Pub
.
Ma
.
UAB
N°
20
Se
.
1980
Ac es
VII
JMHL
NOTASOBRE
EL
SIGNIFICADO
LOGICO
DE
CIERTAS
ESTRUCTURAS
RESIDUA-
DAS
ELEMENTALES
J
.M
.
Fon
Llo e ,
A
.J
.
Rod iguez
Salas
Dp o
.
de
Es adís ica
Ma emá ica
Uni e sidad
de
Ba celona
Abs ac
:
S a ing
oman
abelian
g upoid
which
is
o de ed
and
esidua ed'
we
s udy
he
logical
signi icance
o
he
" esidue"
ope a ion,
specially
i we
add
he
mos
na u al
algeb aic
p ope ies
o
he
base
s uc u e,
ob aining
hen
se e al
well-Known
s uc u es
o
ma hema ical
logic,
such
as
he
deduc i ely-comple e
algeb as
and
he
algeb as
o
Sales,Hilbe ,Abbo ,Wajsbe g
and
Boole
.We
alsogi e
some
p ope ies
o
he
deduc i e
sys ems
and
ob ainan special
e sion
o
he
deduc ion heo em
o
Pla(
[3]
)
.
Las
álgeb as
de
Hey ing,
modelo
del
cálculo
p opo-
sicionalin uicionis a,
son
el
ejemplo
más
conocido
de
es-
uc u a
esiduada
que
poseeun signi icado
lógico
.La
esi
duación
como
ope ación
algeb aica
ue
in oducida
po
la
es-
cuela
de
Wa d
(
[1]
,
[6]) en
los
años
30
y
ac ualmen e
exis-
e
una
ex ensa
li e a u asob e
esiduación
en
e ículos
.
úl-
imamen e
se
ha
llegadoa
es udia
los
semi e iculos
esi-
duados
(
.[2]
),
siemp e
omando
como
e e encia
di e sos
ag-
men os
del
cálculo
p oposicional
.
Es a
no a
debe
conside a -
se
comoun in en o
de
des ela
las
conexiones
exis en es
en e
las
p opiedades
lógicasde
la
ope ación" esiduo"
(
quenossu-
gie en
in e p e a la
como
implicación)
y
las
algeb aicas
de
la
es uc u a
de
pa ida,
a
la
que
do ameosen
p incipio
del
mínimoindispensable
.
Sea
(A,
.,
<)
un g upoide
(
.
es
una
ope ación
in e na
en
A
cuyosimbolo
omi i emos
si no
hay
luga
a
con usi6n)
abeliano
,
o denado
(
<-
es un
o den
an
A
alque
si
a,<
b

en onces

ac
6
bc)
y esiduado
(pa a
cada
(a,b)6
A
x
A,
exis e
a-->b
'
_
=
máx
(x
é
A
:

ax
<
b }
)
.

La
nue a
ope ación ecibe
el
nomb e
de
esiduo
.
A con inuaciónda emos
algunas
p opiedades
inme-
dia as
con
signi icado
lógico
.
Po
a,b,c,
. .
.
en endemos
ele-
men osa bi a ios
de
A
.
P op
osición
1
P op
osición
2
es
:
(1)

c,4a-ab
si¡

ác
<,
b
(2)
a,<b
implica,c-a<,c

b(íao on ia
pon
la
.izquíen
.da)
(3)

a,<b

implica
b-uc ,,a
-9c(an
~,~
.bU
. Un~
.a
pon
.
la
de echa)
(4)

a
:Ib
-oe
implica
b
<
.a
-->e(eonmu aei6n
de
pnemísab
dé-
(5)

ab

=

min

i
y
.A
:
b
<a
-9y}
( .
ee

el
n
esíduo

dual
.d
e

)
bíl
)
Las
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
Reco demos
que
un
elemen o
u
=
A
es
o denado
cuando
a
-'<
b
equi ale
a

u
<
a-Pb
.
P op
osición
3
u
es
o denado
si¡
u
es
neu opa a
. .
P oposición
4
Si
exis e
un
elemen oneu o
u,
en onces
son
equi alen-
siguien es
p opiedades
son
equi alen es
:
La
ope ación
e
es
asocia i a
ab- c
= a--c
.
(b- c)(Ley-
de
ímpon aeí6n-expo& aeí6n)
a
.
(b
-nc)
:1
b-oac
a
-
(b
-»c)
<

b-n(a-->e)

(Conmu aeí6n
de
pnem¿dae
)
b--oc
4
(a-sb)-->(a->c)
b-9c
<
(c-a)~(b-
:
a)(Leyes
del
Sílogísmo)
u
es
máximopa a
el
o den
_<_
.
La
ope ación
.

es
casi-ín eg a(es
deci ,
ab
4b)
a-4(b-9a)
= u
(Ley
de
Abeoncí6n)
En
los
supues os
de
la'p oposici6n
4,
se
sa is acen
las
Leyee
de
Iden
. ídad

