Pub
.
Ma
.
UAB
N1
20
Se
.
1980
Ac es
VII
JMHL
CONSTRICCION
RESPECTO
DE
HOMOMORFOS
Ampa o
Co és
Monleón
Dp o
.
de
Algeb a
Uni e sidad
de
Valencia
"Pa a
un
homomo o
H,
ce ado
pa a
subg upcsno males
y
pa a
p oduc osdi ec os,
sa u ado
6
con
la Z
-p opiedad
se
ienen
los
esul ados
siguien es
:

G

H
-cons
ic o,
implica

G
(H
-sepa able)
-cons ic o,
y
si
G
H
Y
=1
,
se
e i ica
la
equi-
alencia
.
En
las
condiciones
dadas
pa a
el
homomo o
H,
la
clase
de
los
g upos
H
-
cons
ic os
,
es
de
Fi ing,
ex ensible,
no
es
homomo o
y e i ica
la
condición
segunda
de
o mación?
1
.
In oducció
n y no ación
.
(1
.1)

P opos
ici6n
La
no aciónu ilizada
se á
la
s anda d
en eo ía
de
g upos
ease
[2-j
.
Di emos
que
un
su1g upo
M
de
G
es
H-
maximal,
cuando
sea
maximal
como
H-
s
ubg upono mal
.
Designa emos
po
L
(G)
el
adical
s
emis
implede
G
.
Los
concep os
ela i-
os
a
g upos
s
emis
imples
pueden
e seen
[3
1
.
.
En lo
que
sigue
H
se á
un
homomo o
en
las
condiciones
an e-
io es
.
Los
esul ados
pa a
H
sa u ado,
son
álidasen
gene-
al
pa a
H
con
la Z -
p opiedad,
sin
mas
que
sus i ui
H'
po
1
.
Si
H sa u ado,
odo
g upo
nilpo en e
es
p oduc o
di ec o
de
un
H-
g upo
y
de un
H' -
g upo
.
Si
H
e i icala Z-
p opie-
dad, odo
g upo
nilpo en e
es
H
-
g upo
.
(1
:2)
Teo ema
Sea
G
un
g upo
con
GH
,
=
1

Sea
L(G)
su
adical
semisimple,
y
designemos

po
LH
(G)

a
L
(G)
H

,
sea
K = L
H
(G)
M,

donde
M
es
un
subg upo
de
G,
H
-
maximal
;
en onces
i)

LH
(G)

es
semisimple

;

ii)

CL
H
(G),M
j=1

;

iii)

LH
(G)
(1M
=
=

Z (L
H
(G))

;

i )

(L
H
(G)
)
H'

=

LH
(G)

;

)

CG
(K)

.
M
!(=

K
2
.
Cons icción
(2
.1)
De inición
Un
g upo
G
es

H
-
cons
ic o
s i
Ci
(M)

¿- M
y
M
es
un
subg upo
de
G
,
H-
maximal
.
(2
.2)
Teo ema
Si
G
H
,
=
1

,
y
M
es
un H-
maximal
de
G
;
son
equi alen es
1)
G
H-
cons ic o
;
2)
L(C
G
(M))
'=
1
;
3)
L(G)
es
H-
g upo
.
(2
.3)
Lema
Sea
N
,
H'-
subq upo
no malde
G,
en onces
G
es
H-
cons ic o
s i
y
solo
s i
G/N
loes
.
(2
.4)
Teo ema
bis
Pa aun
g upo
G
,
son
equi alen es
donde
G =
G/G
H'
1)

G

H-
cons
ic o

;

2)

L
(CG
(M))

=
1

,
siendo
M

H -
maximal
de
G
;
3)
L(G)
H-
g upo
.
obse aciones
:
1)
Como
consecuencia
del
eo ema
(1
.2)
y
del
eo ema
an e io ,
la
de inición
de
g upo
H-
cons ic o
es
in-
dependien e
del
maximalelegido
.
2)
Designa emos
po
C
la
clase
de
las
g upos
H-
coas
ic os
.
C
no
es
homomo o,
e
[3
]
.
Da emos
a con inuación
algunasp opiedadesde
la
clase
C
.*
(2
.5)
P
oposición
Si
G
es
H
-
cons
ic oy Nd
G,
en onces
N
es
H-
cons
ic o
.
(2
.6)
P o
posici6n
La
clase
C
es
ex ensible
.
No a
:
C
e i ica
la
Z-
p opiedady
es
ue emen e
sa u ada
.
(2
.7)
P o
posición
La clase
C e i ica
la
condición
segunda
de
o mación
.
Demos ación
:
SeanG/Nl
y
G/N
2
,
H-cons
ac os
,
.y
N1(1-N2'=
1
.
NjN2/N1
,
es
no mal
en GIN,
,
luego
N,N
2
/N
1es
H-
cons ic-
o,
y
po
an o
N
2
lo
es
.
Po
(2
.6)
G
es
H-
cons ic o
.
3
.
H-
sepa ab
ilidad
y
H-
cons icción
.
En
es eapa ado
se da un
eo ema
de
equi alencia
H
-
cons
ic o
yG
cuencia
p oba emos
que
la
clase
C
es
de
subg upos
no males
.
(3
.1)
De inición
G
es
H
-
sepa able
s i
posee
una
se ie
no mal
1

=

G
H
4"G
l

á

......

