Pub
.
Ma
.
UAB
N°20
Se
.
1980
Ac es
VII
JMHL
LA
DIMENSIONDEBIL
DE
LOS
ANILLOSCLASICOS
JoséLuis
Gómez
Pa do
Dp o
.
d
e
Algeb ay
.
Fundamen os
Uni e sidad
de Mu cia
Abs ac -
The
weak
dimension
o
a
ing
R,
wD(R), is
shown
o
be
equal
o
he
sup emum
o
he
injec i e
dimensions
o
he
pu e-injec i e
le
R-modu-
les
.
Using
his
esul
and he
s uc u e
heo em
o
pu e-injec i es
o e
commu a i e ings
([2J),
he
weak
.
dimension
o
a
(cominu a i e)
classical
ing
([91)
is
cha ac e ized
as
he
sup emum
o he
injec i e
dimensions
o
he
cocyclic
modules
.
Cha ac e iza ions
o
he
classical
ings
R
o
which
wD(R),<1
a e
gi en
and
i is also
shown
ha ,
o
ce ain
classical
ings
R,
wD(R)
is
he
sup emum
o
he
injec i e
dimensions
o
he
simple
modules
.
Sea
R
un
anillo
(asocia i o
y
con
iden idad)
yR
Mod
la
ca ego ía
de
R-módulos
po
la
izquie da
.
Si
Mé
R
Mod
se
deno a á
wd(M)
a la
dimensióndé-
bil
(o
plana)
de
M
e
id(M)
a
la
dimensión
inyec i a
de
M
.
Las
dimensiones
global
y
(global)
débil
de R
se
esc ibi án'D(R)
y
wD(R),
espec i amen e
([111
.
Un
R-módulo
se dice
pu o-inyec i o
([7],[101)
si
iene
la
p opiedad
de
in-
yec i idad
ela i a
a la
clase
de
las
sucesiones
exac as
pu as
.
M
-se
dice
,
ini amen e
cogene ado
(FC)
([8])
si su
zócalo
es
esencial
y
ini amen e
ge
ne ado
y
cocíclico
(subdi ec amen e
i educible)
si
su
zócalo
es
esencial
y
simple
(I91)
.
La
en ol u a
inyec i a
de
un
R-módulo
M
se
deno a á
E(M)
.
U ilizando
las
p opiedades
de
los
R-módulos
pu o-inyec i os,
se
ob ie
ne
la
siguien eca ac e ización
de la
dimensión
débil
de
un
R-módulo
M
:
PROPOSICION
1
([31)
.
Sea
ME
R
Mod-
.
-
Sé
: e i ica
:
wD(M)in
si
y
sólo
si
Ex n
+1
(M,N)
= 0
pa a odo N£
R
Mod pu o-inyec i o
n+1
En
pa icula ,
wD(M)
=
in
1
.1
Ex
R
(M,N)
= 0
pa a odo
N
pu o-inyec-
141
i ol
y
los
R-módulos
planos
F
es án
ca ac e izados
po
e i ica
la
condi-
ción
Ex 1
(F,N)
= 0 pa a
odo
N
pu o-inyec i o
.
Como
consecuencia
se
ob iene
:
PROPOSICION
2
([3])
.
Sea R un anillo
.
En onces
se
e i ica
wD(R)
=
sup
Jid(M)ImE
R
Mod
pu o-inyec i o
=sup
¬
id(M)IMEMod
R
pu o-inyec i o
Pa a
anillos conmu a i os
exis e un
eo ema
de
es uc u a
de
R-módulos
?u o-inyec i os,
los
cuales
son
p ecisamen e
los
sumandos di ec os
de los
p oduc os
de
R-módulos
ini amen e cogene ados
y
pu o-inyec i os
([2])
.
Po
o a
pa e,
un
R-módulo
se
dice
linealmen e
compac o
si
oda
amilia
de
a-
iedades lineales
{
x +m,}(x
.6M,
M
.

