a i ma i a p egun a de John Law ence [1, P oblem 43] : una a una Co ola io 7 . Si R y S son K-álgeb as ascenden es en on - ces R « KS no es un anillo egula . Nó ese que un anillo que sa is ace la p opiedad 9 cumple que odo elemen o es o bienun di iso de ce o po la de echa o posee un in e so po la de echa . Se ia in e esen e conoce la espues a a la p egun a si guíen e : P egun a . I : Supongamos que R _y S son K- álgeb as ales que cadaelemen o de R ® K S es ó bien un di iso de ce o po la de - echa o bien osee .un in e so po la de echa . Se puede conclui que o  bien Ro bien S es algeb aico sob e K? . Obse emos que en las hipó esis de la p egun a I podemos conclui , u ilizando el co ola io 3, que si R es ascenden e sob e K en onces odo subcue po de S que con iene al cue po K es algeb aico sob e K . Una K-álgeb a R se dice que es localmen e ini a si cada subconjun o ini ode R se puede inclui en una subálgeb a de R de dimensión ini a . Es cla o que si R es un anillo conmu a i o y algeb aico sob e K en onces R es una K-álgeb a localmen e i- ni a, si es e esul ado siguesiendo álidopa acue posno con- mu a i os cons i uye una p egun a abie a muy amosa . En ela- ción con es o pa ecena u al p egun a :  . P egun a II : Si R ®K,S es un anillo egula es R oS una K- .álgeb a localmen e ini a? . Finalmen e oy a ci a (sin p ueba) un esul ado quede- mues a la es icción que supone el hecho que el p oduc o en- so ialde dos álgeb as sea un anilloau o-inyec i o : Teo ema 8 [3, Theo em 2 .2, P oposi ion 2 .3], Supongamos que R0 KS sea un anillo au o-inyec i o ( po la izquie da ) y que S sea ascenden e sob e K . En oncesR es a lgeb aico sob e K Y R/J(R) ieneíndicede nilpo encia aco ado ; si además K es - in i- ni oen onces R/J(R) es a iniano ( donde J(R) deno a el adica l de Jacobson de R) . Re e encias 1 . K .R . Goodea l, Von Neu mann egula ings (Pi man, London, San F ancisco, Melbou ne, 1979) . 2 . J . Law ence,Semiloc al g oup ings and enso p oduc s, Mich . Ma h . J . 22(1975) ; 309-313 . 3 . P . Menal, On enso p oduc s o algeb as being Von Neumann egula o sel -injec i e , Comm .i n Algeb a (1981) .