°-

G
n
=
G
alque
los
ac o es
G
i+1
/G
i
,
son
H-
g upos
6
(3
.2)
P oposición
La
clase
de
las
g upos
H-
sepa ables
es
o mación
de
Fi ing
ex ensible
y
con iene
a
los
g upos
es
olubles
.
(3
.3)
Teo ema
en e
G
(H
-
s
epa able)
-
cons
ic o
y
como
cons
e
-
ce ada
pa a
p oduc o
Si
G

H-
sepa able,
en onces
G

H-
cons ic o
.
H' -
g upos
.
Demos ación
:
Sea
j'=G/G
H
, ,
G
es H
-
sepa able
po
an o
L~(5)
es
H-
sepa able
.
Sabemos
que
LH
(G) es
semisimple
y
es
p oduc o
de
las
_
componen esno
H-
g upos
de
L(G),
po
an o
(L
H
(G))
H
=
LH
(G)
.
Po
o apa e
(LH(G))H~
= LH
(G)
po
i )
del
eo ema
(1
.
.2)
.
132
Po
s
e
LH
(J)

H
-
s
epa able
su
H
-s
e ie
des
cenden e
aca
ba
en
1
Luego
LH
(G)

=
1

,
de donde
s
e segui ía
L
(G)

es

H
-
g upo
.
.
Po
an o
s e
iene
que
J
es

H
-
coas
ic oy
po
Lema

(2
.3)

G
es
H
-
cons ic o
.
(3
.4)
Teo ema
Si
G
es H -
cons
ic o,
en onces
G
es

(H
-
sepa able)
-cons
ic o
Si
además'G
H'
=
1
,
se e i ica
la
equi alencia
.
Demos
aci6n
:
Si
G

H -
coas
ic o,
L
(G/G
H
,)

H
-
g upo,
luego
L(G/G
H
,)
H-
sepa able
y
G/G
H
,

(H-sepa able)
-
cons ic o,y
po
(3
.2)
G
(H-
sepa able)
-
cons ic o
.
Si
G
H
,

=
1 y
,G

(H-
sepa able)
-
cons
ic o,

L
(G)

es

H-
sepa-
able,
po
(3
.3)
se á
H-
cons ic o,
luego
L(L(G))
=
L(G)
es

H
-
g upo
y
po
an o
G,
H
-
cons
ic o
.
Oís
e aci6n
:
Al
se
la
clasede
los
H-
sepa ables
o mación
de
Fi ing
sa u ada
el
p oduc o
de
dos
no males
(H-sepa a-
bles)
-
cons ic os
es
(H-
sepa able)
-
cons ic o
.
(3
.5)

LeDia
Sean
M,N
°-
G,
ambos
MN
es

H
-
cons
ic o
.
(3
.6)
Teo ema
H
-
cons
ic os
y

(MN)
H
,

=
1
,

en onces
Sean
M,N
°
G,
ambos
H
-
cons
ic os
,
en onces
MN
lo
es-
.
Demos
aci6n
:
Sean
M y
N,
de inidos

po
M
=
M
(MN)
H
,
/
(MN)
H

Ñ
= N
(MN) H'
1(MN)
H'
;

Po
se
M
_
M/M
(1
(MN)
H
@

=
M/M
H

se á
H-
cons ic o,lo
mismo
N
.
Además

(MN)
H'
=
1
;
luego
po

(3
.5)
MÑ, es
H-
cons
ic o
y
po

(2
.3)
MN
es
H-
cons
ic o
.
BIBLIOGRAFIA
.
Co és
Monle6n
A
.
:
Cons icción
en
o maciones
Z-p opiedad
.
Ac as
VI
Jo nadas
Ma emá icas
Hispano-
Lus
as
.

San ande
.
(197
91
.
Huppe
B
. :
Endliche
G uppenI
.Sp inge -Ve lag
.
Be lin
.
(1967)
.
Pé ez
Monaso F
. :
G upos
ini os
sepa ados
una
o mación
de
Fi ing
.
Sem
.Ga cia
Galdeano
.
goza
.
(1973)
.
con
la
espec o
de
Za a-