(a+
a
=
u)

y
de
la
Conjuncí6n
(a
->(b
~
ab)
=u)
.
Ademásun
elemen o

Os
A
es
mínimo
pa a
si
y
sólo
si
es
abso ben e
pa a
. .
Nos
encon amos
aho a
en
condiciones
de ob ene
una
de
las
es uc u as
más
elemen ales
ligadas
a
la
pa e
implica i a
del
cálculo
p oposicional
éase
[4
])
.
P oposición
5
Si
(A,
.,
-,,,u)
es
un
monoide
abeliano
o denado
y
esi-
duadocuyo
neu o
es
máximopa a
el
o den,en onces
(A,
-
>,u)
es
una
álgeb a
deduc i amen e
comple a
.
En lo
sucesi osupond emos
quenos
encon amos
en
las
con-
diciones
de la
p oposición
5
.
Reco demos
que los
sis emas
deduc i os
de
(A,
->
,u
)

son

X9
A

ales
que
u
6X y
a->b
e
X,
a
e
X imlican
b
e
X
.
En onces,
P oposición
6
Los
sis emasdeduc i os
coinciden
con los
suhmonoides
queson
il osde
o den
.
Designamos
po
D
al
ope ado
consecuencia
sob e
(P(A)
asoci-
ado
al sis ema
clausu a
de
los
sis emas
deduc i os
de
(A,

u)
Los
esul ados
que
siguenasimilan
uncionalmen e
la
ope a-
ci6n
.
a
la
conjunción
lógica,
dado
el
ca ác e
implica i o
de la
P oposición
7
-
(1)
Si
H
c
A,
D(H)
es
el
il o
de
o den
engend ado
po
el
submonoideengend ado
po
H
.
(2)
D(a,b)
=
D(a
.b)
(3)

aE
D(H,b)

si¡
exis e
n
eF
al
que
bn
->a
6
D
(H)
.
0
.
Obsé ese
que
la
exp esión
b
n
->a
que
signi ica
(b'
. .
.
b)--i
a,
equi aleaqui
a
la
exp esión
o iginal
de
Pla(
[3]
)
b--,(b--4
. .
.
(n(b~a)
.
.
.
).
Si
añadimos
p opiedades
al
monoide
abeliano
ob end emos
o as
álgéb as
usadas
en
16gica
:
8
5
P oposición
8
Son
equi alen es
:
(1)
a
2
=
a
(2)
a
--~(b-->c)
=
(a->W-
(a-0c)(
Ley
au odíe níbu í a)
(3)
a
.-,(a~b)
=
a

>b
(El
.Lmínaeíánde
pnemízaenepe ídaz)
P oposicién
9
Si
se
danlas
condiciones
de
la
p oposición
8,(A,- l,u)
es
un
semi e ículo(
[2j
)
y un
álgeb a
de
Hilbe
en la
que
a
.b
=
ín

1
a,b1
En
o a
línea
dis in a
encon a emos
ambién
es uc u as
conocidas
:
P opo
sicién
10
Si
se
cumple
(a->b)- lb
=
(b
-a)',
en onces(A,- ,u)
es
una
álgeb a
de
Sales
.
Si
además
exis e
unelemen o
0
mínimo
pa a

,
en onces
(A,7->,u,o)
es
álgeb a
de
Waj-
sbe g
(
[ 5
] ) .
EnIS]se
demues a
el
ecíp oco
pa a
la
úl ima
pa e
;
es
deci
que
oda
álgeb a
de
Wajsbe g
se
ob iene
como
es uc u a
esi-
duada
como
hemos
desc i o
.
Finalmen e
laslíneas
de
las
p oposiciones
9
y10 se
conjugan
pa a
da
como
esul ado
el
álgeb a
más
clásica

de
lalógica
ma emá ica
P oposicién
11
Sea
(A,
.,
<,u,0)
un
monoide
abeliano
o denado
y
esidua-
do
en el
que
el
neu o
u
es
máximo,
exis e
mínimo
0,
la
ope ación
es
idémpo en e,
y
el
esiduo
--- ,
cumple
la
Ley
de
Sales
(a-ob)-ob=(b-a)-Pa
.
En onces
(A,--c-,u,0)
es
un
álgeb a
de
Boole
.
Re e encies
:
1 ]
DILWORTH-WARD
.
:"Residua ed
La ices"Bull
.A
.M
.S(1939)pp335-354
.
121
NEIMM
"Implica i e
semila ices"
T ans
A
.M
.S
.(1965)pp128-142
133
PLA,"Con ibució
a
lés udi
de
les
es uc u es
algeb aiques
dels
sis emes
l5gics
deduc ius"
TesiDoc o al1975
.
[4]
TORRENS
."Es udi
i
algeb ai zació
de
ce es
lógiques
:3lgeb es
d-comple es"
.Tesi
Doc o al
1980
.
15)
RODRIGUEZ
SALAS
."Sob e
álgeb as
de
Wajsbe g"
Tesidoc o al
1980
.
£6
]
WARD
."S uc u e
esidua ion"Annals
o
Ma h
.
(1938)pp558-568
.
86