submódulo
de
M)
con
la
p opiedad
de
in e
i
i
11

_
sección
ini a iene
in e sección
no
acía
.
Los
anillos
co uiu a i os
con
la
p opiedad
de que odo
R-módulo
FC
es
linealmen e
compac o
ue on
denominados
clásicos
po
Vamos
([9])
.
El
eo ema
de
Coucho
an es
ci ado
y
la
P oposición
2,
aplicados
a un anillo
clásico
pe mi en
ob ene
:
PROPOSICION
3 ([3],[4])
.
Sea
R
un
anillo clásico
.
En onces
se
iene
wD(R) = sup
{id(M)J
Mi
R
Mod
ini amen e
cogene adoj
La
demos ación
se
ob iene
eniendo
en
cuen a
que, en es e caso, odo
R-módulo
FC es
linealmen e
compac o
y en
consecuencia
pu o-inyec i o
([10])
.
El
esul ado an e io
puede
se
mejo ado
de
la
mane a
siguien e
:
PROPOSICION
4
([4])
.
Sea
R
un
anillo clásico
y
Z
°5
R
Mod una
clase
de
R-módulos
ini amen e
cogene ados,
con
la
p opiedad
de que
odo
R-módulo
FC
no
nulo
iene un
cocien e
no nulo
pe enecien e
a
L
°
.
En onces
:
wD(R) = sup
{id(N)
J
N(
C}
La
demos ación
puede
hace se
u ilizando
un
eo ema
de
Jensen
([5])
se
gún
el
cual
si
{MiliEI
es un
sis ema in e so
de
R-módulos
linealmen e
compac
os
y
Jim
l)
deno a
el
p ime un o
de i ado
de
~,
en onces
Jim
l)
M
i
=
0,
i
lo
cual
pe mi e
ob ene ,
dado un
diag ama
con
L
ini amen e
cogene ado
:
un
le an amien o=
.aaximal
de a un
cocien e
de
M
mayo
que
Ny
así
se
puede
142
p oba que
F
es
plano
si y
sólo
si

Ex
1
1 (F,L)

