Nota sobre el significado lógico de ciertas estructuras residuadas elementales

Pub . Ma . UAB N° 20 Se . 1980 Ac es VII JMHL NOTASOBRE EL SIGNIFICADO LOGICO DE CIERTAS ESTRUCTURAS RESIDUA- DAS ELEMENTALES J .M . Fon Llo e , A .J . Rod iguez Salas Dp o . de Es adís ica Ma emá ica Uni e sidad de Ba celona Abs ac : S a ing oman abelian g upoid which is o de ed and esidua ed' we s udy he logical signi icance o he " esidue" ope a ion, specially i we add he mos na u al algeb aic p ope ies o he base s uc u e, ob aining hen se e al well-Known s uc u es o ma hema ical logic, such as he deduc i ely-comple e algeb as and he algeb as o Sales,Hilbe ,Abbo ,Wajsbe g and Boole .We alsogi e some p ope ies o he deduc i e sys ems and ob ainan special e sion o he deduc ion heo em o Pla( [3] ) . Las álgeb as de Hey ing, modelo del cálculo p opo- sicionalin uicionis a, son el ejemplo más conocido de es- uc u a esiduada que poseeun signi icado lógico .La esi duación como ope ación algeb aica ue in oducida po la es- cuela de Wa d ( [1] , [6]) en los años 30 y ac ualmen e exis- e una ex ensa li e a u asob e esiduación en e ículos . úl- imamen e se ha llegadoa es udia los semi e iculos esi- duados ( .[2] ), siemp e omando como e e encia di e sos ag- men os del cálculo p oposicional . Es a no a debe conside a - se comoun in en o de des ela las conexiones exis en es en e las p opiedades lógicasde la ope ación" esiduo" ( quenossu- gie en in e p e a la como implicación) y las algeb aicas de la es uc u a de pa ida, a la que do ameosen p incipio del mínimoindispensable . Sea (A, ., <) un g upoide ( . es una ope ación in e na en A cuyosimbolo omi i emos si no hay luga a con usi6n) abeliano , o denado ( <- es un o den an A alque si a,< b  en onces  ac 6 bc) y esiduado (pa a cada (a,b)6 A x A, exis e a-->b ' _ = máx (x é A :  ax < b } ) .  La nue a ope ación ecibe el nomb e de esiduo . A con inuaciónda emos algunas p opiedades inme- dia as con signi icado lógico . Po a,b,c, . . . en endemos ele- men osa bi a ios de A . P op osición 1 P op osición 2 es : (1)  c,4a-ab si¡  ác <, b (2) a,<b implica,c-a<,c  b(íao on ia pon la .izquíen .da) (3)  a,<b  implica b-uc ,,a -9c(an ~,~ .bU . Un~ .a pon . la de echa) (4)  a :Ib -oe implica b < .a -->e(eonmu aei6n de pnemísab dé- (5)  ab  =  min  i y .A : b <a -9y} ( . ee  el n esíduo  dual .d e  ) bíl ) Las (1) (2) (3) (4) (5) (6) Reco demos que un elemen o u = A es o denado cuando a -'< b equi ale a  u < a-Pb . P op osición 3 u es o denado si¡ u es neu opa a . . P oposición 4 Si exis e un elemen oneu o u, en onces son equi alen- siguien es p opiedades son equi alen es : La ope ación e es asocia i a ab- c = a--c . (b- c)(Ley- de ímpon aeí6n-expo& aeí6n) a . (b -nc) :1 b-oac a - (b -»c) <  b-n(a-->e)  (Conmu aeí6n de pnem¿dae ) b--oc 4 (a-sb)-->(a->c) b-9c < (c-a)~(b- : a)(Leyes del Sílogísmo) u es máximopa a el o den _<_ . La ope ación .  