Pub
.
Ma
.
UAB
N' 20
Se
.
1980
Ac es
VII
JMHL
(1972)
Y
CHAIX
(1807)
San iago Ga ma
Facul ad
de
Ciencias
Económicas
y
Emp esa iales
Uni e sidad
Complu ense
de
Mad id
LAS
MEMORIAS
SOBRE
ALGUNAS
CUESTIONES
DE
ALGEBRA
DE
ALVEAR
One
o
he
opics
widely
sp ead
among
his o ians
and
in ellec uals
ha
a e
acquain ed
wi h
he
his o y
o
Spain
is
ha
o
he
igno an e
and
ne-
glec
o
ma hema ics by
spania ds
since
he
musulman
domina ión
un il
XX h
.
cen u y
.
The
only
pe usal
o
ma hema ical
books,
w o e
by
spa--
nia ds du ing
he
second
hal
o
XVIII
h
.
cen u y
o he
beginning
o
he
eings
o
Fe nando
.
VII,
demons a e
he inco ec
o
he
idea
exposed
up
.
The
eading
o
Memo ias
w i e
by
spanish
ma hema icians
du ing
such
a
pe iod e eal
ha
we e
p o esso s
and
in es iga o s
ac ually
quali ied
.
Desde
el
siglo
XIX,
en
que
se
eanudo
con
un
cá ac e
muy
dis in o
a
como
se
había desa olladoen
el
siglo XVIII
la
polémica
sob e
la
exis en-
cía
o
no
de
ciencia
española
,
se~ex endió
en e
los cien í icos
españoles
la
idea
de
que
an es
que
ellos,
e ec i amen e, no se
había
p ac icado
la
ciencia
en
España
.
Los
a gumen os
gas ados po
los
polemis as
ue on
en su
mayo ía
opiniones
subje i as
y
solo
en
algunos
casos
es u ie on
espaldados
po una in o mación
bibliog á ica
.
A
es o
hay que
añadi
que
la
discusión
iniciada
a
comienzos
del siglo
XVIII coincidió
con
un
momen-
o
en
que,
en
una
si uación
polí ica
y
social llena
de
con adicciones,
los
cien í icos
y
las
ins i uciones
cien í icas
en
España
enían
un
al o
ni el
de
conocimien os,
al
menos
en
el
e eno
de
las
ma emá icas,
así
la
in o ma,
ción
ace ca
de
la
p oducción
ma emá ica
de
Eu opa
es aba
bas an e
al
día
y
se
comenzaban
a
esboza
lineas
de
in es igación
.
No
hay
no icias
del
in e
és que
la
mayo
pa e
de
los
ma emá icos
españoles
del
momen o
pudie on
ene
po
la
polémica,
la
imp esión
que
se
saca
del
conocimien o
de
sus
esc i os
es
que
no
les
in e esó
.
Tambien
nos
encon amos encon amos
con que
en
es os
mismos
años
la
His o ia
de
las
Ma emá icas,
ma e ia
abajada
po
los
ma emá icos
desde
muy
an iguo,
comenzaba
de
nue o a
p ac ica se
en
eu opa
sis emá icamen e, con
la
pa icula idad
en
España
de
que
los
lib os
de
ma emá icas,
en su
mayo
pa e,
es u ie on
p ologa
dos con
la
His o ia
de
la
A i me ica,
del
Algeb a
o
de
la
Geome ía
.
Final
men e,
en
España,
a comienzos
del siglo
XIX,
el
einado
de
Fe nando
VII
se
enca gó
de
acaba con
la
p ome edo a
si uación
a
que
se
había
llegado
con
los
an e io es
bo bones
.
De
en e
los
buenos
ma emá icos
que
esc ibie on
en
España
en
aquel
pe íodo,
ace ca
de
cues iones
algeb aicas,
amos
a
ecupe a
las
Memo a
ias
de
Miguel
de
Al ea
sob e Ecuaciones
supe io es
o
mé odo
gene al
de
esol e las
,
publicada
en 1814
;
y
de
Jose
Chaix
sob e
un
Nue o mé odo
gene a
l
pa a
ans o ma
en
s
e ie
las
unciones anscenden es,
p ecedido
de o o
mé odo
pa icula
pa a
las
unciones
loga í micas
exponenciales
publicado
en
1807
.
La p ime a
de
las
Memo iases
un
abajo
edac ado
en
1792,
pa a
el
cu so
que
el
au o
impa ía
en
la
Escuela
de
Gua dias
ma inas
de
Cadiz,
en
ella
desa olla
el
mé odo
dado
po
Bezou
pa a
calcula
aíces en
ecua
ciones de
g ados
4,
5
y
6,
en
el
omo
III,
dedicado
al
Algeb a,
de su
cu -
so de
Ma emá icas
.
Pa a
encon a
aíces de
una
ecuación
de
cua o
g ado
z
4
px3
1
gx
2
1
x
4. s
:oiden i ica
es a
ecuación
con
el
p oduc o de
dos
ac o es
acionales
P

y
Q,

P(x)
=
x2
1
mx
1
n y
Q(x)
=
x
2
1
Mx
1
N
.

