Constricción respecto de homomorfos

Pub . Ma . UAB N1 20 Se . 1980 Ac es VII JMHL CONSTRICCION RESPECTO DE HOMOMORFOS Ampa o Co és Monleón Dp o . de Algeb a Uni e sidad de Valencia "Pa a un homomo o H, ce ado pa a subg upcsno males y pa a p oduc osdi ec os, sa u ado 6 con la Z -p opiedad se ienen los esul ados siguien es :  G  H -cons ic o, implica  G (H -sepa able) -cons ic o, y si G H Y =1 , se e i ica la equi- alencia . En las condiciones dadas pa a el homomo o H, la clase de los g upos H - cons ic os , es de Fi ing, ex ensible, no es homomo o y e i ica la condición segunda de o mación? 1 . In oducció n y no ación . (1 .1)  P opos ici6n La no aciónu ilizada se á la s anda d en eo ía de g upos ease [2-j . Di emos que un su1g upo M de G es H- maximal, cuando sea maximal como H- s ubg upono mal . Designa emos po L (G) el adical s emis implede G . Los concep os ela i- os a g upos s emis imples pueden e seen [3 1 . . En lo que sigue H se á un homomo o en las condiciones an e- io es . Los esul ados pa a H sa u ado, son álidasen gene- al pa a H con la Z - p opiedad, sin mas que sus i ui H' po 1 . Si H sa u ado, odo g upo nilpo en e es p oduc o di ec o de un H- g upo y de un H' - g upo . Si H e i icala Z- p opie- dad, odo g upo nilpo en e es H - g upo . (1 :2) Teo ema Sea G un g upo con GH , = 1  Sea L(G) su adical semisimple, y designemos  po LH (G)  a L (G) H  , sea K = L H (G) M,  donde M es un subg upo de G, H - maximal ; en onces i)  LH (G)  es semisimple  ;  ii)  CL H (G),M j=1  ;  iii)  LH (G) (1M = =  Z (L H (G))  ;  i )  (L H (G) ) H'  =  LH (G)  ;  )  CG (K)  . M !(=  K 2 . Cons icción (2 .1) De inición Un g upo G es  H - cons ic o s i Ci (M)  ¿- M y M es un subg upo de G , H- maximal . (2 .2) Teo ema Si G H , = 1  , y M es un H- maximal de G ; son equi alen es 1) G H- cons ic o ; 2) L(C G (M)) '= 1 ; 3) L(G) es H- g upo . (2 .3) Lema Sea N , H'- subq upo no malde G, en onces G es H- cons ic o s i y solo s i G/N loes . (2 .4) Teo ema bis Pa aun g upo G , son equi alen es donde G = G/G H' 1)  G  H- cons ic o  ;  2)  L (CG (M))  = 1  , siendo M  H - maximal de G ; 3) L(G) H- g upo . obse aciones : 1) Como consecuencia del eo ema (1 .2) y del eo ema an e io , la de inición de g upo H- cons ic o es in- dependien e del maximalelegido . 2) Designa emos po C la clase de las g upos H- coas ic os . C no es homomo o, e [3 ] . Da emos a con inuación algunasp opiedadesde la clase C .* (2 .5) P oposición Si G es H - cons ic oy Nd G, en onces N es H- cons ic o . (2 .6) P o posici6n La clase C es ex ensible . No a : C e i ica la Z- p opiedady es ue emen e sa u ada . (2 .7) P o posición La clase C e i ica la condición segunda de o mación . Demos ación : SeanG/Nl y G/N 2 , H-cons ac os , .y N1(1-N2'= 1 . NjN2/N1 , es no mal en GIN, , luego N,N 2 /N 1es H- cons ic- o, y po an o N 2 lo es . Po (2 .6) G es H- cons ic o . 3 . H- sepa ab ilidad y H- cons icción . En es eapa ado se da un eo ema de equi alencia H - cons ic o yG cuencia p oba emos que la clase C es de subg upos no males . (3 .1) De inición G es H - sepa able s i posee una se ie no mal 1  =  G H 4"G l  á  ......  °-  G n = G alque los ac o es G i+1 /G i , son H- g upos 6 (3 .2) P oposición La clase de las g upos H- sepa ables es o mación de Fi ing ex ensible y con iene a los g upos es olubles . (3 .3) Teo ema en e G (H - s epa able) - cons ic o y como cons e - ce ada pa a p oduc o Si G  H- sepa able, en onces G  H- cons ic o . H' - g upos . Demos ación : Sea j'=G/G H , , G es H - sepa able po an o L~(5) es H- sepa able . Sabemos que LH (G) es semisimple y es p oduc o de las _ componen esno H- g upos de L(G), po an o (L H (G)) H = LH (G) . Po o apa e (LH(G))H~ = LH (G) po i ) del eo ema (1 . .2) . 132 Po s e LH (J)  H - s epa able su H -s e ie des cenden e aca ba en 1 Luego LH (G)  = 1  , de donde s e segui ía L (G)  es  H - g upo . . Po an o s e iene que J es  H - coas ic oy po Lema  (2 .3)  G es H - cons ic o . (3 .4) Teo ema Si G es H - cons ic o, en onces G es  (H - sepa able) -cons ic o Si además'G H' = 1 , se e i ica la equi alencia . Demos aci6n : Si G  H - coas ic o, L (G/G H ,)  H - g upo, luego L(G/G H ,) H- sepa able y G/G H ,  (H-sepa able) - cons ic o,y po (3 .2) G (H- sepa able) - cons ic o . Si G H ,  = 1 y ,G  (H- sepa able) - cons ic o,  L (G)  es  H- sepa- able, po (3 .3) se á H- cons ic o, luego L(L(G)) = L(G) es  H - g upo y po an o G, H - cons ic o . Oís e aci6n : Al se la clasede los H- sepa ables o mación de Fi ing sa u ada el p oduc o de dos no males (H-sepa a- bles) - cons ic os es (H- sepa able) - cons ic o . (3 .5)  LeDia Sean M,N °- G, ambos MN es  H - cons ic o . (3 .6) Teo ema H - cons ic os y  (MN) H ,  = 1 ,  en onces Sean M,N ° G, ambos H - cons ic os , en onces MN lo es- . Demos aci6n : Sean M y N, de inidos  po M = M (MN) H , / (MN) H  Ñ = N (MN) H' 1(MN) H' ;  Po se M _ M/M (1 (MN) H @  = M/M H  se á H- cons ic o,lo mismo N . Además  (MN) H' = 1 ; luego po  (3 .5) MÑ, es H- cons ic o y po  (2 .3) MN es H- cons ic o . BIBLIOGRAFIA . Co és Monle6n A . : Cons icción en o maciones Z-p opiedad . Ac as VI Jo nadas Ma emá icas Hispano- Lus as .  San ande . (197 91 . Huppe B . : Endliche G uppenI .Sp inge -Ve lag . Be lin . (1967) . Pé ez Monaso F . : G upos ini os sepa ados una o mación de Fi ing . Sem .Ga cia Galdeano . goza . (1973) . con la espec o de Za a-