es casi-ín eg a(es deci , ab 4b) a-4(b-9a) = u (Ley de Abeoncí6n) En los supues os de la'p oposici6n 4, se sa is acen las Leyee de Iden . ídad  (a+ a = u)  y de la Conjuncí6n (a ->(b ~ ab) =u) . Ademásun elemen o  Os A es mínimo pa a si y sólo si es abso ben e pa a . . Nos encon amos aho a en condiciones de ob ene una de las es uc u as más elemen ales ligadas a la pa e implica i a del cálculo p oposicional éase [4 ]) . P oposición 5 Si (A, ., -,,,u) es un monoide abeliano o denado y esi- duadocuyo neu o es máximopa a el o den,en onces (A, - >,u) es una álgeb a deduc i amen e comple a . En lo sucesi osupond emos quenos encon amos en las con- diciones de la p oposición 5 . Reco demos que los sis emas deduc i os de (A, -> ,u )  son  X9 A  ales que u 6X y a->b e X, a e X imlican b e X . En onces, P oposición 6 Los sis emasdeduc i os coinciden con los suhmonoides queson il osde o den . Designamos po D al ope ado consecuencia sob e (P(A) asoci- ado al sis ema clausu a de los sis emas deduc i os de (A,  u) Los esul ados que siguenasimilan uncionalmen e la ope a- ci6n . a la conjunción lógica, dado el ca ác e implica i o de la P oposición 7 - (1) Si H c A, D(H) es el il o de o den engend ado po el submonoideengend ado po H . (2) D(a,b) = D(a .b) (3)  aE D(H,b)  si¡ exis e n eF al que bn ->a 6 D (H) . 0 . Obsé ese que la exp esión b n ->a que signi ica (b' . . . b)--i a, equi aleaqui a la exp esión o iginal de Pla( [3] ) b--,(b--4 . . . (n(b~a) . . . ). Si añadimos p opiedades al monoide abeliano ob end emos o as álgéb as usadas en 16gica : 8 5 P oposición 8 Son equi alen es : (1) a 2 = a (2) a --~(b-->c) = (a->W- (a-0c)( Ley au odíe níbu í a) (3) a .-,(a~b) = a  >b (El .Lmínaeíánde pnemízaenepe ídaz) P oposicién 9 Si se danlas condiciones de la p oposición 8,(A,- l,u) es un semi e ículo( [2j ) y un álgeb a de Hilbe en la que a .b = ín  1 a,b1 En o a línea dis in a encon a emos ambién es uc u as conocidas : P opo sicién 10 Si se cumple (a->b)- lb = (b -a)', en onces(A,- ,u) es una álgeb a de Sales . Si además exis e unelemen o 0 mínimo pa a  , en onces (A,7->,u,o) es álgeb a de Waj- sbe g ( [ 5 ] ) . EnIS]se demues a el ecíp oco pa a la úl ima pa e ; es deci que oda álgeb a de Wajsbe g se ob iene como es uc u a esi- duada como hemos desc i o . Finalmen e laslíneas de las p oposiciones 9 y10 se conjugan pa a da como esul ado el álgeb a más clásica  de lalógica ma emá ica P oposicién 11 Sea (A, ., <,u,0) un monoide abeliano o denado y esidua- do en el que el neu o u es máximo, exis e mínimo 0, la ope ación es idémpo en e, y el esiduo --- , cumple la Ley de Sales (a-ob)-ob=(b-a)-Pa . En onces (A,--c-,u,0) es un álgeb a de Boole . Re e encies : 1 ] DILWORTH-WARD . :"Residua ed La ices"Bull .A .M .S(1939)pp335-354 . 121 NEIMM "Implica i e semila ices" T ans A .M .S .(1965)pp128-142 133 PLA,"Con ibució a lés udi de les es uc u es algeb aiques dels sis emes l5gics deduc ius" TesiDoc o al1975 . [4] TORRENS ."Es udi i algeb ai zació de ce es lógiques :3lgeb es d-comple es" .Tesi Doc o al 1980 . 15) RODRIGUEZ SALAS ."Sob e álgeb as de Wajsbe g" Tesidoc o al 1980 . £6 ] WARD ."S uc u e esidua ion"Annals o Ma h . (1938)pp558-568 . 86