En onces
al
hace
x
4
1
px
3
-1-gx
2
a
. x1-s
=
(x24mxln)(x2l-Mx-1N)
se
llega
al
sis ema
4
4
m1n
=p
nlmi
M4
.N=q
Mn4.mN
=
Nn

=
s
en
el
que
Bezou
de e mina
m
y
n,
p ime o y
despues
M
y
N
.
Sabiendo
que
Nn
=
s y que
supues o
conocido
n
se
puede ob ene
el
alo
de
m
en
(E),
que
se á

n
-
pn
2
Conocidos
n y
m
es a á
de e minado
el
ac o
P
.
Aquí
Al ea
ad ie e
que
n
es
uno
de
los
ac o es
acionales
de
s
y
que
ob eniendo
odos
los
di iso es
de s, se
puede
da
a
n
su
alo
sucesi amen e,
ob eniendo
as¡
el
alo
pa a
m
.
Despizes
ad ie e,
ambien,
que
s
es
el
p oduc ode
las
cua o
aices
de
la
ecuación,
lo
que
exp esa á
diciendo
que
es de
cua
o
dimensiones
;
en onces
n
y
N
son
.
ac o es
de
dos
dimensiones
cada
uno
.
En
los
ejemplos
con
ecuaciones
de
g ado
4
las
comp obaciones
son
áci-
les
y
el
cálculo
es
sencillo
.
Los
mismos
esul ados
aplicados
a
las
ecuaciones
de
5°-
y
6°-
g ado,
si,
en
el
p ime
caso,
es
el
é mino
independien e
y
los
ac o es
de
la
descomposición
son
ecuaciones
de
2°-
y
3°-
g ado
y
sus
e minos
indepen
dien es
son
n
y
R
llega
a
que
=
nR
.
Pe o
aquí
mien as que
la
dimen---
sión
de
es
5
las de
n
y
R
son
2 y
3
espec i amen e,
luego
el
segundo
é mino
de
la
igualdad
es de
dimensión2x3
.
En
la
ecuación de 6°
g ado
el
p oblema
es
simila
.
La
ex ensión
del
mé odo a
las
ecuaciones
de
5°-
y
6°-
g ado
mos aba
las
di icul ades
que
enía
el
encon a
la
solución
de las
ecuaciones
de
g a-
do
supe io
a
cua o,

p oblema
al
que
Lag angehabú
dedicado
una
ex-
ensa
Memo ia
en 1770
sin
habe
podido esol e lo
.
En
es e sen ido
Al ea
econoce
'¡se
e
que
el
mé odo
es
gene al
pe o
se
e
ambien
que
al
paso
que
c ece
el
g ado
de
la
ecuación,
c ece
la
di icul ad
po
la
mul iplicidad
de
los
é minos
. .
.
cómo
el
mé odo
es
de
an eo
algunas
eces
no se
log a
lo
que
se
p e ende"
.
La
segunda de
las
Memo ias
que
es amos examinando
iene
dos
pa es
una p ime a
en
donde
seexpone
con
de alle
como
desa olla en
se ie
las
unciones
loga i micas
y
exponenciales,
la
segunda
median e
mé ódós
alge
b aicos
exclusi amen e,
es á
dedicada
al
mé odo
que
e emos
a
con inuación
pa a log a
el
desa ollo
de
una
unción
anscenden e
.'
La
p ime a
pa e
4
6
es
bas an e
conocida
en e
los
ma emá icos
y
es á
en
la
linea
del
mé odo
usa_
do
po
Halley
pa a
esol e
el
mismo
p oblema
.
Chaix
apoya
odo
su
abajo
en
que
" oda
unción
anscenden e
iene
alguna
p opiedad
esencial,
ci ada
en
una
ecuaci6nque
la
exp esa
de
modó
gene al"
.
Po
ejemplo
-
109
(1

1
x)
n

= n

log
(1

4.

x)

;

(
a
x
)
n

=
axn
2
sen
nx

=

n

sen
x

1
n(n -1)

3

4.

n(n
2
-1)(n
2
-9)

(sen
x)
5

-
e c
.
y
2
.
3-

(
sen
x
)

2-3-4-5
inalmen e

cos
nx
=

2
n-1

(
cos
x
)
n

-
n
2
n-3
(cos
x)
n 2

1
n(n-3
)

2n -5
(cos
x)n-4

2
e c
. ,
Suponiendo
en
cada caso
que
n
ale
2,
3
o 4
ob iene
elaciones
a
pa i
de
las
que
ob iene
el
desa ollo
.
Uno
de
los
casos
que
esuel e
es
el
siguien e
,
si
sen
3x
=
3
sen
x -
4
(
sen
x
)
3

y
suponiendo
que

sen
x =

Ax

l

Bx
2
4
.
C
x3 d

D
x4
1

Ex
5 1
e c
.
haciendo
las
subs i uciones
pe inen es
ob enemos
:
sen
3x

=

A
3x

1

B

(3x)
2 1

C

(3x)
3
1
D

(3x)
4
1

E

(3x)
5
1

e c
.
(sen
x
)
3
A
3 x3
1

3
A
2
Bx
4
1,3
A
2
Cx5
1
e c
.
1 3
AB
2
x
5
1
e c
.
Subs i uyendo
es os
esul ados
en
la
igualdad
p ime a
e
iden i icando
los
coe icien es
se
ob iene
B =
0
;
24C
=
-4
A3s
=
0

;

20E

=

-A
2
C
=

A
5

e c
.
3!
en onces
el
desa ollo de
sen
x
se á

sen
x
'
=
Ax
-

A
3
x
31

A
5x
5 -
e c
.
3!
5!
Luego
pa a
de e mina
.
el
alo
de
A
di ide
po
x
la
igualdad
an e io
y
cal-
cula
el
limi e
cuando
x
iende
a 0

y
queda

lim sen
x

=
A
.
Luego
A
=1
.
x-P o

x
Es e
uso
de
los
mé odos
algeb aidos
ue
muy
ecuen e
has a
el
p ime
e cio
del'siglo
XIX,
con i mando
esul ados
que
en
muchos
casos
se
ob u ie on
sin
ningun
igo
.