= 0
pa a, odo
Lee
,
de
donde,
po inducción
,
se
ob iene
el
esul ado
.
Teniendo
en cuen a
que
odo
R-módulo
FC
(de
hecho, odo
R-módulo)
no
nulo
iene
un
cocien e
cocíclico
no
nulo
([9]),
se
ob iene
:
PROPOSICION
5
([4])
.
Sea
R
un anillo
clásico
.
Se
e i ica
:
wD(R)
=
sup
id(M)IM&
R
Mod
cocíclico
Lo
an e io
puede
se
u ilizado
pa a
ca ac e iza
los
anillos
clásicos
R
ales
que
wD(R)<
1
.
Pa a
ello
se
u iliza á
el
siguien e
concep o
([6])
:
Un
anillo
R
(no
necesa iamen e
conmu a i o)
se
dice
cosemihe edi a iopo
la
iz
quie da
si
odo
cocien e
FC
de un
R-módulo
po
la
izquie dainyec i o
FC
es
inyec i o
.
Se
ob iene
:
PROPOSICION
6
([3],(4])
.
Sea
R
un
anillo
clásico
.
Son
equi alen es
:
i)
wD(R)<
1
ii) R es
cosemihe edi a io
iii)
Todo
cocien e
FC de un
R-módulo
inyec i o
cocíclico
es
inyec i o
i )
Todo
cocien e
de un
R-módulo
inyec i o
cocíclico
es
inyec i o
.
Un
anillo
R se
dice
ue emen e
cosemihe edi a iopo
la
izquie da
(C6D
si
odo
cocien e
FC de un
inyec i o
M6
R
Mod
es
inyec i o
.
Se
ob iene
:
PROPOSICION
7
([3])
.
Sea
R
un anillo
clásico
cohe en e
o
un
dominio
clásico
.
Son
equi alen es
:
i)
R es
semihe edi a io
ii) R es
ue emen e
cosemihe edi a io
iii)
R
es
cosemihe edi a io
i )
wD(R)
< 1
.
Ejemplos
de
anillos
que
e i ican
las
cua o
condiciones
equi alen es
de
la
P oposición
an e io
los
p opo cionan
los
dominios
de
alo ación
casi
maximales
y
los
anillos
conmu a i osnoe he ianos
semihe edi a ios
(he edi-
a ios)
.
La
P oposición
4
puedé
se explo ada
pa a
ob ene
más
in o mación
sob e
la
dimensión
débil
de
algunosanillos
clásicos
más pa icula es
.
Un
anillo
conmu a i o
R se
dice
coa iniano
si
odo
R-módulo
FC
es
ini amen e
gene a
do,
lo
cual
equi ale
a
que
los
anillos
locales
R
m
sean
a inianos
pa a odo
ideal
maximal
m de R
([8])
(R
localmen e
a iniano)
.
Tales
anillos
son
clá-
sicos
y
aplicando
la
P oposición
4 a la
clase
E
de
los
R-módulos
simples
se
ob iene
:
PROPOSICION
8
([4])
.
Sea
R
conmu a i o
coa iniano
.
En onces
:
WD(R)
=
sup
{id(S)
J
SE
R
Mod
simple
El
esul ado
ob enido
en la
P oposición
8
puede
se
mejo adou ilizan
do
localización
.
Un anillo
conmu a i o
se
dice
conoe he iano
si
odo
R-módu
lo
FC es
a iniano,
lo
cual
equi ale
a
que
R
sea
localmen enoe he iano
Q8J)
.
En
pa icula , ales
anillos
son
clásicos
y
se
puede
demos a
:
PROPOSICION
9
([4])
.
Sea
R
conmu a i o
conoe he iano
.
En onces
:
wD(R)
=
sup
{id(S)1
SE
R
Mod
simple
B

I

B
'L

I

0

G

R

A

F

I

A
1
.-
CARTAN,H
.
;EILENBERG,S
. :
Homological
algeb a
.
P ince on
U
.
P ess
(1956)
2
.-
COUCHOT,F
. :
Sous-modules
pu s
e
modules
de ype co ini
.
Lec
.
No es
in
Ma h
.
641,
Sp inge
(1978)
.
3
.-
GOMEZ
PARDO,J
.L
. :
Inyec i idad
pu a
y
dimensión
débil
.
Pendien e
de
pu-
blicación
en
Re
.
Ma
.
Hisp
.
Ame
.
4 .-
GOMEZ
?ARDO,J
.L
. :
Sob e
la
dimensión
débil
de
algunas
clases
de
anillos
conmu a i os
.
Pendien e
de
publicación
.
5 .-
JENSEN,C
.U
.
:
Les
onc eu s
de i és
de
llim
e
leu s
applica ions
en héo
ie des
modules
.
Lec
.
No es
in
Ma h
.
254,
Sp inge
(1972)
.
6
.-
MILLER,R
.W
.
;TURNIDGE,D
.R
. :
Fac o s
o
co ini elygen a ed
injec i e
mo-
dules
.
Comm
.
in
Algeb a
4
(3),
233-243
(1976)
.
7 .-
STENSTROM,B
.
:
Pu e
submodules
.
A ki
o Ma
.
7,
159-171
(1967)
.
8 .-
VAMOS,P
.
:
The
dual o
he
no ion
o
'' ini ely
gene a ed"
.
J
.
London
Ma h
.
Soc
.,
43,
643-646
(1968)
.
9
.-
VAMOS,P
. :
Classical
ings
.
J
.
Algeb a
34,
114-129
(1975)
.
1Q-
WARFIELD,R
.B
.
:
Pu i y
and
algeb aic
compac ness
o
modules
.
Paci ic
J
.
Ma h
.
28,
699-719
(1969)
.